کار در کلاس ۲ بررسی پیوستگی در بازه‌های مختلف از روی نمودار حسابان یازدهم
در شکل روبه‌رو نمودار تابع $f$ رسم شده است. کدام یک از عبارات زیر درست و کدام یک نادرست هستند؟
الف) تابع $f$ بر بازه $[۰, ۲]$ پیوسته است.
ب) تابع $f$ بر بازه $[۲, ۳]$ پیوسته است.
پ) تابع $f$ بر بازه $[۳, ۴]$ پیوسته است.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۵۰ حسابان یازدهم
سلام! برای بررسی پیوستگی روی بازه، باید مطمئن شویم که تابع در تمام نقاط **درونی** و **نقاط مرزی** (با استفاده از حدود یک طرفه) پیوسته است.
---
### الف) تابع $f$ بر بازه $[۰, ۲]$ پیوسته است.
**نقاط مرزی**: $a=۰$ و $b=۲$.
1. **پیوستگی داخلی (۰, ۲)**: نمودار در این بازه باز **پیوسته** است (یک قوس بدون حفره یا پرش).
2. **پیوستگی از راست در $x=۰$**:
* $f(۰) = ۱$ (نقطه پر)
* $\lim_{x \to ۰^+} f(x) = ۱$
* $\mathbf{\lim_{x \to ۰^+} f(x) = f(۰)}$ $\checkmark$
3. **پیوستگی از چپ در $x=۲$**:
* $f(۲) = ۳$ (نقطه پر)
* $\lim_{x \to ۲^-} f(x) = ۳$
* $\mathbf{\lim_{x \to ۲^-} f(x) = f(۲)}$ $\checkmark$
**نتیجه**: تابع در $[۰, ۲]$ پیوسته است. $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$
---
### ب) تابع $f$ بر بازه $[۲, ۳]$ پیوسته است.
**نقاط مرزی**: $a=۲$ و $b=۳$.
1. **پیوستگی داخلی (۲, ۳)**: نمودار در این بازه باز **پیوسته** است.
2. **پیوستگی از راست در $x=۲$**:
* $f(۲) = ۳$ (نقطه پر)
* $\lim_{x \to ۲^+} f(x) = ۲$ (نقطه توخالی در $y=۲$)
* $\mathbf{\lim_{x \to ۲^+} f(x) \ne f(۲)}$ ($\mathbf{۲ \ne ۳}$)
**نتیجه**: پیوستگی از راست در $x=۲$ نقض شده است. $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$
---
### پ) تابع $f$ بر بازه $[۳, ۴]$ پیوسته است.
**نقاط مرزی**: $a=۳$ و $b=۴$.
1. **پیوستگی داخلی (۳, ۴)**: نمودار یک خط افقی بدون حفره است، پس **پیوسته** است.
2. **پیوستگی از راست در $x=۳$**:
* $f(۳) = ۱$ (نقطه پر)
* $\lim_{x \to ۳^+} f(x) = ۲$ (نقطه توخالی در $y=۲$)
* $\mathbf{\lim_{x \to ۳^+} f(x) \ne f(۳)}$ ($\mathbf{۲ \ne ۱}$)
3. **پیوستگی از چپ در $x=۴$**:
* $f(۴) = ۱$ (نقطه پر)
* $\lim_{x \to ۴^-} f(x) = ۱$
* $\mathbf{\lim_{x \to ۴^-} f(x) = f(۴)}$ $\checkmark$
**نتیجه**: پیوستگی از راست در $x=۳$ نقض شده است. $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$
