پاسخ فعالیت صفحه 57 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه ۵۷ حسابان یازدهم سلام! تابع $\mathbf{f(x) = ۲x + ۵}$ یک **تابع خطی** است. برای توضیح یک به یک بودن از طریق نمودار، از **آزمون خط افقی** استفاده می‌کنیم. ### توجیه یک به یک بودن از روی نمودار 1. **ماهیت نمودار**: نمودار $f(x) = ۲x + ۵$ یک **خط راست** است که دارای **شیب ثابت و مثبت** ($athbf{m=۲}$) است. یعنی تابع در تمام دامنه خود **صعودی اکید** است. 2. **آزمون خط افقی**: اگر هر **خط افقی** دلخواه (مانند $y=c$) را رسم کنیم، این خط، نمودار را در **دقیقاً یک نقطه** قطع می‌کند. ### نتیجه قطع کردن نمودار در یک نقطه، به این معناست که: **هیچ دو ورودی متفاوتی ($x_۱ \ne x_۲$) خروجی یکسانی ($f(x_۱) = f(x_۲)$) تولید نمی‌کنند.** **دلیل**: چون هیچ خروجی تکراری وجود ندارد، تابع $\mathbf{f}$ یک به یک است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ب صفحه ۵۷ حسابان یازدهم این فعالیت رابطه بین یک **تابع یک به یک** و **وارون** آن را با استفاده از مفهوم **ورودی و خروجی ماشین‌های تابع** توضیح می‌دهد. ### توضیح نمودار و رابطه وارون **۱. عملکرد تابع اصلی ($f$)**: * تابع $f$ مانند یک **ماشین** است که عدد **۳** را به عنوان ورودی می‌گیرد. * ضابطه $f(x) = ۲x + ۵$ اعمال می‌شود: $f(۳) = (۲ \times ۳) + ۵ = ۱۱$. * خروجی تابع $f$، عدد **۱۱** است. * این رابطه در قالب زوج مرتب به صورت **$(۳, ۱۱) \in f$** نوشته می‌شود. **۲. عملکرد تابع وارون ($f^{-۱}$)**: * تابع وارون $f^{-۱}$ مانند یک **ماشین معکوس** است که عمل تابع $f$ را خنثی می‌کند. * ورودی $f^{-۱}$، خروجی $f$ (عدد **۱۱**) است. * ضابطه وارون ($\frac{۱۱-۵}{۲} = ۳$) اعمال می‌شود. * خروجی $f^{-۱}$، ورودی $f$ (عدد **۳**) است. * این رابطه در قالب زوج مرتب به صورت **$(۱۱, ۳) \in f^{-۱}$** نوشته می‌شود. **نتیجه**: تابع $athbf{f}$ ورودی $athbf{x}$ را به خروجی $athbf{y}$ تبدیل می‌کند ($y=f(x)$)، و تابع وارون $athbf{f^{-۱}}$ دقیقاً برعکس عمل کرده و ورودی $athbf{y}$ را به خروجی $athbf{x}$ تبدیل می‌کند ($x=f^{-۱}(y)$). این نشان می‌دهد که **هر زوج مرتب $(a, b)$ در $f$ متناظر با زوج مرتب $(b, a)$ در $f^{-۱}$ است.**

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت پ صفحه ۵۷ حسابان یازدهم این فعالیت به دنبال استخراج **ضابطه کلی** تابع وارون ($f^{-۱}$) بر اساس ضابطه تابع اصلی ($f$) در حالت کلی است. ### گام اول: تعریف عملگر تابع ($f$) اگر $x$ عضو دامنه $D_f$ باشد، تابع $f$ آن را به $y$ (عضو برد $R_f$) تبدیل می‌کند: $$\mathbf{f(x) = y}$$ ### گام دوم: تعریف عملگر تابع وارون ($f^{-۱}$) تابع وارون $f^{-۱}$ باید $y$ را به $x$ تبدیل کند: $$\mathbf{x = f^{-۱}(y)}$$ ### گام سوم: محاسبه ضابطه $f^{-۱}$ (برای تابع $f(x) = ۲x + ۵$) برای پیدا کردن ضابطه ماشین $f^{-۱}$، باید معادله $y = f(x)$ را بر حسب $x$ حل کنیم: $$y = ۲x + ۵$$ $$y - ۵ = ۲x$$ $$\mathbf{x = \frac{y - ۵}{۲}}$$ ### تکمیل نمودار 1. **ورودی ماشین $f$**: $x$ 2. **خروجی ماشین $f$**: $f(x) = y$ (در این مثال $۲x+۵$) 3. **ورودی ماشین $f^{-۱}$**: $y$ 4. **خروجی ماشین $f^{-۱}$**: $x = f^{-۱}(y)$ (در این مثال $\mathbf{\frac{y - ۵}{۲}}$) **نتیجه**: ضابطه تابع وارون $f^{-۱}$ برای این مثال خاص برابر است با: $$\mathbf{f^{-۱}(y) = \frac{y - ۵}{۲}}$$ **نکته**: در نهایت، معمولاً متغیر خروجی تابع وارون را با $x$ نشان می‌دهیم: $\mathbf{f^{-۱}(x) = \frac{x - ۵}{۲}}$.