حل تمرین3و4 صفحه 28 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم برای حل این تمرین، از تعریف اصلی **قدر مطلق** استفاده می‌کنیم: $\mathbf{|a - b|}$ بیانگر **فاصله بین $a$ و $b$** است. --- ### الف) فاصله بین $x$ و $۳$ برابر $۷$ است. * **معادله قدر مطلقی**: $$\mathbf{|x - ۳| = ۷}$$ * **حل معادله**: $$x - ۳ = ۷ \quad \text{یا} \quad x - ۳ = -۷$$ $$x = ۱۰ \quad \text{یا} \quad x = -۴$$ * **نمایش روی محور**: دو نقطه توپر در $x=-۴$ و $x=۱۰$. --- ### ب) دو برابر فاصله بین $x$ و $۶$ برابر $۴$ است. * **معادله قدر مطلقی**: $$۲|x - ۶| = ۴$$ $$\mathbf{|x - ۶| = ۲}$$ * **حل معادله**: $$x - ۶ = ۲ \quad \text{یا} \quad x - ۶ = -۲$$ $$x = ۸ \quad \text{یا} \quad x = ۴$$ * **نمایش روی محور**: دو نقطه توپر در $x=۴$ و $x=۸$. --- ### پ) فاصله بین $x$ و $-۳$ بزرگ‌تر از $۲$ است. * **نامعادله قدر مطلقی**: (توجه: فاصله بین $x$ و $-۳$ برابر $|x - (-۳)|$ است) $$|x - (-۳)| > ۲$$ $$\mathbf{|x + ۳| > ۲}$$ * **حل نامعادله**: $$x + ۳ > ۲ \quad \text{یا} \quad x + ۳ < -۲$$ $$x > -۱ \quad \text{یا} \quad x < -۵$$ * **نمایش روی محور**: دو ناحیه باز: $(-\infty, -۵)$ و $(-۱, +\infty)$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم این تمرین شامل یک **معادله کسری با قدر مطلق** و یک **معادله گنگ** است. در هر دو مورد، بررسی دامنه و شرایط پاسخ الزامی است. --- ### الف) $\frac{۲ - x}{|x - ۳|} = ۱$ **گام ۱: تعیین دامنه و شرایط** * **دامنه**: مخرج نباید صفر باشد: $|x - ۳| \ne ۰ \implies \mathbf{x \ne ۳}$. * **شرط**: چون کسر برابر با ۱ است، صورت و مخرج باید برابر باشند و صورت باید مثبت باشد: $۲ - x > ۰ \implies \mathbf{x < ۲}$. **گام ۲: ساده‌سازی معادله** با توجه به شرط $x < ۲$، عبارت داخل قدر مطلق ($x-۳$) همواره **منفی** است (زیرا $x < ۲ \implies x-۳ < -۱$). پس $|x - ۳| = -(x - ۳) = ۳ - x$. معادله به صورت زیر درمی‌آید: $$\frac{۲ - x}{۳ - x} = ۱$$ **گام ۳: حل معادله** $$۲ - x = ۳ - x$$ $$۲ = ۳$$ **بررسی**: تساوی $۲=۳$ **نادرست** است. **نتیجه**: این معادله $\mathbf{جواب \text{ندارد}$ (با توجه به دامنه $x<۲$ و $x \ne ۳$). --- ### ب) $\sqrt{x^۲ - ۲x + ۱} = ۲x + ۱$ **گام ۱: ساده‌سازی رادیکال و تعیین شرط** * **ساده‌سازی**: عبارت زیر رادیکال یک اتحاد مربع کامل است: $$\sqrt{(x - ۱)^۲} = |x - ۱|$$ معادله به صورت: $|x - ۱| = ۲x + ۱$ * **شرط**: چون سمت راست معادله برابر با یک قدر مطلق است، باید نامنفی باشد: $$\mathbf{۲x + ۱ \ge ۰ \implies x \ge -\frac{۱}{۲}}$$ **گام ۲: حل معادله با روش تعریف قدر مطلق** صفر عبارت داخل قدر مطلق $x=۱$ است. دو حالت را در محدوده $athbf{x \ge -\frac{۱}{۲}}$ بررسی می‌کنیم: * **حالت ۱ ($\mathbf{x \ge ۱}$)**: $|x - ۱| = x - ۱$ $$x - ۱ = ۲x + ۱ \implies -۲ = x$$ **بررسی**: $x = -۲$. با شرط $x \ge ۱$ در تناقض است. **(ریشه زاید)**. * **حالت ۲ ($\mathbf{-\frac{۱}{۲} \le x < ۱}$)**: $|x - ۱| = -(x - ۱) = -x + ۱$ $$-x + ۱ = ۲x + ۱$$ $$۰ = ۳x \implies \mathbf{x = ۰}$$ **بررسی**: $x = ۰$. با شرط $-\frac{۱}{۲} \le x < ۱$ سازگار است. **(قابل قبول)**. **نتیجه**: تنها جواب معادله $\mathbf{x = ۰}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم این تمرین شامل دو بخش مجزا برای حل معادلات با استفاده از **روش‌های جبری و هندسی** است. --- ### الف) تابع $y = \frac{x}{|x|}$ و حل معادله $\frac{x}{|x|} = ۲$ **۱. رسم نمودار $y = \frac{x}{|x|}$** ضابطه را به صورت چندضابطه‌ای می‌نویسیم (دامنه: $x \ne ۰$): $$\frac{x}{|x|} = \begin{cases} \frac{x}{x} = ۱, & x > ۰ \\ \frac{x}{-x} = -۱, & x < ۰ \end{cases}$$ * **نمودار**: یک تابع پله‌ای است. برای $x$های مثبت، $y=۱$ و برای $x$های منفی، $y=-۱$. در $x=۰$ تعریف نشده است. **۲. حل معادله $\frac{x}{|x|} = ۲$** * **روش جبری**: چون برد تابع $y = \frac{x}{|x|}$ فقط شامل اعداد $۱, -۱$ است، پس $\frac{x}{|x|}$ هرگز نمی‌تواند برابر $۲$ شود. * **روش هندسی**: خط افقی $y=۲$ هرگز نمودار $y = \frac{x}{|x|}$ را قطع نمی‌کند (زیرا نمودار فقط در $y=۱$ و $y=-۱$ وجود دارد). **جواب معادله**: $\mathbf{جواب \text{ندارد}}$ --- ### ب) تابع $y = |x^۲ - ۶x|$ و حل معادله $|x^۲ - ۶x| = ۲$ **۱. رسم نمودار $y = |x^۲ - ۶x|$** * **نمودار اصلی ($y = x^۲ - ۶x$)**: سهمی رو به بالا با ریشه‌های $x(x-۶) = ۰ \implies x=۰$ و $x=۶$. رأس آن در $x_s = \frac{۰+۶}{۲} = ۳$ و $y_s = 3^۲ - ۶(۳) = 9 - ۱۸ = -۹$. رأس در $(۳, -۹)$. * **اعمال قدر مطلق**: قسمت پایین محور $x$ (بازه $۰ < x < ۶$) قرینه می‌شود. رأس به $\mathbf{(۳, ۹)}$ منتقل می‌شود. **۲. حل معادله $|x^۲ - ۶x| = ۲$** * **روش هندسی**: خط افقی $\mathbf{y=۲}$ نمودار $|x^۲ - ۶x|$ را در **چهار نقطه** قطع می‌کند. پس $athbf{۴}$ جواب وجود دارد. * **روش جبری**: از ویژگی $|A|=c \implies A = c \quad \text{یا} \quad A = -c$ استفاده می‌کنیم. * **حالت ۱ ($x^۲ - ۶x = ۲$):** $$x^۲ - ۶x - ۲ = ۰$$ $$\Delta = (-۶)^۲ - ۴(۱)(-۲) = ۳۶ + ۸ = ۴۴ \implies x = \frac{۶ \pm \sqrt{۴۴}}{۲} = \frac{۶ \pm ۲\sqrt{۱۱}}{۲}$$ $$\mathbf{x_{۱,۲} = ۳ \pm \sqrt{۱۱}}$$ * **حالت ۲ ($x^۲ - ۶x = -۲$):** $$x^۲ - ۶x + ۲ = ۰$$ $$\Delta = (-۶)^۲ - ۴(۱)(۲) = ۳۶ - ۸ = ۲۸ \implies x = \frac{۶ \pm \sqrt{۲۸}}{۲} = \frac{۶ \pm ۲\sqrt{۷}}{۲}$$ $$\mathbf{x_{۳,۴} = ۳ \pm \sqrt{۷}}$$ **جواب معادله**: $\mathbf{۳ \pm \sqrt{۱۱}, ۳ \pm \sqrt{۷}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم سلام! این تمرین شامل یک تابع با **چندین قدر مطلق تودرتو** است. برای رسم نمودار و حل معادله، ابتدا باید تابع را مرحله به مرحله رسم و سپس به روش جبری و هندسی حل کنیم. --- ### الف) رسم نمودار تابع $\mathbf{f(x) = | |x| - ۲ |}$ از رسم نمودار به صورت **مرحله به مرحله** استفاده می‌کنیم: 1. **رسم $y = x$**: خط اصلی با شیب ۱. 2. **رسم $y = |x|$**: قرینه کردن قسمت $x < ۰$ نسبت به محور $y$ (نمودار 'V' شکل، رأس در $(۰, ۰)$). 3. **رسم $y = |x| - ۲$**: نمودار مرحله قبل را **دو واحد به پایین** منتقل می‌کنیم. رأس از $(۰, ۰)$ به $(۰, -۲)$ منتقل می‌شود. ریشه‌ها در $x=\pm ۲$ به دست می‌آیند. 4. **رسم $y = | |x| - ۲ |$**: قدر مطلق نهایی، قسمت‌های پایین محور $x$ (بازه $-۲ < x < ۲$) را نسبت به محور $x$ **قرینه** می‌کند. رأس‌ها در $\mathbf{(-۲, ۰)}$, $\mathbf{(۲, ۰)}$ و یک رأس ماکزیمم در $\mathbf{(۰, ۲)}$ خواهیم داشت. نمودار شبیه یک حرف 'W' است. --- ### ب) حل معادله $\mathbf{| |x| - ۲ | = ۱}$ **۱. روش جبری (حذف قدر مطلق از خارج به داخل)** معادله $|A| = ۱ \implies A = ۱ \quad \text{یا} \quad A = -۱$. * **حالت ۱:** $|x| - ۲ = ۱ \implies |x| = ۳ mplies \mathbf{x = \pm ۳}$ * **حالت ۲:** $|x| - ۲ = -۱ \implies |x| = ۱ mplies \mathbf{x = \pm ۱}$ **جواب‌های جبری**: $\mathbf{-۳, -۱, ۱, ۳}$ **۲. روش هندسی** جواب‌های معادله، نقاط تلاقی نمودار $y = | |x| - ۲ |$ و خط افقی $\mathbf{y=۱}$ هستند. * خط $y=۱$ را روی نمودار رسم می‌کنیم (در ارتفاع $y=۱$). * مشاهده می‌کنیم که خط $y=۱$ نمودار 'W' شکل ما را در **چهار نقطه** قطع می‌کند. * **طول این نقاط**: $x=-۳, x=-۱, x=۱, x=۳$ (که با جواب‌های جبری مطابقت دارند). **نتیجه**: این معادله $\mathbf{۴}$ جواب دارد: $\mathbf{-۳, -۱, ۱, ۳}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم این تمرین به شما کمک می‌کند تا همزمان مهارت‌های رسم نمودار قدر مطلقی و حل معادله متناظر را تمرین کنید. --- ### الف) رسم نمودار تابع $\mathbf{f(x) = |x^۲ - ۲x|}$ 1. **نمودار اصلی ($y = x^۲ - ۲x$)**: یک سهمی رو به بالا است. * **ریشه‌ها**: $x(x - ۲) = ۰ \implies x=۰$ و $x=۲$. * **رأس سهمی**: $x_s = \frac{۰+۲}{۲} = ۱$. $y_s = ۱^۲ - ۲(۱) = -۱$. رأس در $(۱, -۱)$. 2. **اعمال قدر مطلق**: قسمت پایین محور $x$ (بازه $۰ < x < ۲$) را نسبت به محور $x$ **قرینه** می‌کنیم. رأس از $(۱, -۱)$ به $\mathbf{(۱, ۱)}$ منتقل می‌شود. --- ### ب) حل معادله $\mathbf{|x^۲ - ۲x| = ۲}$ **۱. روش هندسی** جواب‌های معادله، نقاط تلاقی نمودار $y = |x^۲ - ۲x|$ و خط افقی $\mathbf{y=۲}$ هستند. * خط $y=۲$ را رسم می‌کنیم. * نمودار سهمی از $(۰, ۰)$ بالا می‌رود، در $(۱, ۱)$ ماکزیمم می‌شود و سپس در $(۲, ۰)$ دوباره به صفر می‌رسد و مجدداً بالا می‌رود. * مشاهده می‌کنیم که خط افقی $y=۲$ نمودار را در **چهار نقطه** قطع می‌کند. پس **۴ جواب** داریم. **۲. روش جبری** از ویژگی $|A|=c \implies A = c \quad \text{یا} \quad A = -c$ استفاده می‌کنیم. * **حالت ۱: $x^۲ - ۲x = ۲$** $$x^۲ - ۲x - ۲ = ۰$$ $$\Delta = (-۲)^۲ - ۴(۱)(-۲) = ۴ + ۸ = ۱۲$$ $$\mathbf{x_{۱,۲} = \frac{۲ \pm \sqrt{۱۲}}{۲} = \frac{۲ \pm ۲\sqrt{۳}}{۲} = ۱ \pm \sqrt{۳}}$$ * **حالت ۲: $x^۲ - ۲x = -۲$** $$x^۲ - ۲x + ۲ = ۰$$ $$\Delta = (-۲)^۲ - ۴(۱)(۲) = ۴ - ۸ = -۴$$ چون $\Delta < ۰$ است، این حالت **ریشه حقیقی ندارد**. **جواب معادله**: $\mathbf{۱ + \sqrt{۳}}$ و $\mathbf{۱ - \sqrt{۳}}$ **بررسی نتیجه هندسی و جبری**: در روش هندسی، به درستی ۴ محل تقاطع را نشان دادیم. اما در روش جبری، فقط دو ریشه واقعی به دست آمد. علت این است که در **روش هندسی**، ما به اشتباه نقاط تلاقی را در بازه $۰ < x < ۲$ هم شمردیم. در این بازه، $x^۲-۲x$ منفی است و به صورت قرینه شده درآمده، که معادله $\mathbf{-(x^۲ - ۲x) = ۲}$ یا $x^۲ - ۲x = -۲$ را می‌دهد که دیدیم جواب ندارد. تنها دو نقطه تلاقی واقعی، در خارج از این بازه هستند (جایی که $|x^۲-۲x|=x^۲-۲x$ است). **نتیجه اصلاح شده**: معادله $\mathbf{۲}$ جواب دارد: $\mathbf{۱ + \sqrt{۳}, ۱ - \sqrt{۳}}$.