جواب کاردرکلاس صفحه 41 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۴۱ حسابان یازدهم سلام! دو تابع $f$ و $g$ زمانی **برابر** هستند که **هر سه شرط** زیر برقرار باشد: 1. **دامنه برابر** باشند: $D_f = D_g$ 2. **هم‌دامنه برابر** باشند: $C_f = C_g$ 3. **ضابطه برابر** باشند: $f(x) = g(x)$ به ازای تمام $x$های دامنه. --- | ردیف | تابع $f$ | تابع $g$ | برابری؟ | دلیل | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **۱** | $f = \{(۱, ۲), (۵, ۷)\}$ | $g = \{(۱, ۷), (۵, ۲)\}$ | **خیر** | $\mathbf{f(۱) \ne g(۱)}$ و $\mathbf{f(۵) \ne g(۵)}$. (نقطه به نقطه برابر نیستند.) | | **۲** | $f = \{(a, b), (c, d)\}$ | $g = \{(c, d), (a, b)\}$ | **بله** | ضابطه و دامنه یکسان است. ترتیب زوج مرتب مهم نیست. $| | **۳** | $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = ۳x$ | $g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}, g(x) = ۳x$ | **خیر** | $\mathbf{D_f = \mathbb{R}}$ ولی $\mathbf{D_g = \mathbb{R}^+}$ (دامنه برابر نیست). $| | **۴** | $f(x) = x|x|$ | $g(x) = x^۲$ | **خیر** | $\mathbf{f(-۱) = -۱}$ ولی $\mathbf{g(-۱) = ۱}$. (ضابطه برابر نیست.) | | **۵** | $f(x) = ۴x$ | $g(x) = \frac{۸x}{۲}$ | **بله** | $\mathbf{D_f = D_g = \mathbb{R}}$ و ضابطه‌ها برابرند: $\mathbf{\frac{۸x}{۲} = ۴x}$. $| ### نتیجه توابع ردیف‌های **۲ و ۵** با هم برابر هستند، زیرا در هر سه مؤلفه (دامنه، هم‌دامنه و ضابطه) یکسان هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۴۱ حسابان یازدهم سلام! این مسئله رابطه بین زمان و فاصله در حرکت صوت است که از طریق تابع خطی مدل‌سازی می‌شود. ابتدا باید **ضابطه تابع** را از روی داده‌ها پیدا کنیم. **رابطه کلیدی**: مسافت $=$ سرعت $\times$ زمان. در این مسئله، سرعت صوت $\mathbf{v}$ برابر است با: $\mathbf{v = \frac{۱ \text{ کیلومتر}}{۳ \text{ ثانیه}} = \frac{۱}{۳} \text{ km/s}}$ **ضابطه تابع $h(t)$**: $$h(t) = \text{فاصله} = \text{سرعت} \times \text{زمان} = \frac{۱}{۳} \times t$$ $$\mathbf{h(t) = \frac{۱}{۳}t}$$ --- ### الف) تکمیل جدول | $t$ (ثانیه) | ۴ | $\frac{۹}{۲} = ۴.۵$ | ۵ | **۹** | ۸ | ۹ | $\frac{۱۱}{۱}$ | ۱۲ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $h$ (کیلومتر) | $\frac{۴}{۳}$ | $\frac{۳}{۲} = ۱.۵$ | $\mathbf{\frac{۵}{۳}}$ | $۳$ | $\mathbf{\frac{۸}{۳}}$ | $\mathbf{۳}$ | $\frac{۱۱}{۳}$ | $\mathbf{۴}$ | * **محاسبات خانه خالی ردیف $t$**: اگر $h=۳$ باشد: $۳ = \frac{۱}{۳}t \implies t = ۹$. (این خانه در جدول کتاب اشتباه است و باید ۹ باشد.) * **محاسبات $h$**: $h(۵) = \frac{۵}{۳}$, $h(۸) = \frac{۸}{۳}$, $h(۹) = \frac{۹}{۳} = ۳$, $h(۱۲) = \frac{۱۲}{۳} = ۴$. --- ### ب) چرا $h$ تابعی از $t$ است؟ * **دلیل**: تابع بودن به این معنی است که **به ازای هر ورودی ($t$)، دقیقاً یک خروجی ($h$) وجود دارد.** در اینجا، با توجه به اینکه سرعت صوت ثابت است، به ازای هر **زمان** ($t$) دقیقاً **یک فاصله** ($h$) محاسبه می‌شود و امکان ندارد یک زمان واحد به دو فاصله متفاوت منجر شود. --- ### پ) دامنه و برد این تابع * **دامنه ($D_h$)**: مجموعه مقادیر مجاز برای زمان $t$ است که در صورت سوال به صورت $\mathbf{t \in [۴, ۱۲]}$ داده شده است. $$D_h = \mathbf{[۴, ۱۲]}$$ * **برد ($R_h$)**: مجموعه خروجی‌ها ($h$) است. چون $h(t) = \frac{۱}{۳}t$ یک تابع صعودی است، مقادیر برد، در مرزهای دامنه به دست می‌آید: * حداقل برد: $h(۴) = \frac{۴}{۳}$ * حداکثر برد: $h(۱۲) = \frac{۱۲}{۳} = ۴$ $$R_h = \mathbf{[\frac{۴}{۳}, ۴]}$$ --- ### ت) نمایش کامل تابع $h$ $$\mathbf{h: [۴] \to [\frac{۴}{۳}, ۴]}$$ $$\mathbf{h(t) = \frac{۱}{۳}t}$$