حل فعالیت صفحه 33 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ و ۲ صفحه ۳۳ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت مقدمه‌ای برای محاسبه **فاصله نقطه از خط** است. برای این کار، ابتدا باید خطی که از نقطه مورد نظر می‌گذرد و بر خط اصلی عمود است را پیدا کنیم. --- ### ۱. رسم عمود $AH$ بر خط $d$ همانطور که در هندسه می‌دانیم، عمود از نقطه $A$ بر خط $d$، کوتاه‌ترین فاصله بین $A$ و $d$ را نشان می‌دهد. * **عمود $AH$**: پاره‌خطی است که از نقطه $A(۴, ۳)$ شروع شده و خط $d$ را در نقطه‌ای به نام $H$ قطع می‌کند، به طوری که زاویه بین $AH$ و $d$ **۹۰ درجه** باشد. ### ۲. رابطه بین شیب‌های $d$ و $AH$ **گام الف: محاسبه شیب خط $d$ ($m_d$) ** معادله خط $d$ به صورت $۲y + x = ۵$ است. برای محاسبه شیب، آن را به فرم استاندارد $y = mx + b$ تبدیل می‌کنیم: $$۲y = -x + ۵$$ $$y = -\frac{۱}{۲}x + \frac{۵}{۲}$$ پس، شیب خط $d$ برابر است با: $\mathbf{m_d = -\frac{۱}{۲}}$ **گام ب: استفاده از شرط تعامد** اگر دو خط (مانند $d$ و $AH$) بر هم **عمود** باشند، حاصل‌ضرب شیب‌های آن‌ها برابر **$-۱$** است: $$\mathbf{m_d \times m_{AH} = -۱}$$ **نتیجه رابطه**: رابطه بین شیب‌های دو خط $d$ و $AH$، همان شرط تعامد است که بیان می‌کند: $$\mathbf{m_{AH} = -\frac{۱}{m_d}}$$ ---

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۳۳ حسابان یازدهم برای تعیین معادله خط $AH$، به دو چیز نیاز داریم: **شیب** آن و **نقطه‌ای** که از آن می‌گذرد. نقطه $A(۴, ۳)$ داده شده و شیب را از شرط تعامد به دست می‌آوریم. ### ۱. محاسبه شیب خط $AH$ ($m_{AH}$) در فعالیت قبلی، شیب خط $d$ را $\mathbf{m_d = -\frac{۱}{۲}}$ به دست آوردیم. با استفاده از شرط تعامد ($m_{AH} = -\frac{۱}{m_d}$): $$m_{AH} = -\frac{۱}{-\frac{۱}{۲}} = -(-۲) = \mathbf{۲}$$ ### ۲. نوشتن معادله خط $AH$ خط $AH$ با شیب $m=۲$ از نقطه $A(x_۰, y_۰) = (۴, ۳)$ می‌گذرد. از فرمول **معادله خط با شیب و یک نقطه** استفاده می‌کنیم: $$\mathbf{y - y_۰ = m (x - x_۰)}$$ $$y - ۳ = ۲ (x - ۴)$$ $$y - ۳ = ۲x - ۸$$ $$y = ۲x - ۵$$ **معادله خط $AH$**: $\mathbf{y = ۲x - ۵}$ (یا $۲x - y - ۵ = ۰$)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۳۳ حسابان یازدهم **محل برخورد** دو خط، نقطه‌ای است که در معادله هر دو خط صدق می‌کند. بنابراین باید **دستگاه معادلات** تشکیل شده از دو خط $d$ و $AH$ را حل کنیم. ### گام ۱: تشکیل دستگاه معادلات * **خط $d$**: $۲y + x = ۵$ (یا $x = ۵ - ۲y$) * **خط $AH$**: $y = ۲x - ۵$ ### گام ۲: حل دستگاه معادلات (روش جایگذاری) معادله خط $AH$ را بر حسب $x$ می‌نویسیم: $۲x = y + ۵$. بهتر است معادله خط $d$ را بر حسب $x$ بنویسیم و در $AH$ جایگذاری کنیم: * از خط $d$: $x = ۵ - ۲y$ * در خط $AH$ جایگذاری می‌کنیم: $$y = ۲(۵ - ۲y) - ۵$$ $$y = ۱۰ - ۴y - ۵$$ $$y = 5 - ۴y$$ $$۵y = ۵ \implies \mathbf{y = ۱}$$ ### گام ۳: پیدا کردن $x$ مقدار $y=۱$ را در معادله خط $d$ جایگذاری می‌کنیم: $$x = ۵ - ۲y$$ $$x = ۵ - ۲(۱) = ۵ - ۲ \implies \mathbf{x = ۳}$$ **نتیجه**: مختصات محل برخورد دو خط (نقطه $H$) برابر $\mathbf{(۳, ۱)}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۵ صفحه ۳۳ حسابان یازدهم طول پاره‌خط $AH$ (که همان فاصله نقطه $A$ از خط $d$ است) با استفاده از **فرمول فاصله دو نقطه** در صفحه مختصات محاسبه می‌شود. ### گام اول: شناسایی مختصات نقاط * **نقطه $A$**: $athbf{(۴, ۳)}$ * **نقطه $H$**: $athbf{(۳, ۱)}$ (نقطه برخورد محاسبه شده در فعالیت قبلی) ### گام دوم: استفاده از فرمول فاصله فرمول فاصله بین دو نقطه $A(x_۱, y_۱)$ و $H(x_۲, y_۲)$ عبارت است از: $$\mathbf{d(A, H) = \sqrt{(x_۲ - x_۱)^۲ + (y_۲ - y_۱)^۲}}$$ جایگذاری مختصات: $$AH = \sqrt{(۳ - ۴)^۲ + (۱ - ۳)^۲}$$ $$AH = \sqrt{(-۱)^۲ + (-۲)^۲}$$ $$AH = \sqrt{۱ + ۴}$$ $$AH = \mathbf{\sqrt{۵}}$$ **نتیجه**: طول پاره‌خط $AH$ (فاصله نقطه $A$ از خط $d$) برابر $\mathbf{\sqrt{۵}}$ است.