ادامه حل تمرین صفحه 69حسابان یازدهم(سوال 10)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم سلام! برای محاسبه این مقادیر، ابتدا باید **دامنه هر تابع** را تعیین کنیم و سپس مقدار مورد نظر را در ضابطه مناسب جایگذاری کنیم. 💡 **توابع اصلی**: $\mathbf{f(x) = \sqrt{x + ۲}}$ و $\mathbf{g(x) = -x + ۳}$ **دامنه‌ها**: * $D_f$: $x + ۲ \ge ۰ \implies x \ge -۲$. $\mathbf{D_f = [-۲, \infty)}$ * $D_g$: $\mathbf{D_g = \mathbb{R}}$ --- ### الف) $(f + g)(۲)$ * **دامنه**: $۲ \in D_f \cap D_g$. * **محاسبه**: $(f + g)(۲) = f(۲) + g(۲) = \sqrt{۲ + ۲} + (-۲ + ۳) = \sqrt{۴} + ۱ = ۲ + ۱ = \mathbf{۳}$ --- ### ب) $(f + g)(-۳)$ * **دامنه**: $-۳ \notin D_f$ (چون $-۳ < -۲$). * **نتیجه**: $\mathbf{تعریف \text{نشده \quad (امکان \text{محاسبه \text{نیست.)}}}$ --- ### پ) $(f \cdot g)(\frac{۱}{۲})$ * **دامنه**: $\frac{۱}{۲} \in D_f \cap D_g$. * **محاسبه**: $(f \cdot g)(\frac{۱}{۲}) = f(\frac{۱}{۲}) \cdot g(\frac{۱}{۲})$ * $f(\frac{۱}{۲}) = \sqrt{\frac{۱}{۲} + ۲} = \sqrt{\frac{۵}{۲}}$ * $g(\frac{۱}{۲}) = -\frac{۱}{۲} + ۳ = \frac{۵}{۲}$ * $(f \cdot g)(\frac{۱}{۲}) = \sqrt{\frac{۵}{۲}} \cdot \frac{۵}{۲} = \mathbf{\frac{۵}{۲}\sqrt{\frac{۵}{۲}}}$ --- ### ت) $(\frac{f}{g})(۰)$ * **دامنه**: $۰ \in D_f \cap D_g$ و $g(۰) \ne ۰$. * **محاسبه**: $(\frac{f}{g})(۰) = \frac{f(۰)}{g(۰)} = \frac{\sqrt{۰ + ۲}}{-۰ + ۳} = \mathbf{\frac{\sqrt{۲}}{۳}}$ --- ### ث) $(f \circ g)(-۴)$ * **دامنه**: $D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$. * $g(-۴) = -(-۴) + ۳ = ۷$. * $g(-۴) \in D_f$? $۷ \ge -۲$. $\mathbf{بله}$. * **محاسبه**: $(f \circ g)(-۴) = f(g(-۴)) = f(۷) = \sqrt{۷ + ۲} = \sqrt{۹} = \mathbf{۳}$ --- ### ج) $(g \circ f)(-۱)$ * **دامنه**: $D_{g \circ f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}$. * $-۱ \in D_f$? $-۱ \ge -۲$. $\mathbf{بله}$. * $f(-۱) = \sqrt{-۱ + ۲} = ۱$. * $f(-۱) \in D_g$? $۱ \in \mathbb{R}$. $\mathbf{بله}$. * **محاسبه**: $(g \circ f)(-۱) = g(f(-۱)) = g(۱) = -۱ + ۳ = \mathbf{۲}$