پاسخ فعالیت صفحه 72 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ تا ۳ صفحه ۷۲ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت یک مثال کلاسیک از **رشد نمایی** (Exponential Growth) است که در آن، مقدار اولیه با یک نرخ ثابت در دوره‌های زمانی مساوی (هر ۱ ساعت) رشد می‌کند. 🦠 **رابطه اصلی**: جرم باکتری‌ها هر ساعت **دو برابر** می‌شود. --- ### الف) محاسبه جرم در $t=۵$ و $t=۶$ جرم در هر ساعت دو برابر جرم ساعت قبل است: * **در $t=۴$**: $m(۴) = ۲ \times m(۳) = ۲ \times ۸ = \mathbf{۱۶}$ گرم. * (این مقدار خانه خالی در سطر پنجم جدول را پر می‌کند.) * **در $t=۵$**: $m(۵) = ۲ \times m(۴) = ۲ \times ۱۶ = \mathbf{۳۲}$ گرم. * **در $t=۶$**: $m(۶) = ۲ \times m(۵) = ۲ \times ۳۲ = \mathbf{۶۴}$ گرم. **جدول تکمیل شده (بخشی):** | $t$ (ساعت) | $m(t)$ (گرم) | | :---: | :---: | | ۴ | **۱۶** | | ۵ | **۳۲** | | ۶ | **۶۴** | --- ### ب) زمان لازم برای رسیدن به ۲۵۶ و ۱۰۲۴ گرم با توجه به اینکه جرم هر ساعت دو برابر می‌شود، دنبال توان‌هایی از ۲ هستیم: * **برای ۲۵۶ گرم**: $m(t) = ۲۵۶$. $$۲۵۶ = ۲^t$$ $$۲^۸ = ۲۵۶ \implies \mathbf{t = ۸ \quad \text{ساعت}}$$ * **برای ۱۰۲۴ گرم**: $m(t) = ۱۰۲۴$. $$۱۰۲۴ = ۲^t$$ $$۲^{۱۰} = ۱۰۲۴ \implies \mathbf{t = ۱۰ \quad \text{ساعت}}$$ * (این مقدار خانه خالی در سطر آخر جدول را پر می‌کند.) --- ### پ) یافتن الگو برای محاسبه جرم در هر زمان **بله، می‌توان الگویی به دست آورد.** اگر به رابطه بین $t$ و $m(t)$ در جدول نگاه کنیم: | $t$ (زمان) | $m(t)$ (جرم) | $\mathbf{m(t)}$ به صورت توان ۲ | | :---: | :---: | :---: | | ۰ | ۱ | $۲^۰$ | | ۱ | ۲ | $۲^۱$ | | ۲ | ۴ | $۲^۲$ | | ۳ | ۸ | $۲^۳$ | | $ots$ | $ots$ | $ots$ | | ۱۰ | ۱۰۲۴ | $۲^{۱۰}$ | **الگوی کلی (ضابطه تابع)**: جرم باکتری‌ها ($m$) در زمان ($t$) برابر است با $۲$ به توان $t$. $$\mathbf{m(t) = ۲^t}$$ **توضیح**: این الگو یک **تابع نمایی** است که در آن، متغیر ($t$) در توان قرار گرفته است و نرخ رشد ثابت (پایه ۲) را نشان می‌دهد. این تابع مدل ریاضی برای رشد جرم باکتری‌ها در هر زمان $t$ است.