حل تمرین 4و5 صفحه 31 ریاضی و آمار دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه 32 ریاضی دهم انسانی این یک مسئله‌ی هندسی است که با قرار دادن تساوی بین مساحت‌ها به یک **معادله درجه دوم** تبدیل می‌شود. ### گام ۱: محاسبه مساحت هر شکل 1. **مساحت مستطیل ($\mathbf{A_{\text{مستطیل}}}$):** $\mathbf{\text{طول} \times \text{عرض}}$ $$\mathbf{A_{\text{مستطیل}} = (3x + 2)(x + 1)}$$ $$\mathbf{A_{\text{مستطیل}} = 3x^2 + 3x + 2x + 2 = 3x^2 + 5x + 2}$$ 2. **مساحت مثلث ($\mathbf{A_{\text{مثلث}}}$):** $\mathbf{\frac{1}{2} \times \text{ساق اول} \times \text{ساق دوم}}$ $$\mathbf{A_{\text{مثلث}} = \frac{1}{2} (2x)(3x + 6)}$$ $$\mathbf{A_{\text{مثلث}} = x(3x + 6) = 3x^2 + 6x}$$ ### گام ۲: تشکیل و حل معادله $$\mathbf{A_{\text{مستطیل}} = A_{\text{مثلث}}}$$ $$\mathbf{3x^2 + 5x + 2 = 3x^2 + 6x}$$ 1. **حذف $\mathbf{3x^2}$ از دو طرف:** $$\mathbf{5x + 2 = 6x}$$ 2. **یافتن $\mathbf{x}$:** $$\mathbf{2 = 6x - 5x}$$ $$\mathbf{x = 2}$$ ### گام ۳: تعیین ابعاد مستطیل مقدار $\mathbf{x=2}$ را در ابعاد مستطیل جایگذاری می‌کنیم: * **عرض مستطیل ($\mathbf{x+1}$):** $\mathbf{2 + 1 = 3}$ * **طول مستطیل ($\mathbf{3x+2}$):** $\mathbf{3(2) + 2 = 6 + 2 = 8}$ **پاسخ نهایی:** طول مستطیل $\mathbf{8}$ واحد و عرض آن $\mathbf{3}$ واحد است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه 32 ریاضی دهم انسانی معادله زمانی **همواره جواب حقیقی** دارد که **ممیز ($\mathbf{\Delta}$)** آن به ازای هر مقدار $\mathbf{a}$، **همواره مثبت یا صفر** باشد ($\mathbf{\Delta \ge 0}$). بیایید $\mathbf{\Delta}$ را برای هر گزینه بررسی کنیم. ### الف) $\mathbf{x^2 + ax - 1 = 0}$ * $\mathbf{A = 1}$، $\mathbf{B = a}$، $\mathbf{C = -1}$ * **ممیز ($\mathbf{\Delta}$):** $\mathbf{\Delta = B^2 - 4AC = (a)^2 - 4(1)(-1)}$ $$\mathbf{\Delta = a^2 + 4}$$ **تفسیر:** چون $\mathbf{a^2}$ همواره بزرگتر یا مساوی صفر است ($\mathbf{a^2 \ge 0}$)، پس $\mathbf{a^2 + 4}$ همواره بزرگتر یا مساوی $\mathbf{4}$ خواهد بود ($\mathbf{a^2 + 4 \ge 4}$). $$\mathbf{\Delta \ge 4}$$ **نتیجه:** چون $\mathbf{\Delta}$ همواره مثبت است ($\mathbf{\Delta > 0}$)، این معادله به ازای هر مقدار $\mathbf{a}$، **همواره دارای دو جواب حقیقی متمایز** است. ### ب) $\mathbf{x^2 - x + a = 0}$ * $\mathbf{A = 1}$، $\mathbf{B = -1}$، $\mathbf{C = a}$ * **ممیز ($\mathbf{\Delta}$):** $\mathbf{\Delta = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4(1)(a)}$ $$\mathbf{\Delta = 1 - 4a}$$ **تفسیر:** اگر $\mathbf{a}$ را عددی بزرگتر از $\mathbf{\frac{1}{4}}$ انتخاب کنیم (مثلاً $\mathbf{a=1}$)، آنگاه $\mathbf{\Delta = 1 - 4(1) = -3 < 0}$ خواهد بود. **نتیجه:** چون می‌توان مقادیری برای $\mathbf{a}$ پیدا کرد که $\mathbf{\Delta < 0}$ باشد، این معادله همواره جواب حقیقی ندارد. **پاسخ نهایی:** معادله $\mathbf{(الف) x^2 + ax - 1 = 0}$ همواره دارای جواب‌های حقیقی است.