کار در کلاس ۱ حل معادله قدر مطلقی به روش هندسی حسابان یازدهم
با استفاده از شکل روبهرو، نمودار توابع $y = |x^۲ - ۱|$ و $y = |۲x - ۱|$ را رسم کنید و تعداد جوابهای معادله $|x^۲ - ۱| = |۲x - ۱|$ و مقدار تقریبی جوابها را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۲۷ حسابان یازدهم
سلام دانشآموزان باهوش! در این فعالیت از **روش هندسی** برای حل یک معادله قدر مطلقی پیچیده استفاده میکنیم. کلید کار، رسم صحیح نمودار هر دو تابع و سپس شمارش نقاط تقاطع آنهاست.
---
### الف) رسم نمودارها
**۱. رسم $y_۱ = |x^۲ - ۱|$ (سهمی با قدر مطلق)**:
* **نمودار اصلی ($y = x^۲ - ۱$)**: یک سهمی رو به بالا با رأس $(۰, -۱)$ و ریشههای $x=\pm ۱$ است (نمودار خطچین در شکل).
* **اعمال قدر مطلق**: قسمتهای پایین محور $x$ (بازه $-۱ < x < ۱$) را نسبت به محور $x$ **قرینه** میکنیم. رأس از $(۰, -۱)$ به $\mathbf{(۰, ۱)}$ منتقل میشود. این نمودار شبیه یک 'W' است.
**۲. رسم $y_۲ = |۲x - ۱|$ (تابع قدر مطلقی خطی)**:
* **نمودار اصلی ($y = ۲x - ۱$)**: یک خط راست با عرض از مبدأ $-۱$ و شیب $۲$ است (نمودار خط توپر در شکل).
* **اعمال قدر مطلق**: قسمتهای پایین محور $x$ (برای $x < \frac{۱}{۲}$) را نسبت به محور $x$ **قرینه** میکنیم. رأس تابع قدر مطلقی (نقطه شکست) $\mathbf{(\frac{۱}{۲}, ۰)}$ است.
### ب) تعداد و مقدار تقریبی جوابها
جوابهای معادله $|x^۲ - ۱| = |۲x - ۱|$ همان **طولهای (مختصات $x$) نقاط تلاقی** دو نمودار $y_۱$ و $y_۲$ هستند.
با مشاهده نمودارهای رسم شده :
* **نقطه تلاقی ۱**: در سمت چپ محور $y$، دو نمودار یکدیگر را قطع میکنند. این نقطه حدود $x \approx -۰.۷$ است.
* **نقطه تلاقی ۲**: در نزدیکی مبدأ. این نقطه دقیقاً $x=۰$ است. (در $x=۰$: $y_۱ = |۰-۱|=۱$ و $y_۲ = |۰-۱|=۱$).
* **نقطه تلاقی ۳**: در سمت راست محور $y$. این نقطه دقیقاً $x=۲$ است. (در $x=۲$: $y_۱ = |۴-۱|=۳$ و $y_۲ = |۴-۱|=۳$).
* **نقطه تلاقی ۴**: یک نقطه تلاقی دیگر در بازه $۱ < x < ۲$ وجود دارد. این نقطه حدود $x \approx ۱.۶$ است.
**نتیجه**:
* **تعداد جوابها**: $\mathbf{۴}$ جواب.
* **مقدار تقریبی جوابها**: $x \approx -۰.۷، x = ۰، x \approx ۱.۶، x = ۲$.
---
### پ) حل جبری برای تعیین دقیق ریشهها (تکمیل کننده)
با توجه به حل جبری کامل در قسمت ۲ (که در ادامه میآید)، ریشههای دقیق عبارتند از:
$$\mathbf{x = ۰, x = ۲, x = -۱ + \sqrt{۲}, x = -۱ - \sqrt{۲}}$$
* $x = -۱ + \sqrt{۲} \approx -۱ + ۱.۴۱ = ۰.۴۱$
* $x = -۱ - \sqrt{۲} \approx -۱ - ۱.۴۱ = -۲.۴۱$
**تذکر**: با مشاهده مجدد نمودار، به نظر میرسد ریشههای $-۱ + \sqrt{۲}$ و $-۱ - \sqrt{۲}$ با نمودار خطچین و توپر اصلی (قبل از قدر مطلق) تلاقی دارند، نه با نمودارهای قدر مطلقی. در واقع نمودارهای قدر مطلقی در نقاط زیر یکدیگر را قطع میکنند:
$$\mathbf{x = ۰, x = ۲, x = ۱ - \sqrt{۲} \approx -۰.۴۱, x = ۱ + \sqrt{۲} \approx ۲.۴۱}$$
* **توجه به جوابهای دقیق قسمت ۲**: جوابهای جبری در قسمت ۲ به صورت $\mathbf{x=۰, ۲}$ و $\mathbf{x=۱\pm \sqrt{۲}}$ هستند. با نگاه به نمودار، این چهار نقطه تلاقی $\mathbf{x \approx -۰.۴۱, x = ۰, x \approx ۱.۵۹, x = ۲}$ را نشان میدهند.
**جوابهای دقیق**: $\mathbf{۰, ۲, ۱ - \sqrt{۲}, ۱ + \sqrt{۲}}$.
کار در کلاس ۲ حل معادله قدر مطلقی به روش جبری حسابان یازدهم
به روش جبری و با استفاده از ویژگیهای قدر مطلق معادله $|x^۲ - ۱| = |۲x - ۱|$ را حل کنید.
$
|x^۲ - ۱| = |۲x - ۱| \implies \begin{cases} \text{حالت اول}: x^۲ - ۱ = ۲x - ۱ \Rightarrow x^۲ - ۲x = ۰ \Rightarrow x = ۰ \quad \text{یا} \quad x = ۲ \\ \text{حالت دوم}: x^۲ - ۱ = -(۲x - ۱) \Rightarrow \dots \end{cases}
$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۲۷ حسابان یازدهم
سلام! برای حل معادلهای که **قدر مطلق در دو طرف** آن قرار دارد، از ویژگی اصلی $|A| = |B| \iff A = B \quad \text{یا} \quad A = -B$ استفاده میکنیم.
معادله: $\mathbf{|x^۲ - ۱| = |۲x - ۱|}$
---
### گام اول: حالت اول ($A = B$)
$$x^۲ - ۱ = ۲x - ۱$$
عبارات مشابه را حذف میکنیم و سادهسازی انجام میدهیم:
$$x^۲ - ۲x = ۰$$
$$x(x - ۲) = ۰$$
**جوابهای حالت اول**:
$$\mathbf{x_۱ = ۰ \quad \text{و} \quad x_۲ = ۲}$$
---
### گام دوم: حالت دوم ($A = -B$)
$$x^۲ - ۱ = -(۲x - ۱)$$
علامت منفی را اعمال و معادله را ساده میکنیم:
$$x^۲ - ۱ = -۲x + ۱$$
$$x^۲ + ۲x - ۲ = ۰$$
### گام سوم: حل معادله درجه دوم حالت دوم
این معادله را با استفاده از **فرمول دلتا** حل میکنیم:
* $a=۱, b=۲, c=-۲$
$$\Delta = b^۲ - ۴ac = (۲)^۲ - ۴(۱)(-۲) = ۴ + ۸ = ۱۲$$
$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{۱۲} = ۲\sqrt{۳}$$
ریشهها:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{۲a} = \frac{-۲ \pm ۲\sqrt{۳}}{۲(۱)} = \frac{۲(-۱ \pm \sqrt{۳})}{۲}$$
**جوابهای حالت دوم**:
$$\mathbf{x_۳ = -۱ + \sqrt{۳}} \quad \text{و} \quad \mathbf{x_۴ = -۱ - \sqrt{۳}}$$
---
### گام چهارم: نتیجهگیری نهایی
معادله اصلی چون رادیکال و کسر ندارد، همه جوابهای به دست آمده قابل قبول هستند. مجموعه جوابها عبارتند از:
$$\mathbf{\{۰, ۲, -۱ + \sqrt{۳}, -۱ - \sqrt{۳}\}}$$
**مقادیر تقریبی**:
* $-۱ + \sqrt{۳} \approx -۱ + ۱.۷۳۲ = ۰.۷۳۲$
* $-۱ - \sqrt{۳} \approx -۱ - ۱.۷۳۲ = -۲.۷۳۲$
