فعالیت الف دامنه و ضابطه توابع از روی نمودار حسابان یازدهم
در شکل روبهرو نمودارهای دو تابع $f$ و $g$ داده شدهاند. الف) دامنه $f$ و دامنه $g$ و ضابطههای $f$ و $g$ را بنویسید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه ۶۵ حسابان یازدهم
سلام! برای حل این فعالیت، باید از روی نمودارها، **محدوده $x$ها (دامنه)** و **نوع ضابطه (رابطه جبری)** هر تابع را استخراج کنیم.
---
### ۱. تحلیل تابع $f$ (نمودار سبز)
* **دامنه ($D_f$)**: نمودار از $x = -۴$ تا $x = ۵$ رسم شده و نقاط مرزی پر هستند.
$$\mathbf{D_f = [-۴, ۵]}$$
* **ضابطه ($f(x)$)**: نمودار یک خط افقی است (تابع ثابت) که از $y = ۳$ میگذرد.
$$\mathbf{f(x) = ۳}$$
---
### ۲. تحلیل تابع $g$ (نمودار آبی)
* **دامنه ($D_g$)**: نمودار از $x = -۴$ تا $x = ۵$ رسم شده و نقاط مرزی پر هستند.
$$\mathbf{D_g = [-۴, ۵]}$$
* **ضابطه ($g(x)$)**: نمودار یک خط راست است. برای یافتن ضابطه $y = mx + b$، به دو نقطه نیاز داریم. نقاط مرزی $(-۴, -۲)$ و $(۵, ۷)$ هستند.
* **شیب ($m$)**:
$$m = \frac{y_۲ - y_۱}{x_۲ - x_۱} = \frac{۷ - (-۲)}{۵ - (-۴)} = \frac{۹}{۹} = \mathbf{۱}$$
* **عرض از مبدأ ($b$)**: با استفاده از نقطه $(-۴, -۲)$ و شیب $m=۱$:
$$y - y_۱ = m(x - x_۱) \implies y - (-۲) = ۱(x - (-۴))$$
$$y + ۲ = x + ۴ \implies y = x + ۲$$
$$\mathbf{g(x) = x + ۲}$$
فعالیت ب دامنه و ضابطه توابع حاصل از عملیات جبری حسابان یازدهم
دامنه و ضابطه توابع $f+g$، $f-g$، $f \cdot g$ و $\frac{f}{g}$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ب صفحه ۶۵ حسابان یازدهم
همانطور که در درس آموختیم، دامنه توابع حاصل از عملیات جبری (جمع، تفریق، ضرب) برابر است با **اشتراک دامنه توابع اصلی**: $\mathbf{D_{f \circ g} = D_f \cap D_g}$ که در اینجا $D_f = [-۴, ۵]$ و $D_g = [-۴, ۵]$ است، پس $\mathbf{D_{f \circ g} = [-۴, ۵]}$ است.
در حالت تقسیم، شرط $\mathbf{g(x) \ne ۰}$ نیز اضافه میشود.
---
### ۱. تابع جمع ($f+g$)
* **ضابطه**: $$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = ۳ + (x + ۲) = \mathbf{x + ۵}$$
* **دامنه**: $\mathbf{D_{f+g} = [-۴, ۵]}$
---
### ۲. تابع تفریق ($f-g$)
* **ضابطه**: $$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = ۳ - (x + ۲) = ۳ - x - ۲ = \mathbf{-x + ۱}$$
* **دامنه**: $\mathbf{D_{f-g} = [-۴, ۵]}$
---
### ۳. تابع ضرب ($f \cdot g$)
* **ضابطه**: $$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = ۳(x + ۲) = \mathbf{۳x + ۶}$$
* **دامنه**: $\mathbf{D_{f \cdot g} = [-۴, ۵]}$
---
### ۴. تابع تقسیم ($\frac{f}{g}$)
* **ضابطه**: $$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \mathbf{\frac{۳}{x + ۲}}$$
* **دامنه**: اشتراک دامنه توابع اصلی، به علاوه شرط **مخرج $\ne ۰$**.
$$g(x) = x + ۲ = ۰ \implies x = -۲$$
پس باید $x = -۲$ از اشتراک دامنه حذف شود.
* **دامنه**: $\mathbf{D_{\frac{f}{g}} = [-۴, ۵] - \{-۲\}}$
فعالیت پ توضیح روش رسم نمودار $f+g$ حسابان یازدهم
نمودار $f+g$ در شکل رسم شده است. توضیح دهید چگونه این نمودار را رسم کردهایم.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت پ صفحه ۶۵ حسابان یازدهم
نمودار $\mathbf{f+g}$ (خط صورتی) از طریق **جمع کردن عمودی (Vertical Summation)** مقادیر $y$ تابع $f$ و $g$ برای هر $x$ در دامنه مشترک رسم شده است.
### روش رسم نمودار $f+g$
1. **تعیین دامنه**: ابتدا دامنه مشترک $\mathbf{D_{f+g} = [-۴, ۵]}$ را مشخص میکنیم. نمودار $f+g$ فقط در این بازه وجود دارد.
2. **جمع عمودی نقاط (روش شهودی)**: برای هر $x$ در دامنه مشترک، ارتفاع نمودار $f$ و ارتفاع نمودار $g$ را جمع میکنیم تا ارتفاع نمودار $f+g$ در همان $x$ به دست آید.
* **مثال در $x = ۰$**: $f(۰)=۳$ و $g(۰)=۲$. پس $(f+g)(۰) = ۳ + ۲ = \mathbf{۵}$. (نقطه $(۰, ۵)$)
* **مثال در مرز چپ ($x = -۴$)**: $f(-۴)=۳$ و $g(-۴)=-۲$. پس $(f+g)(-۴) = ۳ + (-۲) = \mathbf{۱}$. (نقطه $(-۴, ۱)$)
* **مثال در مرز راست ($x = ۵$)**: $f(۵)=۳$ و $g(۵)=۷$. پس $(f+g)(۵) = ۳ + ۷ = \mathbf{۱۰}$. (نقطه $(۵, ۱۰)$)
3. **رسم خط**: چون $f$ و $g$ هر دو خط راست هستند، $f+g$ نیز یک **خط راست** است. با اتصال نقاط مرزی $(-۴, ۱)$ و $(۵, ۱۰)$، نمودار کامل میشود.
**نتیجه**: نمودار $f+g$ به سادگی با **جمع عمودی** ارتفاع نمودارهای $f$ و $g$ در دامنه مشترک به دست آمده است.
فعالیت ت توضیح روش رسم نمودار توابع حاصل از عملیات جبری حسابان یازدهم
ت) توضیح دهید بقیه نمودارهای توابع داده شده در قسمت (ب) را چگونه میتوان رسم کرد.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ت صفحه ۶۵ حسابان یازدهم
برای رسم نمودارهای باقیمانده از عملیات جبری ($f-g$، $f \cdot g$ و $\frac{f}{g}$)، از همان روش اصلی (عملیات روی ضابطهها) استفاده میکنیم و سپس بر اساس ضابطه جدید رسم میکنیم.
### ۱. رسم نمودار $f-g$
* **ضابطه**: $(f-g)(x) = -x + ۱$.
* **روش رسم**: این تابع یک **خط راست** با شیب $-۱$ و عرض از مبدأ $۱$ است.
* نقاط مرزی: $x=-۴ \implies f(-۴) = -(-۴) + ۱ = ۵$. $x=۵ \implies f(۵) = -(۵) + ۱ = -۴$.
* **نتیجه**: با وصل کردن نقطه $(-۴, ۵)$ به $(۵, -۴)$، نمودار $athbf{f-g}$ رسم میشود.
### ۲. رسم نمودار $f \cdot g$
* **ضابطه**: $(f \cdot g)(x) = ۳x + ۶$.
* **روش رسم**: این تابع نیز یک **خط راست** با شیب $۳$ و عرض از مبدأ $۶$ است.
* نقاط مرزی: $x=-۴ \implies f(-۴) = ۳(-۴) + ۶ = -۶$. $x=۵ \implies f(۵) = ۳(۵) + ۶ = ۲۱$.
* **نتیجه**: با وصل کردن نقطه $(-۴, -۶)$ به $(۵, ۲۱)$، نمودار $athbf{f \cdot g}$ رسم میشود.
### ۳. رسم نمودار $\frac{f}{g}$
* **ضابطه**: $(\frac{f}{g})(x) = \frac{۳}{x + ۲}$.
* **روش رسم**: این تابع یک **تابع کسری** (هموگرافیک) است. دامنه آن $\mathbf{[-۴, ۵] - \{-۲\}}$ است.
* **مجانب عمودی**: در $x = -۲$ تعریف نشده است (خطوط افقی و عمودی باید رسم شوند).
* **نقاط مرزی**: $x=-۴ \implies y = \frac{۳}{-۴+۲} = -۱.۵$. $x=۵ \implies y = \frac{۳}{۵+۲} \approx ۰.۴۳$.
* **نتیجه**: نمودار $\mathbf{\frac{f}{g}}$ از نقطه $(-۴, -۱.۵)$ شروع شده، به مجانب عمودی $x=-۲$ نزدیک میشود و پس از مجانب از بالا به سمت نقطه $(۵, ۰.۴۳)$ ادامه مییابد. **نکته**: در $x=-۲$ نمودار **سوراخ** دارد.
