تمرین ۱۰ طول پارهخط در مثلث حسابان یازدهم
نقاط $A(۴, ۲)$ و $B(۱, -۱)$ و $C(-۱, ۲)$ سه رأس مثلث $ABC$ هستند. اگر $H$ و $M$ به ترتیب پای ارتفاع $AH$ و میانه $AM$ باشند، طول $MH$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۳۵ حسابان یازدهم
برای محاسبه طول $MH$ (فاصله بین پای ارتفاع و میانه)، باید مختصات نقاط $M$ (نقطه وسط $BC$) و $H$ (پای عمود از $A$ بر $BC$) را به دست آوریم.
---
### ۱. محاسبه مختصات $M$ (پای میانه $AM$)
$M$ نقطه وسط ضلع $BC$ است. از فرمول نقطه وسط استفاده میکنیم:
$$M = \left(\frac{x_B + x_C}{۲}, \frac{y_B + y_C}{۲}\right) = \left(\frac{۱ + (-۱)}{۲}, \frac{-۱ + ۲}{۲}\right)$$
$$M = \left(\frac{۰}{۲}, \frac{۱}{۲}\right) = \mathbf{(۰, ۰.۵)}$$
---
### ۲. محاسبه مختصات $H$ (پای ارتفاع $AH$)
$H$ نقطه برخورد ارتفاع $AH$ با خط $BC$ است. $AH$ بر $BC$ عمود است.
**الف) معادله خط $BC$**:
* **شیب $m_{BC}$**:
$$m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{۲ - (-۱)}{-۱ - ۱} = \frac{۳}{-۲} = \mathbf{-\frac{۳}{۲}}$$
* **معادله خط $BC$**: با شیب $-\frac{۳}{۲}$ از $B(۱, -۱)$:
$$y - (-۱) = -\frac{۳}{۲} (x - ۱) \implies ۲(y + ۱) = -۳(x - ۱)$$
$$۲y + ۲ = -۳x + ۳ \implies \mathbf{۳x + ۲y - ۱ = ۰}$$
**ب) معادله خط $AH$ (ارتفاع)**:
* **شیب $m_{AH}$**: چون $AH \perp BC$: $m_{AH} = -\frac{۱}{m_{BC}} = -\frac{۱}{-\frac{۳}{۲}} = \mathbf{\frac{۲}{۳}}$
* **معادله خط $AH$**: با شیب $\frac{۲}{۳}$ از $A(۴, ۲)$:
$$y - ۲ = \frac{۲}{۳} (x - ۴) \implies ۳(y - ۲) = ۲(x - ۴)$$
$$۳y - ۶ = ۲x - ۸ \implies \mathbf{۲x - ۳y - ۲ = ۰}$$
**ج) مختصات $H$**: حل دستگاه معادلات $BC$ و $AH$:
$$\begin{cases} ۳x + ۲y = ۱ \\ ۲x - ۳y = -۲ \end{cases}$$
(اولین معادله را در ۳ و دومین را در ۲ ضرب میکنیم):
$$\begin{cases} ۹x + ۶y = ۳ \\ 4x - ۶y = -۴ \end{cases}$$
با جمع دو معادله: $۱۳x = -۱ \implies x_H = \mathbf{-\frac{۱}{۱۳}}$
برای $y_H$: $۳(-\frac{۱}{۱۳}) + ۲y = ۱ \implies -\frac{۳}{۱۳} + ۲y = ۱ \implies ۲y = ۱ + \frac{۳}{۱۳} = \frac{۱۶}{۱۳} \implies y_H = \mathbf{\frac{۸}{۱۳}}$
$$H = \left(-\frac{۱}{۱۳}, \frac{۸}{۱۳}\right)$$
---
### ۳. محاسبه طول $MH$
از فرمول فاصله دو نقطه $M(۰, ۰.۵) = (۰, \frac{۱}{۲})$ و $H(-\frac{۱}{۱۳}, \frac{۸}{۱۳})$ استفاده میکنیم:
$$MH = \sqrt{(x_H - x_M)^۲ + (y_H - y_M)^۲}$$
$$MH = \sqrt{\left(-\frac{۱}{۱۳} - ۰\right)^۲ + \left(\frac{۸}{۱۳} - \frac{۱}{۲}\right)^۲}$$
$$MH = \sqrt{\left(\frac{-۱}{۱۳}\right)^۲ + \left(\frac{۱۶ - ۱۳}{۲۶}\right)^۲}$$ (مخرج مشترک برای $y$: ۲۶)
$$MH = \sqrt{\frac{۱}{۱۶۹} + \frac{۳^۲}{۶۷۶}} = \sqrt{\frac{۱}{۱۶۹} + \frac{۹}{۶۷۶}}$$
$$MH = \sqrt{\frac{۴}{۶۷۶} + \frac{۹}{۶۷۶}} = \sqrt{\frac{۱۳}{۶۷۶}}$$
$$\text{چون } ۶۷۶ = ۲۶^۲ \text{ و } ۱۳ = \sqrt{۱۳}^۲ ext{ است:}$$
$$MH = \frac{\sqrt{۱۳}}{\sqrt{۶۷۶}} = \frac{\sqrt{۱۳}}{۲۶}$$
**نتیجه**: طول $MH$ برابر $\mathbf{\frac{\sqrt{۱۳}}{۲۶}}$ است.
