حل فعالیت صفحه 27 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۲۷ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت نحوه **چندضابطه‌ای** کردن یک تابع را که دارای **قدر مطلق** است، نشان می‌دهد. کلید کار در اینجاست که تعیین کنیم عبارت داخل قدر مطلق (یعنی $x^۲-۴$) در چه بازه‌هایی مثبت و در چه بازه‌هایی منفی است. ### گام اول: تعیین ریشه‌ها و علامت عبارت $x^۲ - ۴$ ما باید تعیین کنیم که $x^۲ - ۴$ در چه محدوده‌هایی مثبت، صفر یا منفی است. 1. **ریشه‌ها (صفرهای تابع $f(x)$)**: $x^۲ - ۴ = ۰ \implies x^۲ = ۴ \implies x = \pm ۲$. ریشه‌ها **$-۲$** و **$۲$** هستند. 2. **تعیین علامت**: چون نمودار سهمی $f(x) = x^۲ - ۴$ رو به بالا است : * **مثبت (بالای محور $x$)**: $x^۲ - ۴ \ge ۰$ در بازه‌های $x \le -۲$ یا $x \ge ۲$. * **منفی (پایین محور $x$)**: $x^۲ - ۴ < ۰$ در بازه $-۲ < x < ۲$. ### گام دوم: نوشتن تابع $y = |x^۲ - ۴|$ به صورت چندضابطه‌ای با استفاده از تعریف قدر مطلق ($\mathbf{|A| = A}$ اگر $A \ge ۰$ و $\mathbf{|A| = -A}$ اگر $A < ۰$): $$\mathbf{y = |x^۲ - ۴| = \begin{cases} x^۲ - ۴, & x \le -۲ \quad \text{یا} \quad x \ge ۲ \quad (\text{وقتی } x^۲ - ۴ \ge ۰) \\ -(x^۲ - ۴) = -x^۲ + ۴, & -۲ < x < ۲ \quad (\text{وقتی } x^۲ - ۴ < ۰) \end{cases}}$$ **نتیجه**: این تابع دارای سه ضابطه است که بر اساس علامت عبارت زیر قدر مطلق تغییر می‌کنند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۲۷ حسابان یازدهم برای رسم نمودار توابع به شکل $y = |f(x)|$، نیازی به رسم نقطه به نقطه تابع چندضابطه‌ای نیست؛ بلکه می‌توان از یک **تکنیک ساده هندسی** استفاده کرد. ### گام اول: رسم نمودار اصلی $y = f(x) = x^۲ - ۴$ همانطور که در شکل داده شده است : * این یک سهمی رو به بالا است. * ریشه‌های آن $x = -۲$ و $x = ۲$ است. * رأس آن $(۰, -۴)$ است. ### گام دوم: اعمال اثر قدر مطلق ($y = |f(x)|$) قانون تبدیل $y = f(x)$ به $y = |f(x)|$ این است: 1. **قسمت‌های نامنفی ($f(x) \ge ۰$)**: هر قسمتی از نمودار اصلی که **بالای محور $x$** یا روی آن قرار دارد، بدون تغییر باقی می‌ماند (زیرا قدر مطلق عدد مثبت همان عدد است). 2. **قسمت‌های منفی ($f(x) < ۰$)**: هر قسمتی از نمودار اصلی که **پایین محور $x$** قرار دارد، باید نسبت به محور $x$ **قرینه** شود و به بالای محور $x$ منتقل شود (زیرا قدر مطلق عدد منفی، قرینه آن است). ### گام سوم: رسم نمودار نهایی * **حالت مثبت ($x \le -۲$ یا $x \ge ۲$)**: نمودار $x^۲ - ۴$ بدون تغییر می‌ماند. * **حالت منفی ($-۲ < x < ۲$)**: قسمتی از نمودار اصلی که از $-۴$ تا ۰ در محور $y$ پایین رفته بود، اکنون به سمت بالا قرینه می‌شود. رأس سهمی از $(۰, -۴)$ به $\mathbf{(۰, ۴)}$ منتقل می‌شود. **نمودار نهایی**: نموداری شبیه یک **حرف 'W' گرد شده** است که کاملاً بالای محور $x$ قرار دارد و کوچکترین مقدار آن صفر است (در $x=-۲$ و $x=۲$).

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۲۷ حسابان یازدهم این فعالیت یک **فرمول کلی** برای تبدیل هر تابع قدر مطلقی به تابع چندضابطه‌ای است. این فرمول، مستقیماً از **تعریف قدر مطلق** هر عدد حقیقی $A$ ($|A| = A$ اگر $A \ge ۰$ و $|A| = -A$ اگر $A < ۰$) به دست می‌آید. ### تعریف دوضابطه‌ای اگر عبارت داخل قدر مطلق $\mathbf{f(x)}$ باشد، دو حالت ممکن است رخ دهد: 1. **اگر $\mathbf{f(x)}$ نامنفی باشد ($\mathbf{f(x) \ge ۰}$) **: قدر مطلق، همان عبارت داخلش خواهد بود. $$|f(x)| = f(x)$$ 2. **اگر $\mathbf{f(x)}$ منفی باشد ($\mathbf{f(x) < ۰}$) **: قدر مطلق، قرینه عبارت داخلش خواهد بود. $$|f(x)| = -f(x)$$ ### ضابطه نهایی $$\mathbf{y = |f(x)| = \begin{cases} f(x), & f(x) \ge ۰ \\ -f(x), & f(x) < ۰ \end{cases}}$$ **نکته مهم**: در این تعریف، ضابطه‌ها بر اساس **علامت $f(x)$** (یعنی **علامت $y$**) تعیین می‌شوند، نه بر اساس علامت $x$.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۲۷ حسابان یازدهم با توجه به تعریف چندضابطه‌ای تابع $|f(x)|$ (فعالیت ۳) و نحوه رسم نمودار $y = |x^۲ - ۴|$ (فعالیت ۲)، می‌توانیم یک **روش هندسی کلی** برای رسم تابع قدر مطلقی بنویسیم: ### روش ترسیم نمودار $y = |f(x)|$ از روی نمودار $y = f(x)$ 1. **بخش‌های بالای محور $x$ (بخش‌های مثبت یا صفر)**: قسمت‌هایی از نمودار $y = f(x)$ که **بالای محور طول‌ها ($x$)** قرار دارند (یعنی $f(x) \ge ۰$ است)، را **بدون تغییر** رسم کنید. (زیرا $|f(x)| = f(x)$) 2. **بخش‌های پایین محور $x$ (بخش‌های منفی)**: قسمت‌هایی از نمودار $y = f(x)$ که **پایین محور طول‌ها ($x$)** قرار دارند (یعنی $f(x) < ۰$ است)، را نسبت به محور $x$ **قرینه کنید** و به بالای محور $x$ منتقل کنید. (زیرا $|f(x)| = -f(x)$) **مفهوم هندسی**: تمام نمودار تابع $y = |f(x)|$ باید **بالای محور $x$** قرار گیرد. به اصطلاح، هر قسمت از نمودار اصلی که در ناحیه $y$ منفی است، مانند تصویری در آینه، به ناحیه $y$ مثبت منعکس می‌شود.