پاسخ کاردرکلاس صفحه87 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۸۷ حسابان یازدهم سلام! این اثبات، قانون **لگاریتم حاصل تقسیم** است که بیان می‌کند لگاریتم کسر، برابر با تفاضل لگاریتم صورت و مخرج است. از تعریف لگاریتم و خواص توان استفاده می‌کنیم. 💡 --- ### گام اول: تعریف متغیرها فرض می‌کنیم: $$\mathbf{x = \log_{c} a} \quad \implies \quad c^x = a \quad \text{(معادله ۱)}$$ $$\mathbf{y = \log_{c} b} \quad \implies \quad c^y = b \quad \text{(معادله ۲)}$$ ### گام دوم: تشکیل حاصل تقسیم عبارت $\frac{a}{b}$ را با استفاده از معادلات ۱ و ۲ بازنویسی می‌کنیم: $$\frac{a}{b} = \frac{c^x}{c^y}$$ ### گام سوم: استفاده از قانون توان با استفاده از قانون تقسیم در توان‌ها ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$): $$\frac{a}{b} = c^{x - y} \quad \text{(معادله ۳)}$$ ### گام چهارم: تبدیل به لگاریتم اکنون، معادله ۳ را با استفاده از تعریف لگاریتم ($b^z = A \iff z = \log_{b} A$) به فرم لگاریتمی می‌نویسیم: $$\log_{c} \frac{a}{b} = x - y$$ ### گام پنجم: جایگذاری متغیرها در نهایت، $x$ و $y$ را با تعاریف اصلی خود (لگاریتم) جایگذاری می‌کنیم: $$\mathbf{\log_{c} \frac{a}{b} = \log_{c} a - \log_{c} b}$$ **نتیجه**: این قانون نشان می‌دهد که عمل تقسیم در داخل لگاریتم، معادل عمل تفریق در بیرون لگاریتم است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۸۷ حسابان یازدهم سلام! در این تمرین، از قوانین اصلی لگاریتم‌ها (لگاریتم حاصل ضرب، لگاریتم حاصل تقسیم، و لگاریتم توان) استفاده می‌کنیم تا عبارات را بر حسب $\mathbf{a = \log ۲}$ و $\mathbf{b = \log ۳}$ بنویسیم. توجه کنید که پایه لگاریتم در تمام عبارات، $\mathbf{۱۰}$ است. 🔢 --- ### الف) $\log ۰.۷۵$ * **گام ۱: تبدیل اعشار به کسر و ساده‌سازی**: $$۰.۷۵ = \frac{۷۵}{۱۰۰} = \frac{۳}{۴}$$ * **گام ۲: استفاده از قانون تقسیم و توان**: $$\log ۰.۷۵ = \log \frac{۳}{۴} = \log ۳ - \log ۴$$ $$\log ۴ = \log ۲^۲ = ۲ \log ۲$$ * **گام ۳: جایگذاری $a$ و $b$**: $$\log ۰.۷۵ = \log ۳ - ۲ \log ۲ = \mathbf{b - ۲a}$$ --- ### ب) $۳\log \sqrt{۴۰} - \log ۲۵۰$ * **گام ۱: بازنویسی عبارت‌ها به صورت توان‌ها**: $$\log \sqrt{۴۰} = \log ۴۰^{\frac{۱}{۲}} = \frac{۱}{۲} \log ۴۰$$ * **گام ۲: تجزیه اعداد داخل لگاریتم (بر حسب ۲ و ۳ و ۱۰)**: $$\log ۴۰ = \log (۴ \times ۱۰) = \log (۲^۲ \times ۱۰) = \log ۲^۲ + \log ۱۰ = ۲ \log ۲ + \mathbf{۱}$$ (زیرا $\log ۱۰ = ۱$) $$\log ۲۵۰ = \log (۲۵ \times ۱۰) = \log ۵^۲ + \log ۱۰ = ۲ \log ۵ + ۱$$ * **نکته کلیدی**: $\log ۵ = \log \frac{۱۰}{۲} = \log ۱۰ - \log ۲ = \mathbf{۱ - a}$ * **گام ۳: ساده‌سازی لگاریتم‌ها**: $$۳\log \sqrt{۴۰} = ۳ (\frac{۱}{۲} \log ۴۰) = \frac{۳}{۲} (۲ \log ۲ + ۱) = ۳ \log ۲ + \frac{۳}{۲} = \mathbf{۳a + \frac{۳}{۲}}$$ $$\log ۲۵۰ = ۲(۱ - a) + ۱ = ۲ - ۲a + ۱ = \mathbf{۳ - ۲a}$$ * **گام ۴: تفریق و نتیجه نهایی**: $$۳\log \sqrt{۴۰} - \log ۲۵۰ = (۳a + \frac{۳}{۲}) - (۳ - ۲a)$$ $$= ۳a + \frac{۳}{۲} - ۳ + ۲a = ۵a + \frac{۳ - ۶}{۲} = \mathbf{۵a - \frac{۳}{۲}}$$ --- ### پ) $\log ۰.۰۰۵$ * **گام ۱: تبدیل اعشار به کسر**: $$۰.۰۰۵ = \frac{۵}{۱۰۰۰}$$ * **گام ۲: استفاده از قانون تقسیم**: $$\log ۰.۰۰۵ = \log \frac{۵}{۱۰۰۰} = \log ۵ - \log ۱۰۰۰$$ * **گام ۳: ساده‌سازی و جایگذاری**: $$\log ۱۰۰۰ = \log ۱۰^۳ = \mathbf{۳}$$ $$\log ۵ = \mathbf{۱ - a} \quad \text{(از قسمت قبل)}$$ * **گام ۴: نتیجه نهایی**: $$\log ۰.۰۰۵ = (۱ - a) - ۳ = \mathbf{-a - ۲}$$