عنوان فعالیت: تمرین ۶ رابطه ریشه‌ها و ضرایب (مجموع) ریاضی دهم انسانی
۶. نشان دهید در معادله‌ی درجه دوم $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$ اگر $\mathbf{a + b + c = 0}$ باشد، یکی از ریشه‌های معادله برابر $\mathbf{x=1}$ و دیگری $\mathbf{x = \frac{c}{a}}$ است.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه 32 ریاضی دهم انسانی
این یک قانون میانبر بسیار مفید است که از **روابط ویت** به دست می‌آید. شرط $\mathbf{a+b+c=0}$ به این معنی است که مجموع ضرایب صفر باشد.
### گام ۱: بررسی ریشه‌ی $\mathbf{x=1}$
اگر $\mathbf{x=1}$ ریشه معادله باشد، باید در معادله صدق کند. $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$:
$$\mathbf{a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c}$$
طبق فرض مسئله، $\mathbf{a + b + c = 0}$ است. پس:
$$\mathbf{a(1)^2 + b(1) + c = 0}$$
**نتیجه:** چون با جایگذاری $\mathbf{x=1}$ در معادله، تساوی برقرار می‌شود، پس $\mathbf{x=1}$ قطعاً یکی از ریشه‌های معادله است.
### گام ۲: یافتن ریشه دیگر ($athbf{x_2}$) با استفاده از حاصل ضرب ویت
می‌دانیم که حاصل ضرب ریشه‌ها در هر معادله درجه دوم برابر است با:
$$\mathbf{\text{حاصل ضرب ریشه‌ها } P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}}$$
ما ریشه اول را پیدا کردیم: $\mathbf{x_1 = 1}$
$$\mathbf{(1) \times x_2 = \frac{c}{a}}$$
$$\mathbf{x_2 = \frac{c}{a}}$$
**نتیجه:** ریشه‌ی دیگر معادله $\mathbf{x_2 = \frac{c}{a}}$ است.
**نکته کلیدی:** هرگاه در امتحانات دیدید $\mathbf{a+b+c=0}$، بدون هیچ محاسبه‌ای $\mathbf{x=1}$ و $\mathbf{x=\frac{c}{a}}$ را به عنوان جواب معرفی کنید!
عنوان فعالیت: تمرین ۷ و ۸ رابطه ریشه‌ها و ضرایب (حاصل ضرب و مجموع) ریاضی دهم انسانی
۷. با تعیین ریشه‌های معادله نشان دهید حاصل ضرب ریشه‌های معادله‌ی درجه دوم $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$ برابر $\mathbf{\frac{c}{a}}$ است.
۸. نشان دهید در هر معادله‌ی درجه دوم $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$ اگر مجموع ضرایب معادله برابر صفر باشد ($\mathbf{a+b+c=0}$)، یکی از ریشه‌های معادله $\mathbf{x=1}$ و دیگری $\mathbf{x = \frac{c}{a}}$ است.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ و ۸ صفحه 32 ریاضی دهم انسانی
این دو سؤال ماهیت **اثباتی** دارند و بنیان روابطی که در تمرین‌های ۶ و ۲ استفاده کردیم را نشان می‌دهند.
---
### تمرین ۷: اثبات حاصل ضرب ریشه‌ها ($athbf{x_1 x_2 = \frac{c}{a}}$)
**گام ۱: تعریف ریشه‌ها با استفاده از فرمول کلی**
$$\mathbf{x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}} \text{ و } \mathbf{x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}$$
**گام ۲: محاسبه حاصل ضرب ($athbf{x_1 x_2}$)**
$$\mathbf{P = x_1 x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \left( \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right)}$$
**گام ۳: استفاده از اتحاد مزدوج در صورت کسر**
صورت کسر به شکل $\mathbf{(A + B)(A - B) = A^2 - B^2}$ است که در آن $\mathbf{A = -b}$ و $\mathbf{B = \sqrt{\Delta}}$.
$$\mathbf{P = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{(2a)^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2}}$$
**گام ۴: جایگزینی $\mathbf{\Delta}$**
$$\mathbf{P = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2}}$$
$$\mathbf{P = \frac{4ac}{4a^2}}$$
**گام ۵: ساده‌سازی**
با حذف $\mathbf{4a}$ از صورت و مخرج:
$$\mathbf{P = \frac{c}{a}}$$
**نتیجه:** حاصل ضرب ریشه‌ها همواره برابر $\mathbf{\frac{c}{a}}$ است.
---
### تمرین ۸: اثبات حالت خاص $\mathbf{a+b+c=0}$
(این سوال تکراری از تمرین ۶ است، اما آن را به صورت خلاصه اثبات می‌کنیم.)
**فرض مسئله:** $\mathbf{a+b+c=0}$.
**اثبات ریشه‌ی $\mathbf{x_1 = 1}$:**
با جایگذاری $\mathbf{x=1}$ در معادله $\mathbf{ax^2+bx+c=0}$، داریم: $\mathbf{a(1)^2 + b(1) + c = a+b+c}$. از آنجا که طبق فرض $\mathbf{a+b+c=0}$، ریشه‌ی $\mathbf{x=1}$ ثابت می‌شود.
**اثبات ریشه‌ی $\mathbf{x_2 = \frac{c}{a}}$:**
از رابطه حاصل ضرب ریشه‌ها استفاده می‌کنیم:
$$\mathbf{x_1 x_2 = \frac{c}{a}}$$
با جایگزینی $\mathbf{x_1 = 1}$:
$$\mathbf{(1) \times x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow x_2 = \frac{c}{a}}$$
**نتیجه:** در صورتی که مجموع ضرایب صفر باشد، ریشه‌ها $\mathbf{x=1}$ و $\mathbf{x=\frac{c}{a}}$ هستند.
