کار در کلاس ۱ دامنه و ضابطه توابع مرکب حسابان یازدهم
اگر $f(x) = x^۲ + ۱$ و $g(x) = ۲x + ۳$،
الف) دامنه و ضابطه تابعهای $f \circ g$ و $g \circ f$ را به دست آورید.
ب) آیا تابعهای $f \circ g$ و $g \circ f$ مساویاند؟
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۶۸ حسابان یازدهم
سلام! این تمرین بر **ترکیب توابع (تابع مرکب)** تمرکز دارد. برای توابعی که دامنه آنها $\mathbb{R}$ است (مانند توابع چندجملهای $f(x)$ و $g(x)$)، تعیین دامنه تابع مرکب ساده است، اما ضابطههای آنها معمولاً یکسان نیستند. 🔢
**توابع اصلی**: $\mathbf{f(x) = x^۲ + ۱}$ و $\mathbf{g(x) = ۲x + ۳}$
**دامنه توابع اصلی**: $D_f = \mathbb{R}$ و $D_g = \mathbb{R}$.
---
### الف) دامنه و ضابطه تابع $f \circ g$ و $g \circ f$
#### ۱. تابع $f \circ g$ (f پس از g)
* **ضابطه**: $\mathbf{(f \circ g)(x) = f(g(x))}$. خروجی $g$ را در $f$ جایگذاری میکنیم:
$$(f \circ g)(x) = f(۲x + ۳) = (۲x + ۳)^۲ + ۱$$
* **سادهسازی ضابطه**:
$$(f \circ g)(x) = (۴x^۲ + ۱۲x + ۹) + ۱ = \mathbf{۴x^۲ + ۱۲x + ۱۰}$$
* **دامنه ($D_{f \circ g}$)**: دامنه $f \circ g$ برابر است با $D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$.
* $D_g = \mathbb{R}$
* $g(x) = ۲x+۳$ و $D_f = \mathbb{R}$. تمام خروجیهای $g$ میتوانند ورودی $f$ باشند.
$$\mathbf{D_{f \circ g} = \mathbb{R}}$$
#### ۲. تابع $g \circ f$ (g پس از f)
* **ضابطه**: $\mathbf{(g \circ f)(x) = g(f(x))}$. خروجی $f$ را در $g$ جایگذاری میکنیم:
$$(g \circ f)(x) = g(x^۲ + ۱) = ۲(x^۲ + ۱) + ۳$$
* **سادهسازی ضابطه**:
$$(g \circ f)(x) = ۲x^۲ + ۲ + ۳ = \mathbf{۲x^۲ + ۵}$$
* **دامنه ($D_{g \circ f}$)**: دامنه $g \circ f$ برابر است با $D_{g \circ f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}$.
* $D_f = \mathbb{R}$
* $f(x) = x^۲+۱$ و $D_g = \mathbb{R}$. تمام خروجیهای $f$ میتوانند ورودی $g$ باشند.
$$\mathbf{D_{g \circ f} = \mathbb{R}}$$
---
### ب) آیا تابعهای $f \circ g$ و $g \circ f$ مساویاند؟
* **شرط برابری توابع**: دامنه و ضابطه آنها باید مساوی باشد.
* **مقایسه دامنه**: $D_{f \circ g} = \mathbb{R}$ و $D_{g \circ f} = \mathbb{R}$. (دامنه مساوی است.)
* **مقایسه ضابطه**:
$$(f \circ g)(x) = ۴x^۲ + ۱۲x + ۱۰$$
$$(g \circ f)(x) = ۲x^۲ + ۵$$
* **نتیجه**: چون $\mathbf{۴x^۲ + ۱۲x + ۱۰ \ne ۲x^۲ + ۵}$ (به عنوان مثال، برای $x=۱$، $f(g(۱))=۲۶$ در حالی که $g(f(۱))=۷$)، ضابطهها مساوی نیستند.
$$\mathbf{خیر، \quad توابع \quad f \circ g \quad و \quad g \circ f \quad مساوی \quad نیستند.}$$
