جواب کاردرکلاس صفحه 67 ریاضی دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس تعیین رأس سهمی‌های درجه دوم صفحه 67 ریاضی دهم انسانی سلام دانش‌آموزان! **رأس سهمی** (Vertex) نقطه‌ی عطف و تقارن نمودار درجه دوم است. این نقطه، بیشترین یا کمترین مقدار تابع را نشان می‌دهد. برای توابع درجه دوم $\mathbf{y = ax^2 + bx + c}$، مختصات رأس از طریق فرمول $\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a}}$ به دست می‌آید. ### الف) $\mathbf{y = x^2}$ * **ضرایب:** $\mathbf{a = 1}$، $\mathbf{b = 0}$، $\mathbf{c = 0}$ * **محاسبه $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$:** $$\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(1)} = 0}$$ * **محاسبه $\mathbf{y_{\text{رأس}}}$:** مقدار $\mathbf{x=0}$ را در تابع جایگذاری می‌کنیم: $$\mathbf{y_{\text{رأس}} = (0)^2 = 0}$$ $$\mathbf{\text{رأس سهمی: } (0, 0)}$$ --- ### ب) $\mathbf{y = 4 - x^2}$ * **ضرایب:** $\mathbf{y = -x^2 + 0x + 4}$. پس $\mathbf{a = -1}$، $\mathbf{b = 0}$، $\mathbf{c = 4}$ * **محاسبه $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$:** $$\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0}$$ * **محاسبه $\mathbf{y_{\text{رأس}}}$:** $$\mathbf{y_{\text{رأس}} = 4 - (0)^2 = 4}$$ $$\mathbf{\text{رأس سهمی: } (0, 4)}$$ --- ### پ) $\mathbf{y = 2x^2 - 4x + 1}$ * **ضرایب:** $\mathbf{a = 2}$، $\mathbf{b = -4}$، $\mathbf{c = 1}$ * **محاسبه $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$:** $$\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1}$$ * **محاسبه $\mathbf{y_{\text{رأس}}}$:** مقدار $\mathbf{x=1}$ را در تابع جایگذاری می‌کنیم: $$\mathbf{y_{\text{رأس}} = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1}$$ $$\mathbf{\text{رأس سهمی: } (1, -1)}$$ --- ### ت) $\mathbf{y = 2(x - 1)^2 + 1}$ **نکته کلیدی:** این تابع به فرم **رأس** نوشته شده است: $\mathbf{y = a(x - h)^2 + k}$. در این فرم، مختصات رأس سهمی به سادگی $\mathbf{(h, k)}$ است. * **مقایسه:** $\mathbf{y = 2(x - 1)^2 + 1}$ را با $\mathbf{y = a(x - h)^2 + k}$ مقایسه می‌کنیم: * $\mathbf{h = 1}$ * $\mathbf{k = 1}$ $$\mathbf{\text{رأس سهمی: } (1, 1)}$$ **نکته اضافی:** اگر فرم رأس داده شده بود، لازم نیست آن را به $\mathbf{ax^2 + bx + c}$ تبدیل کنیم تا از فرمول $\mathbf{x = -\frac{b}{2a}}$ استفاده کنیم. مستقیماً $\mathbf{h}$ و $\mathbf{k}$ را می‌خوانیم.