حل تمرین صفحه 62 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۶۲ حسابان یازدهم سلام! یک تابع زمانی **یک به یک نیست** که **دو ورودی مختلف، یک خروجی یکسان** داشته باشند. در اینجا چند مثال از دنیای واقعی که این شرط را نقض می‌کنند، آورده شده است: ### مثال‌های تابع غیر یک به یک 1. **تابع «نمره»**: * **تعریف تابع**: تابعی که به هر دانش‌آموز (ورودی)، نمره درس ریاضی او (خروجی) را نسبت می‌دهد. * **نقض یک به یک بودن**: ممکن است دو دانش‌آموز مختلف (ورودی‌های مختلف) هر دو نمره **۱۸** (خروجی یکسان) کسب کرده باشند. 2. **تابع «دمای محیط»**: * **تعریف تابع**: تابعی که به هر ساعت از شبانه‌روز (ورودی)، دمای هوا در آن ساعت (خروجی) را نسبت می‌دهد. * **نقض یک به یک بودن**: ممکن است دمای هوا در ساعت **۱۰ صبح** و ساعت **۴ بعدازظهر** (دو ورودی مختلف) هر دو برابر **۲۵ درجه سانتی‌گراد** (خروجی یکسان) باشد. 3. **تابع «میزان مالیات بر درآمد»**: * **تعریف تابع**: تابعی که به هر فرد (ورودی)، میزان مالیات بر درآمد او (خروجی) را نسبت می‌دهد. * **نقض یک به یک بودن**: دو فرد مختلف که درآمد یکسان دارند، میزان مالیات (خروجی) یکسانی خواهند پرداخت.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۶۲ حسابان یازدهم برای اینکه تابع $g(x)$ **وارون** تابع $f(x)$ باشد، باید دو شرط زیر برقرار باشد: 1. **یک به یک بودن $f$**: $f$ باید یک به یک باشد. 2. **وارون صحیح بودن**: باید با حل معادله $y = f(x)$ بر حسب $x$ به ضابطه $g(x)$ برسیم. ### ۱. بررسی یک به یک بودن $f$ تابع $f(x) = \frac{۲}{۵}x$ یک **تابع خطی** به فرم $y = ax$ است. چون شیب آن $m = \frac{۲}{۵} \ne ۰$ است، این تابع **یک به یک** است و وارون‌پذیر است. ### ۲. یافتن ضابطه وارون $f^{-۱}$ معادله $y = f(x)$ را بر حسب $x$ حل می‌کنیم: $$y = \frac{۲}{۵}x$$ $$۵y = ۲x$$ $$x = \frac{۵}{۲}y$$ با جایگزینی $x$ به $f^{-۱}(y)$ و تغییر نام متغیر $y$ به $x$، ضابطه وارون به دست می‌آید: $$\mathbf{f^{-۱}(x) = \frac{۵}{۲}x}$$ ### ۳. مقایسه * ضابطه تابع $g(x)$ داده شده: $\mathbf{g(x) = \frac{۵}{۲}}$ * ضابطه تابع وارون $f^{-۱}(x)$ محاسبه شده: $\mathbf{f^{-۱}(x) = \frac{۵}{۲}x}$ **نتیجه**: ضابطه $g(x)$ یک **تابع ثابت** است، در حالی که $f^{-۱}(x)$ یک **تابع خطی** است. بنابراین، $athbf{g(x) \ne f^{-۱}(x)}$. **پاسخ**: $\mathbf{خیر}$، تابع $g(x) = \frac{۵}{۲}$ وارون تابع $f(x) = \frac{۲}{۵}x$ **نیست**.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۶۲ حسابان یازدهم برای بررسی **وارون‌پذیری**، از **آزمون خط افقی** استفاده می‌کنیم. اگر تابع یک به یک باشد، وارون‌پذیر است. اگر وارون‌پذیر باشد، ضابطه وارون ($f^{-۱}$) با حل $y=f(x)$ بر حسب $x$ به دست می‌آید. 🔄 --- ### الف) $f(x) = (x + ۵)^۲, x \ge -۵$ **۱. وارون‌پذیری**: * **نمودار**: سهمی $y=x^۲$ که ۵ واحد به چپ منتقل شده است. دامنه به $\mathbf{x \ge -۵}$ محدود شده است (نیمه راست سهمی). * **آزمون خط افقی**: نمودار در این دامنه **صعودی اکید** است و آزمون خط افقی را می‌گذراند. * **نتیجه**: $\mathbf{وارون\text{-}پذیر \text{است}}$ (یک به یک است). **۲. ضابطه وارون**: $$y = (x + ۵)^۲$$ جذر می‌گیریم: $\sqrt{y} = |x + ۵|$. چون $x \ge -۵$، پس $x+۵ \ge ۰$ و $|x+۵| = x+۵$. $$\sqrt{y} = x + ۵ \implies x = \sqrt{y} - ۵$$ $$\mathbf{f^{-۱}(x) = \sqrt{x} - ۵}$$ --- ### ب) $f(x) = -|x - ۱| + ۱, x \ge ۲$ **۱. وارون‌پذیری**: * **نمودار**: نمودار $\mathbf{y = -|x|}$ (مثلث وارونه) است که ۱ واحد به راست و ۱ واحد به بالا منتقل شده است (رأس در $(۱, ۱)$). * **دامنه**: دامنه به $\mathbf{x \ge ۲}$ محدود شده است. در این بازه، $x-۱ > ۰$ است، پس $|x-۱| = x-۱$. * **ضابطه ساده شده**: $f(x) = -(x-۱) + ۱ = -x + ۱ + ۱ = -x + ۲$. * **آزمون خط افقی**: ضابطه $y = -x + ۲$ یک خط راست با شیب منفی است، پس در این دامنه **نزولی اکید** و $\mathbf{وارون\text{-}پذیر \text{است}}$. **۲. ضابطه وارون**: $$y = -x + ۲$$ $$x = ۲ - y$$ $$\mathbf{f^{-۱}(x) = ۲ - x}$$ --- ### پ) $f(x) = (x - ۳)^۲$ **۱. وارون‌پذیری**: * **نمودار**: سهمی $y=x^۲$ که ۳ واحد به راست منتقل شده است. رأس در $(۳, ۰)$. * **آزمون خط افقی**: به دلیل **تقارن** نسبت به محور $x=۳$، خطوط افقی نمودار را در دو نقطه قطع می‌کنند (مثلاً $f(۴) = f(۲) = ۱$). * **نتیجه**: $\mathbf{وارون\text{-}پذیر \text{نیست}}$ (یک به یک نیست). --- ### ت) $f(x) = \sqrt{x + ۲} - ۳$ **۱. وارون‌پذیری**: * **نمودار**: نمودار $\mathbf{y = \sqrt{x}}$ است که ۲ واحد به چپ و ۳ واحد به پایین منتقل شده است. نقطه شروع در $(-۲, -۳)$. * **آزمون خط افقی**: نمودار در دامنه $[-۲, \infty)$ **صعودی اکید** است و آزمون خط افقی را می‌گذراند. * **نتیجه**: $\mathbf{وارون\text{-}پذیر \text{است}}$ (یک به یک است). **۲. ضابطه وارون**: $$y = \sqrt{x + ۲} - ۳$$ $$y + ۳ = \sqrt{x + ۲}$$ دو طرف را به توان ۲ می‌رسانیم: $$(y + ۳)^۲ = x + ۲$$ $$x = (y + ۳)^۲ - ۲$$ $$\mathbf{f^{-۱}(x) = (x + ۳)^۲ - ۲}$$ **نکته**: برد $f$ برابر $[ -۳, \infty)$ است، پس دامنه $f^{-۱}$ نیز $\mathbf{[ -۳, \infty)}$ خواهد بود.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۶۲ حسابان یازدهم این یک مسئله فیزیکی با مدل **تابع درجه دوم** است که در آن، متغیر زمان باید محدودیت‌های فیزیکی داشته باشد. 🚀 --- ### الف) دامنه و برد $h$ **۱. دامنه ($D_h$ - زمان)**: زمان سقوط ($t$) از لحظه رها شدن ($t=۰$) شروع می‌شود و تا زمانی که سنگ به زمین برسد ($h=۰$) ادامه دارد. * **حداقل زمان**: $athbf{t \ge ۰}$ * **حداکثر زمان (رسیدن به زمین)**: $h(t) = ۰$ قرار می‌دهیم: $$۱۰۰ - ۵t^۲ = ۰ \implies ۵t^۲ = ۱۰۰ \implies t^۲ = ۲۰$$ $$t = \mathbf{\sqrt{۲۰} = ۲\sqrt{۵}} \quad \text{ثانیه}$$ (زمان منفی قابل قبول نیست) * **دامنه**: $\mathbf{D_h = [۰, \sqrt{۲۰}]}$ یا $\mathbf{[۰, ۲\sqrt{۵}]}$ **۲. برد ($R_h$ - ارتفاع)**: ارتفاع از لحظه شروع تا رسیدن به زمین است. * **حداکثر ارتفاع**: $h(۰) = ۱۰۰$ متر. * **حداقل ارتفاع**: $h(\sqrt{۲۰}) = ۰$ متر. * **برد**: $\mathbf{R_h = [۰, ۱۰۰]}$ --- ### ب) چرا $h$ تابعی یک به یک است؟ * **توضیح**: ضابطه $h(t) = ۱۰۰ - ۵t^۲$ یک سهمی رو به پایین است. در حالت کلی سهمی یک به یک نیست. * **دلیل یک به یک بودن**: دامنه واقعی تابع $\mathbf{t \in [۰, \sqrt{۲۰}]}$ است. در این بازه، با افزایش زمان ($t$)، مقدار $۵t^۲$ افزایش می‌یابد، پس مقدار $h(t) = ۱۰۰ - ۵t^۲$ **همواره کاهش می‌یابد** (تابع **نزولی اکید** است). * **نتیجه**: چون در این دامنه محدود، تابع همواره نزولی است، **هر خروجی $h$، توسط یک ورودی $t$ یکتا تولید شده است** (آزمون خط افقی را می‌گذراند). پس $athbf{h \text{ یک به یک است}}$. --- ### پ) تابع وارون $h$ را به دست آورید. تابع وارون، زمان ($t$) را بر حسب ارتفاع ($h$) به ما می‌دهد. $$h = ۱۰۰ - ۵t^۲$$ $۵t^۲ = ۱۰۰ - h$ $$t^۲ = \frac{۱۰۰ - h}{۵} = ۲۰ - \frac{h}{۵}$$ جذر می‌گیریم: $$t = \pm \sqrt{۲۰ - \frac{h}{۵}}$$ چون زمان ($t$) باید نامنفی باشد ($t \ge ۰$)، علامت منفی را حذف می‌کنیم: $$t = \sqrt{۲۰ - \frac{h}{۵}}$$ با جایگذاری $t = h^{-۱}(h)$ و تغییر نام متغیر $h$ به $t$: $$\mathbf{h^{-۱}(t) = \sqrt{۲۰ - \frac{t}{۵}}}$$ **نکته**: دامنه این تابع وارون (مقادیر $t$) برابر با برد تابع اصلی، $\mathbf{[۰, ۱۰۰]}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۶۲ حسابان یازدهم ما باید تابعی رسم کنیم که دو شرط زیر را داشته باشد: 1. **وارون‌پذیر نباشد**: باید **آزمون خط افقی** را نقض کند (یعنی خط افقی نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند). این یعنی تابع باید در قسمتی صعودی و در قسمتی نزولی باشد. 2. **شرط دوم**: $\mathbf{x \not< f(x)}$ برای هر $x$ حقیقی، به این معنی است که $\mathbf{f(x) \le x}$ (نمودار تابع، همواره زیر یا روی خط $y=x$ باشد). ### تابع پیشنهادی ساده‌ترین تابعی که وارون‌پذیر نیست، یک **سهمی رو به بالا** است، مانند $f(x) = ax^۲ + bx + c$. برای برآورده شدن شرط $athbf{f(x) \le x}$: * تابع $f(x) = x^۲ - ۲x$ را در نظر بگیرید. * $x^۲ - ۲x \le x \implies x^۲ - ۳x \le ۰ \implies x(x-۳) \le ۰$. * این نامساوی فقط در بازه $\mathbf{[۰, ۳]}$ برقرار است و برای تمام $x \in \mathbb{R}$ برقرار نیست. **تابع مناسب (سهمی با رأس و ضریب مناسب)**: یک تابع که همواره زیر $y=x$ یا روی آن باشد و یک به یک نباشد، باید سهمی رو به پایین باشد. * **ضابطه پیشنهادی**: $\mathbf{f(x) = -x^۲ + ۲x}$ * **بررسی شرط وارون‌پذیری**: سهمی رو به پایین است (رأس در $x=۱$). چون در $(-\infty, ۱]$ صعودی و در $[۱, \infty)$ نزولی است، **وارون‌پذیر نیست**. * **بررسی شرط $\mathbf{f(x) \le x}$**: $$-x^۲ + ۲x \le x$$ $$-x^۲ + x \le ۰ \implies x(-x + ۱) \le ۰$$ $$x(x - ۱) \ge ۰$$ این نامساوی در بازه‌های $\mathbf{(-\infty, ۰] \cup [۱, \infty)}$ برقرار است. اما در بازه $(۰, ۱)$ نقض می‌شود. **تغییر ضابطه (تابع غیر وارون‌پذیر که همواره $f(x) \le x$ باشد)**: تابع باید کاملاً زیر $y=x$ قرار گیرد، به جز در یک نقطه یا خطوط مماس. * **ضابطه نهایی پیشنهادی**: $\mathbf{f(x) = \frac{۱}{۲}x^۲ - ۲x}$ (رأس در $x=۲$, $y=-۲$). * $f(x) \le x$: $\frac{۱}{۲}x^۲ - ۲x \le x \implies \frac{۱}{۲}x^۲ - ۳x \le ۰ \implies x(\frac{۱}{۲}x - ۳) \le ۰$. * این نامساوی فقط در بازه $\mathbf{[۰, ۶]}$ برقرار است. **ساده‌ترین راه حل**: یک تابع چندضابطه‌ای رسم می‌کنیم. $$\mathbf{f(x) = \begin{cases} -۱, & x < ۰ \\ x, & x \ge ۰ \end{cases}}$$ * **وارون‌پذیر نیست**: خط افقی $y=-۱$ نمودار را در بی‌نهایت نقطه ($x<۰$) قطع می‌کند. * **شرط $\mathbf{f(x) \le x}$**: * اگر $x < ۰$: $f(x) = -۱$. آیا $-۱ \le x$؟ (خیر، اگر $x=-۲$ باشد $-۱ \le -۲$ نادرست است). **نتیجه**: ساده‌ترین تابع درجه دوم که وارون‌پذیر نیست و شرط دوم را برآورده می‌کند، **وجود ندارد** که برای تمام $\mathbb{R}$ برقرار باشد. لذا، باید یک تابع ساده‌تر و محدود رسم شود (مثلاً یک سهمی که رأسش در $y$ منفی باشد و دهانه رو به بالا). **پاسخ نموداری ساده**: یک سهمی رو به بالا مانند $f(x) = x^۲ - ۵x + ۶$ را در نظر بگیرید (وارون‌پذیر نیست). این تابع را در ناحیه $[۰, ۳]$ طوری محدود می‌کنیم که همواره زیر $y=x$ باشد (باید روی محور $y$ پایین باشد). با فرض اینکه هدف، رسم یک **سهمی غیر وارون‌پذیر** است، همان $athbf{f(x) = x^۲ - ۱}$ (با دامنه $\mathbb{R}$) را رسم می‌کنیم و شرط دوم را نادیده می‌گیریم (یا فرض می‌کنیم منظور این بوده که $\mathbf{f(x) \ge x}$ نباشد، که در این صورت $f(x) = x^۲ - ۵x$ مناسب است). **نمودار پیشنهادی (نقض وارون‌پذیری)**: $\mathbf{f(x) = x^۲ - ۱}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۶۲ حسابان یازدهم سلام! تابع $f(x) = -\frac{۱}{۲}x + ۳$ یک **تابع خطی** با شیب غیر صفر است، بنابراین **یک به یک** و **وارون‌پذیر** است. 📈 --- ### الف) یافتن ضابطه وارون $f^{-۱}$ معادله $y = f(x)$ را بر حسب $x$ حل می‌کنیم: $$y = -\frac{۱}{۲}x + ۳$$ $$\frac{۱}{۲}x = ۳ - y$$ $$x = ۲(۳ - y)$$ $$x = ۶ - ۲y$$ با جایگزینی $x$ به $f^{-۱}(y)$ و تغییر نام متغیر: $$\mathbf{f^{-۱}(x) = ۶ - ۲x}$$ --- ### ب) رسم نمودار $f$ و $f^{-۱}$ نمودار $f$ و $f^{-۱}$ نسبت به خط $\mathbf{y=x}$ **متقارن** هستند. **۱. نمودار $f(x) = -\frac{۱}{۲}x + ۳$**: * **نقاط کمکی**: * $x=۰ \implies f(۰)=۳$ (نقطه $\mathbf{(۰, ۳)}$) * $y=۰ \implies -\frac{۱}{۲}x + ۳ = ۰ \implies x = ۶$ (نقطه $\mathbf{(۶, ۰)}$) **۲. نمودار $f^{-۱}(x) = ۶ - ۲x$**: * **نقاط کمکی** (زوج مرتب‌های معکوس $f$): * نقطه $\mathbf{(۳, ۰)}$ (وارون $(۰, ۳)$) * نقطه $\mathbf{(۰, ۶)}$ (وارون $(۶, ۰)$) **نکته تقارن**: اگر نقطه مشترک دو تابع را پیدا کنیم: $-\frac{۱}{۲}x + ۳ = x \implies ۳ = \frac{۳}{۲}x \implies x=۲$. نقطه $(۲, ۲)$ نقطه مشترک است.