فعالیت الف توابع به صورت زوج مرتب و دامنه و برد حسابان یازدهم
دو تابع $f$ و $g$ را در نظر بگیرید:
الف) $f$ و $g$ را به صورت زوجهای مرتب نمایش دهید و دامنه و برد هر یک را بنویسید.
$$f =$$
$$g =$$
$$D_f = \dots$$
$$R_f = \dots$$
$$D_g = \dots$$
$$R_g = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه 54 حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت بر تبدیل نمایش **پیکانی (نمودار ون)** توابع به نمایش **زوج مرتب** و تعیین **دامنه و برد** تمرکز دارد. 🎯
---
### ۱. تحلیل تابع $f$
تابع $f$ از مجموعه $A$ (طول ضلع مربع) به مجموعه $B$ (مساحت مربع) است:
* **نمایش زوج مرتب ($f$)**: هر پیکان یک زوج مرتب $(x, y)$ است.
$$\mathbf{f = \{(۶, ۳۶), (۲, ۴), (۵, ۲۵), (۳, ۹)\}$$
* **دامنه ($D_f$)**: مجموعه مؤلفههای اول (مجموعه $A$)
$$\mathbf{D_f = \{۶, ۲, ۵, ۳\}}$$
* **برد ($R_f$)**: مجموعه مؤلفههای دوم (اعضایی که پیکان به آنها وارد شده است)
$$\mathbf{R_f = \{۳۶, ۴, ۲۵, ۹\}}$$
---
### ۲. تحلیل تابع $g$
تابع $g$ از مجموعه $C$ (عدد) به مجموعه $D$ (توان دوم عدد) است:
* **نمایش زوج مرتب ($g$)**:
$$\mathbf{g = \{(-۱, ۱), (۱, ۱), (-۲, ۴), (۲, ۴)\}$$
* **دامنه ($D_g$)**: مجموعه مؤلفههای اول (مجموعه $C$)
$$\mathbf{D_g = \{-۱, ۱, -۲, ۲\}}$$
* **برد ($R_g$)**: مجموعه مؤلفههای دوم (اعضایی که پیکان به آنها وارد شده است)
$$\mathbf{R_g = \{۱, ۴\}}$$
فعالیت ب وارون توابع و تشخیص تابع بودن حسابان یازدهم
ب) اگر جای دو مؤلفه هر زوج مرتب در $g$ و $f$ را عوض کنیم، روابط جدیدی به دست میآید. آنها را به ترتیب $h$ و $k$ مینامیم. $h$ و $k$ را به صورت مجموعه زوجهای مرتب بنویسید.
$$h =$$
$$k =$$
کدام یک از رابطههای $h$ و $k$ تابع است؟ دلیل بیاورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ب صفحه 54 حسابان یازدهم
این فعالیت مفهوم **وارون یک رابطه** را معرفی میکند. **وارون یک رابطه** با **معکوس کردن مؤلفههای اول و دوم** زوج مرتبهای آن به دست میآید. سپس باید بررسی کنیم که آیا این وارون، یک **تابع** است یا خیر. 🤔
---
### ۱. تشکیل روابط وارون ($h$ و $k$)
**رابطه $h$ (وارون $f$)**: معکوس کردن زوج مرتبهای $f = \{(۶, ۳۶), (۲, ۴), (۵, ۲۵), (۳, ۹)\}$
$$\mathbf{h = \{(۳۶, ۶), (۴, ۲), (۲۵, ۵), (۹, ۳)\}$$
**رابطه $k$ (وارون $g$)**: معکوس کردن زوج مرتبهای $g = \{(-۱, ۱), (۱, ۱), (-۲, ۴), (۲, ۴)\}$
$$\mathbf{k = \{(۱, -۱), (۱, ۱), (۴, -۲), (۴, ۲)\}$$
---
### ۲. بررسی تابع بودن $h$ و $k$
یک رابطه زمانی **تابع** است که **هیچ دو زوج مرتبی دارای مؤلفه اول یکسان و مؤلفه دوم متفاوت نباشند**.
**بررسی رابطه $h$**:
* مؤلفههای اول: $\{۳۶, ۴, ۲۵, ۹\}$.
* **نتیجه**: هیچ مؤلفه اول تکراری وجود ندارد. پس $h$ **تابع است**.
**بررسی رابطه $k$**:
* در این رابطه دو زوج مرتب $\mathbf{(۱, -۱)}$ و $\mathbf{(۱, ۱)}$ دارای مؤلفه اول یکسان ($۱$) و مؤلفه دوم متفاوت ($-۱$ و $۱$) هستند.
* همچنین زوج مرتبهای $\mathbf{(۴, -۲)}$ و $\mathbf{(۴, ۲)}$ دارای مؤلفه اول یکسان ($۴$) و مؤلفه دوم متفاوت ($-۲$ و $۲$) هستند.
* **نتیجه**: رابطه $k$ **تابع نیست**.
### ۳. جمعبندی
* **تابع است؟**: $\mathbf{h}$ **تابع است**، ولی $\mathbf{k}$ **تابع نیست**.
* **دلیل**: $athbf{h}$ تابع است، زیرا هر عنصر از دامنه آن (که برد $f$ است) به **دقیقاً یک** عنصر در همدامنه آن (که دامنه $f$ است) نگاشته شده است. $athbf{k}$ تابع نیست، زیرا به ازای ورودی $x=۱$ دو خروجی $y=-۱$ و $y=۱$ (و به ازای ورودی $x=۴$ دو خروجی $y=-۲$ و $y=۲$) وجود دارد، که این **تعریف تابع را نقض میکند**.
