حل مسائل 9و10 فصل 1 فیزیک یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ آخر فصل اول فیزیک یازدهم این تمرین به محاسبه‌ی نیرو و میدان الکتریکی در **مقیاس هسته‌ای و اتمی** می‌پردازد. ⚛️ ### اطلاعات داده شده * عدد اتمی (تعداد پروتون): $Z = ۲۶$ * شعاع هسته: $R \approx ۴.۰ \times ۱۰^{-۱۵} \ m$ * بار پروتون: $q_{p} = +e = ۱.۶ \times ۱۰^{-۱۹} \ C$ * ثابت کولن: $k = ۹.۰ \times ۱۰^۹ \ \frac{N \cdot m^۲}{C^۲}$ *** ### الف) نیروی دافعه بین دو پروتون ($F$) نیروی بین دو پروتون در فاصله‌ی $r = ۴.۰ \times ۱۰^{-۱۵} \ m$ از قانون کولن محاسبه می‌شود. (توجه کنید که این فاصله تقریباً برابر با شعاع هسته است). $$F = k \frac{|q_{p}| |q_{p}|}{r^۲} = k \frac{e^۲}{r^۲}$$ **۱. جایگذاری و محاسبه توان‌ها:** $$F = (۹.۰ \times ۱۰^۹) \frac{(۱.۶ \times ۱۰^{-۱۹})^۲}{(۴.۰ \times ۱۰^{-۱۵})^۲}$$ $$F = (۹.۰ \times ۱۰^۹) \frac{۲.۵۶ \times ۱۰^{-۳۸}}{۱۶ \times ۱۰^{-۳۰}}$$ **۲. ساده‌سازی کسر و توان‌ها:** $$F = \frac{۹.۰ \times ۲.۵۶}{۱۶} \times ۱۰^{۹ - ۳۸ - (-۳۰)}$$ $$F = ۱.۴۴ \times ۱۰^{۱} \ N$$ $$\mathbf{F = ۱۴.۴ \ N}$$ **پاسخ الف:** بزرگی نیروی دافعه بین دو پروتون در این فاصله برابر با $\mathbf{۱۴.۴ \ N}$ است. (این نیروی بسیار قوی نشان‌دهنده‌ی لزوم وجود **نیروی هسته‌ای قوی** برای پایدار نگه داشتن هسته است.) *** ### ب) میدان الکتریکی ناشی از هسته در فاصله‌ی $r_{E}$ ($E$) در این حالت، هسته‌ی آهن با بار کل $Q = Z e = ۲۶e$ به عنوان یک **بار نقطه‌ای** در مرکز در نظر گرفته می‌شود. فاصله‌ی مورد نظر $r_{E} = ۱.۰ \times ۱۰^{-۱۰} \ m$ (که تقریباً شعاع اتمی است) از مرکز هسته است. $$E = k \frac{|Q|}{r_{E}^۲} = k \frac{Z e}{r_{E}^۲}$$ **۱. محاسبه بار هسته ($Q$):** $$Q = ۲۶ \times (۱.۶ \times ۱۰^{-۱۹} \ C) = ۴۱.۶ \times ۱۰^{-۱۹} \ C$$ **۲. جایگذاری و محاسبه:** $$E = (۹.۰ \times ۱۰^۹) \frac{۴۱.۶ \times ۱۰^{-۱۹}}{(۱.۰ \times ۱۰^{-۱۰})^۲}$$ $$E = (۹.۰ \times ۱۰^۹) \frac{۴۱.۶ \times ۱۰^{-۱۹}}{۱.۰ \times ۱۰^{-۲۰}}$$ **۳. ساده‌سازی:** $$E = (۹.۰ \times ۴۱.۶) \times ۱۰^{۹ - ۱۹ - (-۲۰)}$$ $$E = ۳۷۴.۴ \times ۱۰^{۱۰} \ N/C$$ $$\mathbf{E \approx ۳.۷ \times ۱۰^{۱۲} \ N/C}$$ **پاسخ ب:** اندازه‌ی میدان الکتریکی ناشی از هسته در این فاصله برابر با $\mathbf{۳.۷ \times ۱۰^{۱۲} \ N/C}$ است. (این میدان عظیم، الکترون‌ها را در مدار خود نگه می‌دارد.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ آخر فصل اول فیزیک یازدهم این یک مسئله‌ی کلاسیک در مورد **میدان الکتریکی خالص** (برآیند) ناشی از بارهای نقطه‌ای روی محور است. بارهای ما عبارتند از: $q_{۱} = +q$ در $x_{۱} = -a$ و $q_{۲} = -۲q$ در $x_{۲} = +a$. ### الف) یافتن نقطه‌ای که میدان خالص صفر است ($E_{\text{net}} = ۰$) میدان الکتریکی خالص در هر نقطه، مجموع برداری میدان‌های ناشی از هر بار است: $\vec{E}_{\text{net}} = \vec{E}_{۱} + \vec{E}_{۲}$. برای اینکه $\vec{E}_{\text{net}} = ۰$ باشد، دو شرط لازم است: ۱. جهت دو میدان $\vec{E}_{۱}$ و $\vec{E}_{۲}$ باید **در خلاف جهت** هم باشند. ۲. اندازه‌ی دو میدان باید **برابر** باشند: $E_{۱} = E_{۲}$. **۱. تحلیل جهت‌ها:** * $ec{E}_{۱}$ (ناشی از $+q$) دورشونده است. * $ec{E}_{۲}$ (ناشی از $-۲q$) نزدیک‌شونده است. * **ناحیه‌ی ۱ (سمت چپ $q_{۱}$، یعنی $x < -a$):** در این ناحیه، $ec{E}_{۱}$ به سمت چپ (دور از $+q$) و $ec{E}_{۲}$ به سمت راست (به سمت $-۲q$) است. جهت‌ها مخالفند، پس **شرط اول برقرار است**. * **ناحیه‌ی ۲ (بین $q_{۱}$ و $q_{۲}$، یعنی $-a < x < a$):** $ec{E}_{۱}$ به سمت راست (دور از $+q$) و $ec{E}_{۲}$ نیز به سمت راست (به سمت $-۲q$) است. جهت‌ها یکسانند، پس **میدان صفر نمی‌شود**. * **ناحیه‌ی ۳ (سمت راست $q_{۲}$، یعنی $x > a$):** $ec{E}_{۱}$ به سمت راست (دور از $+q$) و $ec{E}_{۲}$ نیز به سمت چپ (به سمت $-۲q$) است. جهت‌ها مخالفند، پس شرط اول برقرار است. **۲. تحلیل اندازه‌ها ($E_{۱} = E_{۲}$):** $$k \frac{|q_{۱}|}{r_{۱}^۲} = k \frac{|q_{۲}|}{r_{۲}^۲} \quad \implies \quad \frac{|q|}{r_{۱}^۲} = \frac{|۲q|}{r_{۲}^۲} \quad \implies \quad r_{۲}^۲ = ۲ r_{۱}^۲$$ $$\mathbf{r_{۲} = \sqrt{۲} r_{۱}}$$ این رابطه می‌گوید که نقطه‌ی مورد نظر باید به بار $|q_{۲}| = ۲|q|$ **نزدیک‌تر** از بار $|q_{۱}| = |q|$ باشد. * **در ناحیه‌ی ۱:** $|x_{۲} - x| = a - x$ و $|x_{۱} - x| = -a - x$. اگر نقطه $P$ در این ناحیه باشد، $|x_{۱} - x| < |x_{۲} - x|$ است، پس $r_{۱} < r_{۲}$. این شرط با $r_{۲} = \sqrt{۲} r_{۱}$ سازگار است. * **در ناحیه‌ی ۳:** $|x - x_{۲}| = x - a$ و $|x - x_{۱}| = x + a$. در این ناحیه $r_{۲} < r_{۱}$ است. این شرط با $r_{۲} = \sqrt{۲} r_{۱}$ **ناسازگار** است. **نتیجه:** تنها نقطه‌ای که میدان در آن صفر می‌شود، در **ناحیه‌ی ۱ (سمت چپ $q_{۱}$)** است. **محاسبه‌ی محل دقیق:** فرض کنیم $x$ مختصات این نقطه باشد ($x < -a$). * فاصله‌ی تا $q_{۱}$: $r_{۱} = |x - (-a)| = -a - x$ * فاصله‌ی تا $q_{۲}$: $r_{۲} = |x - a| = a - x$ جایگذاری در رابطه‌ی $r_{۲} = \sqrt{۲} r_{۱}$: $$-(x - a) = \sqrt{۲} (-x - a)$$ $$a - x = - \sqrt{۲} x - \sqrt{۲} a$$ $$\sqrt{۲} x - x = - \sqrt{۲} a - a$$ $$x (\sqrt{۲} - ۱) = -a (\sqrt{۲} + ۱)$$ $$x = -a \frac{\sqrt{۲} + ۱}{\sqrt{۲} - ۱}$$ با ضرب در مزدوج $(\sqrt{۲} + ۱)$: $$x = -a \frac{(\sqrt{۲} + ۱)^۲}{۲ - ۱} = -a (۲ + ۱ + ۲\sqrt{۲}) = -a (۳ + ۲\sqrt{۲})$$ $$\mathbf{x = -a (۳ + ۲\sqrt{۲})} \quad \text{یا} \quad \mathbf{x \approx -۵.۸۳ a}$$ **پاسخ الف:** میدان خالص در نقطه‌ی $\mathbf{x = -a (۳ + ۲\sqrt{۲})}$ (سمت چپ بار $+q$) صفر است. *** ### ب) بزرگی و جهت میدان الکتریکی برآیند در مبدأ مختصات ($O$) نقطه‌ی مبدأ $O$ در $x=۰$ قرار دارد. فاصله‌ی $O$ از هر دو بار برابر است: $r_{O۱} = r_{O۲} = a$. **۱. محاسبه میدان $\vec{E}_{۱}$ (ناشی از $q_{۱} = +q$):** * $q_{۱}$ مثبت است، پس $\vec{E}_{۱}$ دور از بار، یعنی **به سمت راست** (در جهت $\vec{i}$) است. * اندازه: $E_{۱} = k \frac{|+q|}{a^۲} = k \frac{q}{a^۲}$ **۲. محاسبه میدان $\vec{E}_{۲}$ (ناشی از $q_{۲} = -۲q$):** * $q_{۲}$ منفی است، پس $\vec{E}_{۲}$ به سمت بار، یعنی **به سمت چپ** (در جهت $-\vec{i}$) است. * اندازه: $E_{۲} = k \frac{|-۲q|}{a^۲} = k \frac{۲q}{a^۲}$ **۳. محاسبه میدان برآیند ($ec{E}_{\text{net}}$):** دو بردار در خلاف جهت هم هستند. جهت برآیند به سمت بردار بزرگتر (یعنی $\vec{E}_{۲}$) است. $$\vec{E}_{\text{net, O}} = \vec{E}_{۱} + \vec{E}_{۲}$$ $$E_{\text{net, O}} = E_{۲} - E_{۱} = k \frac{۲q}{a^۲} - k \frac{q}{a^۲} = k \frac{q}{a^۲}$$ **جهت:** $ec{E}_{۲}$ به سمت چپ بزرگتر است، پس جهت خالص **به سمت چپ** است. $$\mathbf{\vec{E}_{\text{net, O}} = -k \frac{q}{a^۲} \vec{i}}$$ **پاسخ ب:** بزرگی میدان برآیند $\mathbf{E_{\text{net, O}} = k \frac{q}{a^۲}}$ است و جهت آن **به سمت چپ (در جهت محور $-x$)** است.