حل کاردرکلاس صفحه 76 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۷۶ حسابان یازدهم سلام! این تمرین بر مقایسه نمودارهای **توابع نمایی صعودی** $\mathbf{y = a^x}$ تمرکز دارد که در آن $\mathbf{a > ۱}$ است. هر چه پایه ($a$) بزرگتر باشد، رشد تابع (در سمت راست محور $y$) **تندتر** است و نمودار **سریع‌تر به سمت بالا** می‌رود. 📈 ### ۱. نقاط مشترک تمام توابع $\mathbf{y = a^x}$ از نقطه $\mathbf{(۰, ۱)}$ می‌گذرند، زیرا $a^۰ = ۱$. ### ۲. مقایسه شیب (تندی رشد) با انتخاب یک $x$ مثبت (مثلاً $x=۱$)، مقادیر $y$ را مقایسه می‌کنیم: * $\mathbf{f(x) = ۲^x}$: $f(۱) = ۲^۱ = ۲$ * $\mathbf{g(x) = ۳^x}$: $g(۱) = ۳^۱ = ۳$ * $\mathbf{h(x) = ۵^x}$: $h(۱) = ۵^۱ = ۵$ **نتیجه**: تابع $\mathbf{h(x) = ۵^x}$ (سبز) بیشترین مقدار را دارد، پس تندترین رشد را دارد. ### ۳. تخصیص ضابطه‌ها به نمودارها 1. **تندترین نمودار (سبز)**: بیشترین مقدار $a$: $\mathbf{h(x) = ۵^x}$ 2. **نمودار متوسط (صورتی)**: مقدار متوسط $a$: $\mathbf{g(x) = ۳^x}$ 3. **کُندترین نمودار (آبی)**: کمترین مقدار $a$: $\mathbf{f(x) = ۲^x}$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۷۶ حسابان یازدهم این سؤال به خواص عمومی توابع نمایی $\mathbf{f(x) = a^x}$ با $\mathbf{a > ۱}$ (صعودی) می‌پردازد که در نمودار شکل (۱) دیده می‌شوند. 📊 ### ۱. دامنه توابع ($D_f$) * **مفهوم**: دامنه، مجموعه تمام مقادیر $x$ است که می‌توان به تابع داد. * **مشاهده نمودار**: نمودارها به طور نامحدود از چپ به راست (روی محور $x$) ادامه دارند. * **نتیجه**: $\mathbf{D_f = \mathbb{R}}$ (مجموعه اعداد حقیقی). ### ۲. برد توابع ($R_f$) * **مفهوم**: برد، مجموعه تمام مقادیر $y$ (ارتفاع) است که تابع می‌تواند به دست آورد. * **مشاهده نمودار**: * نمودارها همواره **بالای محور $x$** قرار دارند ($y > ۰$). * محور $x$ ($athbf{y=۰}$) یک **مجانب افقی** است (نمودار به صفر نزدیک می‌شود اما هرگز به آن نمی‌رسد یا از آن عبور نمی‌کند). * نمودارها به سمت بالا (به $+\infty$) می‌روند. * **نتیجه**: $\mathbf{R_f = (۰, +\infty)}$ (اعداد حقیقی مثبت).

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه ۷۶ حسابان یازدهم برای بررسی **یک به یک بودن** توابع، از **آزمون خط افقی** استفاده می‌کنیم. ### ۱. بررسی یک به یک بودن * **آزمون خط افقی**: اگر هر **خط افقی** در نمودار رسم شود، نمودار را **حداکثر در یک نقطه** قطع می‌کند. * **مشاهده نمودار**: توابع نمایی $f(x) = a^x$ با $a > ۱$، توابعی **صعودی اکید** هستند. این بدان معناست که با افزایش $x$، مقدار $y$ نیز همواره افزایش می‌یابد و هرگز تکرار نمی‌شود. ### ۲. نتیجه‌گیری **بله، این توابع یک به یک هستند.** * **دلیل**: چون توابع $\mathbf{f(x) = a^x}$ با $a > ۱$ توابعی **صعودی اکید** هستند، هیچ دو ورودی متفاوتی ($x_۱ \ne x_۲$) نمی‌توانند خروجی یکسانی ($f(x_۱) = f(x_۲)$) تولید کنند. بنابراین، آزمون خط افقی را با موفقیت می‌گذرانند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۷۶ حسابان یازدهم این فعالیت بر مقایسه نمودارهای **توابع نمایی نزولی** $\mathbf{y = a^x}$ تمرکز دارد که در آن $\mathbf{۰ < a < ۱}$ است. --- ### الف) شناسایی ضابطه‌ها در توابع نمایی نزولی، هر چه **پایه ($a$) به صفر نزدیکتر باشد**، رشد (در سمت چپ محور $y$) و نزول (در سمت راست محور $y$) **تندتر** است. * **مقایسه تندی در $x = ۱$**: * $u(۱) = \frac{۱}{۲} = ۰.۵$ * $v(۱) = \frac{۱}{۳} \approx ۰.۳۳$ * $t(۱) = \frac{۱}{۵} = ۰.۲$ **نتیجه**: تابع $\mathbf{t(x) = (\frac{۱}{۵})^x}$ (نمودار آبی تندترین نزول را دارد) کمترین مقدار را دارد. 1. **تندترین نمودار (آبی)**: کمترین مقدار $a$: $\mathbf{t(x) = (\frac{۱}{۵})^x}$ 2. **نمودار متوسط (صورتی)**: $\mathbf{v(x) = (\frac{۱}{۳})^x}$ 3. **کُندترین نمودار (سبز)**: بیشترین مقدار $a$: $\mathbf{u(x) = (\frac{۱}{۲})^x}$ --- ### ب) دامنه و برد این توابع نزولی، خواص دامنه و برد مشابه توابع نمایی صعودی دارند: * **دامنه**: توابع نمایی برای هر عدد حقیقی تعریف شده‌اند. $$\mathbf{D = \mathbb{R}}$$ * **برد**: نمودارها همواره بالای محور $x$ قرار دارند و محور $x$ مجانب افقی است. $$\mathbf{R = (۰, +\infty)}$$ --- ### پ) یک به یک بودن * **آزمون خط افقی**: توابع نمایی نزولی ($athbf{۰ < a < ۱}$) توابعی **نزولی اکید** هستند. * **نتیجه**: هر خط افقی نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. $$\mathbf{بله، \quad این \quad توابع \quad یک \quad به \quad یک \quad هستند.}$$