حل فعالیت های صفحه 29 و30 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۲۹ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت قصد دارد مفهوم **فاصله و طول پاره‌خط** را روی محور اعداد مرور کند. طول پاره‌خط همواره یک مقدار **مثبت** است. ### ۱. محاسبه طول پاره‌خط $OA$ * **مختصات نقاط:** $O$ مبدأ است (۰)، و $A$ متناظر با ۴ است. * **طول $OA$:** فاصله نقطه $A$ از مبدأ $O$ است، که برابر است با **قدر مطلق** مختصات $A$. $$\text{طول } OA = |۴ - ۰| = |۴| = \mathbf{۴}$$ ### ۲. محاسبه طول پاره‌خط $OB$ * **مختصات نقاط:** $O$ مبدأ است (۰)، و $B$ متناظر با $-۳$ است. * **طول $OB$:** فاصله نقطه $B$ از مبدأ $O$ است، که برابر است با **قدر مطلق** مختصات $B$. $$\text{طول } OB = |-۳ - ۰| = |-۳| = \mathbf{۳}$$ **نتیجه**: طول پاره‌خط $OA$ برابر **۴** واحد و طول پاره‌خط $OB$ برابر **۳** واحد است. به طور کلی، طول پاره‌خط $OA$ برای هر نقطه $A$ با مختصات $a$ برابر با **$|a|$** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۲۹ حسابان یازدهم بسیار خب، در این قسمت می‌خواهیم طول پاره‌خطی را محاسبه کنیم که هیچکدام از نقاط آن، مبدأ (O) نیستند. ### محاسبه طول پاره‌خط $BA$ * **مختصات نقاط:** $B$ متناظر با $-۳$ و $A$ متناظر با $۴$ است. * **طول $BA$:** طول پاره‌خط $BA$ برابر است با **قدر مطلق اختلاف** مختصات دو نقطه. $$\text{طول } BA = |A - B| = |۴ - (-۳)|$$ $$\text{طول } BA = |۴ + ۳| = |۷| = \mathbf{۷}$$ **توضیح هندسی**: همانطور که از روی محور اعداد مشخص است (فاصله از $-۳$ تا $۰$ برابر ۳ و فاصله از $۰$ تا $۴$ برابر ۴ است)، طول کلی پاره‌خط $BA$ برابر با مجموع این دو طول است: $۳ + ۴ = \mathbf{۷}$. **نتیجه**: طول پاره‌خط $BA$ برابر **۷** واحد است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۲۹ حسابان یازدهم این سوال، در واقع تکرار سوال قبلی (فعالیت ۲) است اما با تاکید بر کلمه **فاصله**. در ریاضیات، **فاصله** بین دو نقطه روی محور اعداد همواره یک مقدار **نامنفی** است و با استفاده از قدر مطلق تعریف می‌شود. ### محاسبه فاصله * **مختصات نقاط:** $A=۴$ و $B=-۳$. * **فرمول فاصله:** فاصله بین دو نقطه $a$ و $b$ روی محور اعداد برابر است با $|a - b|$. $$\text{فاصله } AB = |۴ - (-۳)| = |۴ + ۳| = \mathbf{۷}$$ $$\text{یا } AB = |-۳ - ۴| = |-۷| = \mathbf{۷}$$ **نتیجه**: فاصله بین دو نقطه $A$ و $B$ برابر **۷** واحد است. این فاصله همان طول پاره‌خط $BA$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۲۹ حسابان یازدهم این فعالیت به شما کمک می‌کند تا به یک **فرمول کلی و واحد** برای محاسبه فاصله بین هر دو نقطه روی محور اعداد برسید. ### تحلیل دو حالت نمایش داده شده **۱. محور سمت چپ:** * **موقعیت:** نقطه $A$ با مختصات $a$ در سمت چپ نقطه $B$ با مختصات $b$ قرار دارد. پس $\mathbf{a < b}$. * **فاصله:** فاصله بین آن‌ها برابر است با **$b - a$** (عدد بزرگتر منهای عدد کوچکتر). **۲. محور سمت راست:** * **موقعیت:** نقطه $B$ با مختصات $b$ در سمت چپ نقطه $A$ با مختصات $a$ قرار دارد. پس $\mathbf{b < a}$. * **فاصله:** فاصله بین آن‌ها برابر است با **$a - b$** (عدد بزرگتر منهای عدد کوچکتر). ### نتیجه‌گیری کلی (استفاده از قدر مطلق) در هر دو حالت، فاصله بین $A$ و $B$ یک عدد **مثبت** است. * در حالت اول: $b - a$ مثبت است، پس $b - a = |b - a|$. * در حالت دوم: $a - b$ مثبت است، پس $a - b = |a - b|$. از آنجا که $|a - b| = |b - a|$ (خاصیت قرینه‌پذیری قدر مطلق)، می‌توانیم یک فرمول واحد برای فاصله بین هر دو نقطه $A$ و $B$ با مختصات $a$ و $b$ تعریف کنیم: > **فاصله بین دو نقطه $A$ و $B$ روی محور اعداد، برابر است با قدر مطلق تفاضل مختصات آن‌ها.** $$\mathbf{\text{فاصله } AB = |a - b|}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۳۰ حسابان یازدهم سلام دانش‌آموزان عزیز! این فعالیت مقدمه‌ای برای استخراج **فرمول فاصله دو نقطه در صفحه مختصات** است. با استفاده از **قضیه فیثاغورس** می‌توانیم فاصله (طول پاره‌خط) بین هر دو نقطه را محاسبه کنیم. 📐 ### الف) مشخص کردن مختصات * **نقطه $A(۲, ۵)$**: * $\mathbf{x_A = ۲}$ (طول از مبدأ روی محور افقی) * $\mathbf{y_A = ۵}$ (عرض از مبدأ روی محور عمودی) * **نقطه $B(۶, ۳)$**: * $\mathbf{x_B = ۶}$ (طول از مبدأ روی محور افقی) * $\mathbf{y_B = ۳}$ (عرض از مبدأ روی محور عمودی) ### ب) محاسبه طول پاره‌خط $AB$ با استفاده از فیثاغورس پاره‌خط $AB$ وتر مثلث قائم‌الزاویه $AHB$ است که در آن، نقطه $H$ دارای مختصات $(x_B, y_A)$ یعنی $\mathbf{(۶, ۵)}$ است. **۱. محاسبه طول ضلع $AH$ (تفاضل طول‌ها):** طول ضلع $AH$ موازی محور $x$ است و برابر با فاصله بین $x_A$ و $x_B$ است: $$\text{طول } AH = |x_B - x_A| = |۶ - ۲| = |۴| = \mathbf{۴}$$ **۲. محاسبه طول ضلع $BH$ (تفاضل عرض‌ها):** طول ضلع $BH$ موازی محور $y$ است و برابر با فاصله بین $y_A$ و $y_B$ است: $$\text{طول } BH = |y_A - y_B| = |۵ - ۳| = |۲| = \mathbf{۲}$$ **۳. استفاده از قضیه فیثاغورس**: در مثلث قائم‌الزاویه، مربع وتر برابر است با مجموع مربع دو ضلع دیگر: $$AB^۲ = AH^۲ + BH^۲$$ $$AB^۲ = ۴^۲ + ۲^۲$$ $$AB^۲ = ۱۶ + ۴$$ $$AB^۲ = ۲۰$$ **۴. محاسبه طول $AB$**: $$\text{طول } AB = \sqrt{۲۰}$$ $$\text{طول } AB = \mathbf{۲\sqrt{۵}}$$ (زیرا $\sqrt{۲۰} = \sqrt{۴ \times ۵} = ۲\sqrt{۵}$) **نتیجه**: طول پاره‌خط $AB$ برابر $\mathbf{۲\sqrt{۵}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۳۰ حسابان یازدهم آفرین! این بخش هدف اصلی درس، یعنی **استخراج فرمول کلی فاصله دو نقطه در صفحه مختصات** را دنبال می‌کند. ما همان روش قضیه فیثاغورس را برای مختصات کلی $\mathbf{(x_۱, y_۱)}$ و $\mathbf{(x_۲, y_۲)}$ اعمال می‌کنیم. ### گام اول: محاسبه طول اضلاع مثلث قائم‌الزاویه مثلث قائم‌الزاویه $AHB$ را در نظر می‌گیریم که در آن $H$ دارای مختصات $(x_۲, y_۱)$ است. **۱. طول ضلع $AH$ (تفاضل طول‌ها):** $AH$ برابر است با فاصله افقی بین $x_۱$ و $x_۲$. طول‌ها را با قدر مطلق نشان می‌دهیم: $$\text{طول } AH = |x_۲ - x_۱|$$ **۲. طول ضلع $BH$ (تفاضل عرض‌ها):** $BH$ برابر است با فاصله عمودی بین $y_۱$ و $y_۲$. طول‌ها را با قدر مطلق نشان می‌دهیم: $$\text{طول } BH = |y_۲ - y_۱|$$ ### گام دوم: استفاده از قضیه فیثاغورس قضیه فیثاغورس برای وتر $AB$: $$AB^۲ = AH^۲ + BH^۲$$ **جایگذاری مربع طول‌ها:** چون $(|A|)^۲ = A^۲$، نیازی به نوشتن قدر مطلق در زیر توان ۲ نیست: $$AB^۲ = (|x_۲ - x_۱|)^۲ + (|y_۲ - y_۱|)^۲$$ $$\mathbf{AB^۲ = (x_۲ - x_۱)^۲ + (y_۲ - y_۱)^۲}$$ ### گام سوم: استخراج فرمول نهایی فاصله با جذر گرفتن از دو طرف، فرمول طول پاره‌خط $AB$ (یا فاصله بین دو نقطه) به دست می‌آید: $$AB = \sqrt{(x_۲ - x_۱)^۲ + (y_۲ - y_۱)^۲}$$ **نتیجه (فرمول فاصله)**: فاصله بین دو نقطه $A(x_۱, y_۱)$ و $B(x_۲, y_۲)$ برابر است با: $$\mathbf{d(A, B) = \sqrt{(\text{اختلاف طول‌ها})^۲ + (\text{اختلاف عرض‌ها})^۲}}$$ این مهم‌ترین فرمول در هندسه تحلیلی برای محاسبه فاصله است.