کار در کلاس ۱ تعیین دامنه و برد تابع حسابان یازدهم
برای تابع $\begin{cases} f: [۰, \frac{۱}{۳}] \to [۰, \frac{۱}{۹}] \\ f(x) = x^۲ \end{cases}$ کدام یک از نمایش‌های زیر غیر قابل قبول است؟
الف) $\begin{cases} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ f(x) = x^۲ \end{cases}$
ب) $\begin{cases} f: [۰, \frac{۱}{۳}] \to [۰, \infty) \\ f(x) = x^۲ \end{cases}$
پ) $\begin{cases} f: \mathbb{R} \to [۰, \frac{۱}{۹}] \\ f(x) = x \end{cases}$
ت) $\begin{cases} f: [۰, \frac{۱}{۳}] \to \mathbb{R} \\ f(x) = x^۲ \end{cases}$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۴۰ حسابان یازدهم
سلام! این سوال در مورد درک مفهوم **تابع** است. یک تابع به طور کامل با **دامنه**، **همدامنه** (مجموعه مقادیر خروجی ممکن) و **ضابطه** تعریف می‌شود. یک نمایش غیرقابل قبول است اگر **دامنه یا همدامنه آن با ضابطه متناقض باشد**.
### تحلیل تابع اصلی
تابع اصلی $\begin{cases} f: [۰, \frac{۱}{۳}] \to [۰, \frac{۱}{۹}] \\ f(x) = x^۲ \end{cases}$ را در نظر می‌گیریم:
* **دامنه ($D_f$)**: $[۰, \frac{۱}{۳}]$
* **ضابطه**: $f(x) = x^۲$
* **برد ($R_f$)**: با توجه به دامنه $[۰, \frac{۱}{۳}]$ و تابع صعودی $x^۲$، برد برابر است با: $[(۰)^۲, (\frac{۱}{۳})^۲] = [۰, \frac{۱}{۹}]$
* **همدامنه**: $[۰, \frac{۱}{۹}]$. (در این حالت، **برد برابر با همدامنه** است.)
### تحلیل گزینه‌ها (کدام یک غیر قابل قبول است؟)
| گزینه | دامنه ($D$) | همدامنه ($C$) | ضابطه | برد واقعی ($R$) | تناقض؟ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| الف | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $f(x) = x^۲$ | $[۰, \infty)$ | خیر. برد $\subseteq$ همدامنه است. |
| ب | $[۰, \frac{۱}{۳}]$ | $[۰, \infty)$ | $f(x) = x^۲$ | $[۰, \frac{۱}{۹}]$ | خیر. برد $\subseteq$ همدامنه است. |
| **پ** | $\mathbb{R}$ | $[۰, \frac{۱}{۹}]$ | $f(x) = x$ | $\mathbb{R}$ | **بله**. برد $(\mathbb{R})$ باید زیرمجموعه همدامنه $([۰, \frac{۱}{۹}])$ باشد، اما $\mathbb{R} \not\subseteq [۰, \frac{۱}{۹}]$. |
| ت | $[۰, \frac{۱}{۳}]$ | $\mathbb{R}$ | $f(x) = x^۲$ | $[۰, \frac{۱}{۹}]$ | خیر. برد $\subseteq$ همدامنه است. |
**توضیح تناقض در گزینه (پ):**
در گزینه (پ)، اگر تابع $f(x) = x$ با دامنه $\mathbb{R}$ باشد، خروجی‌های آن (برد) نیز $\mathbb{R}$ است. اما در تعریف تابع، همدامنه به صورت $[۰, \frac{۱}{۹}]$ محدود شده است. این بدان معنی است که تابع نمی‌تواند خروجی‌هایی مانند $-۵$ یا $۱۰$ داشته باشد، در حالی که ضابطه $f(x)=x$ و دامنه $\mathbb{R}$ تولید می‌کنند. بنابراین، **تعریف تابع غیرقابل قبول** و متناقض است.
**نتیجه**: نمایش $\mathbf{(پ)}$ غیر قابل قبول است.
