فعالیت حل معادلات لگاریتمی حسابان یازدهم
معادلههای لگاریتمی زیر را حل کنید:
الف) $\log_{۲}(۲x-۱) = \log_{۲} x$
ب) $\log_{۳}(x-۱) + \log_{۳}(\frac{x}{۲} + ۱) = ۲$
پ) $\log x + \log(x+۳) = ۱$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه ۸۸ حسابان یازدهم
سلام دانشآموزان عزیز! برای حل معادلات **لگاریتمی**، ابتدا باید **شرط دامنه** را برای تک تک عبارات زیر لگاریتم تعیین کنیم، سپس با استفاده از **قوانین لگاریتم**، معادله را ساده کرده و حل کنیم. در نهایت، جوابهای به دست آمده را با شرط دامنه مقایسه میکنیم تا **ریشههای زاید** حذف شوند. 🧐
---
### الف) $\log_{۲}(۲x-۱) = \log_{۲} x$
#### ۱. شرط دامنه
عبارات زیر لگاریتم باید مثبت باشند:
1. $۲x - ۱ > ۰ \implies x > \frac{۱}{۲}$
2. $x > ۰$
**شرط نهایی**: $\mathbf{x > \frac{۱}{۲}}$
#### ۲. حل معادله
چون پایه لگاریتمها مساوی است، عبارتهای زیر لگاریتم را مساوی قرار میدهیم:
$$۲x - ۱ = x$$
$$۲x - x = ۱ \implies \mathbf{x = ۱}$$
#### ۳. بررسی جواب
* $\mathbf{x = ۱}$: شرط $x > \frac{۱}{۲}$ را ارضا میکند.
**جواب معادله**: $\mathbf{x = ۱}$
---
### ب) $\log_{۳}(x-۱) + \log_{۳}(\frac{x}{۲} + ۱) = ۲$
#### ۱. شرط دامنه
1. $x - ۱ > ۰ \implies x > ۱$
2. $\frac{x}{۲} + ۱ > ۰ \implies \frac{x}{۲} > -۱ \implies x > -۲$
**شرط نهایی**: $\mathbf{x > ۱}$
#### ۲. حل معادله
از **قانون لگاریتم حاصل ضرب** (جمع لگاریتمها تبدیل به لگاریتم ضرب میشود) استفاده میکنیم:
$$\log_{۳}[(x-۱)(\frac{x}{۲} + ۱)] = ۲$$
معادله لگاریتمی را به صورت نمایی مینویسیم ($\log_b A = C \implies b^C = A$):
$$(x-۱)(\frac{x}{۲} + ۱) = ۳^۲$$
$$(x-۱)(\frac{x}{۲} + ۱) = ۹$$
پرانتزها را در هم ضرب میکنیم:
$$\frac{x^۲}{۲} + x - \frac{x}{۲} - ۱ = ۹$$
$$\frac{x^۲}{۲} + \frac{x}{۲} - ۱۰ = ۰$$
برای خلاص شدن از کسر، در ۲ ضرب میکنیم:
$$\mathbf{x^۲ + x - ۲۰ = ۰}$$
با تجزیه: $(x + ۵)(x - ۴) = ۰$. جوابهای جبری $\mathbf{x = -۵}$ و $\mathbf{x = ۴}$ هستند.
#### ۳. بررسی جواب
* $\mathbf{x = -۵}$: شرط $x > ۱$ را ارضا **نمیکند**.
* $\mathbf{x = ۴}$: شرط $x > ۱$ را ارضا میکند.
**جواب معادله**: $\mathbf{x = ۴}$
---
### پ) $\log x + \log(x+۳) = ۱$
#### ۱. شرط دامنه
توجه: اگر پایه لگاریتم نوشته نشده باشد، منظور $\mathbf{\log_{۱۰}}$ است.
1. $x > ۰$
2. $x + ۳ > ۰ \implies x > -۳$
**شرط نهایی**: $\mathbf{x > ۰}$
#### ۲. حل معادله
از **قانون لگاریتم حاصل ضرب** استفاده میکنیم:
$$\log x = ۱$$
معادله لگاریتمی را به صورت نمایی مینویسیم ($\log_{۱۰} A = ۱ \implies ۱۰^۱ = A$):
$$x(x+۳) = ۱۰$$
$$x^۲ + ۳x - ۱۰ = ۰$$
با تجزیه: $(x + ۵)(x - ۲) = ۰$. جوابهای جبری $\mathbf{x = -۵}$ و $\mathbf{x = ۲}$ هستند.
#### ۳. بررسی جواب
* $\mathbf{x = -۵}$: شرط $x > ۰$ را ارضا **نمیکند**.
* $\mathbf{x = ۲}$: شرط $x > ۰$ را ارضا میکند.
**جواب معادله**: $\mathbf{x = ۲}$
