پاسخ فعالیت صفحه 63 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه ۶۳ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت یک مدل‌سازی عالی از پدیده **مسافت توقف خودرو** است که از دو بخش مجزا تشکیل شده است: مسافت عکس‌العمل و مسافت ترمز. مسافت کل توقف، مجموع این دو مسافت است. 🚗 ### مفاهیم کلیدی * **مسافت عکس‌العمل ($f(x)$)**: مسافتی که خودرو در زمان بین دیدن مانع تا آغاز ترمزگیری طی می‌کند. $$f(x) = \frac{۷}{۱۰}x \quad (\text{بر حسب متر})$$ * **مسافت ترمز ($g(x)$)**: مسافتی که خودرو پس از فشار دادن ترمز تا توقف کامل طی می‌کند. $$g(x) = \frac{۱}{۱۰۰}x^۲ \quad (\text{بر حسب متر})$$ * **سرعت خودرو**: $\mathbf{x = ۱۰۰}$ کیلومتر بر ساعت. ### گام اول: محاسبه مسافت عکس‌العمل ($f(۱۰۰)$) $$f(۱۰۰) = \frac{۷}{۱۰}(۱۰۰) = ۷ \times ۱۰ = ۷۰ \quad \text{متر}$$ ### گام دوم: محاسبه مسافت ترمز ($g(۱۰۰)$) $$g(۱۰۰) = \frac{۱}{۱۰۰}(۱۰۰)^۲ = \frac{۱}{۱۰۰}(۱۰۰۰۰) = \mathbf{۱۰۰} \quad \text{متر}$$ ### گام سوم: محاسبه مسافت کل توقف ($h(۱۰۰)$) مسافت کل توقف ($h(x)$) مجموع مسافت عکس‌العمل و مسافت ترمز است: $$h(۱۰۰) = f(۱۰۰) + g(۱۰۰)$$ $$h(۱۰۰) = ۷۰ + ۱۰۰ = \mathbf{۱۷۰} \quad \text{متر}$$ **نتیجه**: اگر خودرو با سرعت ۱۰۰ کیلومتر بر ساعت حرکت کند، پس از دیدن مانع، تا توقف کامل **۱۷۰ متر** مسافت طی می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ب صفحه ۶۳ حسابان یازدهم همانطور که در قسمت قبل اشاره شد، **مسافت کل توقف ($h(x)$)**، مجموع مسافت عکس‌العمل ($f(x)$) و مسافت ترمز ($g(x)$) است. * **مسافت عکس‌العمل**: $f(x) = \frac{۷}{۱۰}x$ * **مسافت ترمز**: $g(x) = \frac{۱}{۱۰۰}x^۲$ **ضابطه تابع $h(x)$**: $$h(x) = f(x) + g(x)$$ $$\mathbf{h(x) = \frac{۷}{۱۰}x + \frac{۱}{۱۰۰}x^۲}$$ **نکته**: این تابع یک **تابع درجه دوم** (سهمی) است که حداقل مقادیر آن (مسافت‌های توقف) را برای سرعت‌های مختلف ($x$) نشان می‌دهد.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت پ صفحه ۶۳ حسابان یازدهم در این قسمت، **مسافت کل توقف ($h(x)$)** داده شده است ($۶۰$ متر)، و ما باید **سرعت اولیه ($x$)** را پیدا کنیم. ### گام اول: تشکیل معادله از ضابطه تابع مسافت توقف که در قسمت (ب) به دست آوردیم، استفاده می‌کنیم و $h(x)$ را برابر ۶۰ قرار می‌دهیم: $$\mathbf{h(x) = ۶۰}$$ $$\frac{۱}{۱۰۰}x^۲ + \frac{۷}{۱۰}x = ۶۰$$ ### گام دوم: حل معادله درجه دوم برای سادگی، دو طرف معادله را در **۱۰۰** ضرب می‌کنیم: $$۱۰۰ \left(\frac{۱}{۱۰۰}x^۲ + \frac{۷}{۱۰}x\right) = ۱۰۰(۶۰)$$ $$x^۲ + ۷۰x = ۶۰۰۰$$ $$x^۲ + ۷۰x - ۶۰۰۰ = ۰$$ از **فرمول دلتا** برای حل معادله استفاده می‌کنیم ($a=۱, b=۷۰, c=-۶۰۰۰$): $$\Delta = b^۲ - ۴ac = (۷۰)^۲ - ۴(۱)(-۶۰۰۰)$$ $$\Delta = ۴۹۰۰ + ۲۴۰۰۰ = ۲۸۹۰۰$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{۲۸۹۰۰} = \mathbf{۱۷۰}$$ ریشه‌ها: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{۲a} = \frac{-۷۰ \pm ۱۷۰}{۲(۱)}$$ * **ریشه اول ($x_۱$):** $x_۱ = \frac{-۷۰ + ۱۷۰}{۲} = \frac{۱۰۰}{۲} = \mathbf{۵۰}$ کیلومتر بر ساعت * **ریشه دوم ($x_۲$):** $x_۲ = \frac{-۷۰ - ۱۷۰}{۲} = \frac{-۲۴۰}{۲} = -۱۲۰$ کیلومتر بر ساعت ### گام سوم: بررسی اعتبار جواب چون $x$ بیانگر **سرعت** خودرو است، باید یک مقدار **مثبت** باشد. بنابراین، ریشه $x = -۱۲۰$ قابل قبول نیست. **نتیجه**: سرعت خودرو در حال حرکت $\mathbf{۵۰}$ کیلومتر بر ساعت بوده است.