کار در کلاس ۱ حذف قدر مطلق حسابان یازدهم
حاصل هر یک از عبارتهای زیر را بدون قدر مطلق بنویسید.
الف) $|-۵ - (-۳)| =$
ب) $|\sqrt{۳} - \sqrt{۵}| =$
پ) $|۱ / (۵ - ۲\frac{۱}{۲})| =$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۲۳ حسابان یازدهم
سلام! برای حذف **قدر مطلق** (علامت $|...|$)، باید ابتدا **علامت عبارت داخل قدر مطلق** را مشخص کنیم. اگر مثبت باشد، عبارت را بدون تغییر مینویسیم و اگر منفی باشد، آن را در یک علامت منفی ضرب میکنیم (قرینه میکنیم).
---
### الف) $|-۵ - (-۳)|$
**گام ۱: سادهسازی داخل قدر مطلق**
$$-۵ - (-۳) = -۵ + ۳ = -۲$$
**گام ۲: حذف قدر مطلق**
عبارت داخل قدر مطلق **منفی** است ($-۲$). پس آن را قرینه میکنیم:
$$|-۲| = -(-۲) = \mathbf{۲}$$
---
### ب) $|\sqrt{۳} - \sqrt{۵}|$
**گام ۱: تعیین علامت داخل قدر مطلق**
مقدار $\sqrt{۳}$ تقریباً $۱.۷۳$ و $\sqrt{۵}$ تقریباً $۲.۲۳$ است. چون $۵ > ۳$، پس $\sqrt{۵} > \sqrt{۳}$.
$$\sqrt{۳} - \sqrt{۵}$$ یک عدد **منفی** است.
**گام ۲: حذف قدر مطلق**
چون عبارت داخل قدر مطلق منفی است، آن را قرینه میکنیم:
$$|\sqrt{۳} - \sqrt{۵}| = -(\sqrt{۳} - \sqrt{۵}) = \mathbf{\sqrt{۵} - \sqrt{۳}}$$
---
### پ) $|۱ / (۵ - ۲\frac{۱}{۲})|$
**گام ۱: سادهسازی داخل قدر مطلق**
ابتدا عبارت مخرج را ساده میکنیم. $۲\frac{۱}{۲} = \frac{۵}{۲} = ۲.۵$
$$۵ - ۲\frac{۱}{۲} = ۵ - ۲.۵ = ۲.۵$$
سپس کسر را محاسبه میکنیم:
$$\frac{۱}{۵ - ۲\frac{۱}{۲}} = \frac{۱}{۲.۵}$$
**گام ۲: تعیین علامت و حذف قدر مطلق**
حاصل کسر $\frac{۱}{۲.۵}$ یک عدد **مثبت** است.
$$|\frac{۱}{۲.۵}| = \mathbf{\frac{۱}{۲.۵}}$$
(برای نوشتن به صورت کسری: $\frac{۱}{\frac{۵}{۲}} = \frac{۲}{۵}$)
کار در کلاس ۲ سادهسازی عبارات رادیکالی حسابان یازدهم
عبارتهای زیر را به سادهترین صورت ممکن بنویسید.
الف) $\sqrt{a^۴ + ۲a^۲ + ۱} = \sqrt{(... + ...)^۲} = ...$
ب) $\sqrt{۷ - ۴\sqrt{۳}} = \sqrt{(\sqrt{۳} - ...)^۲} = ...$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۲۳ حسابان یازدهم
بسیار خوب! هدف این تمرین استفاده از اتحادهای جبری (مانند **اتحاد مربع کامل**) برای سادهسازی عبارتهای زیر رادیکال است. نکته کلیدی اینجاست که **$\sqrt{A^۲} = |A|$** (جذر مربع هر عبارت برابر است با قدر مطلق آن عبارت).
---
### الف) $\sqrt{a^۴ + ۲a^۲ + ۱}$
**گام ۱: تشخیص اتحاد مربع کامل**
عبارت زیر رادیکال، یک **اتحاد مربع کامل** است. اگر $A = a^۲$ و $B = ۱$ باشد:
$$A^۲ + ۲AB + B^۲ = (A + B)^۲$$
$$(a^۲)^۲ + ۲(a^۲)(۱) + ۱^۲ = (a^۲ + ۱)^۲$$
**گام ۲: سادهسازی رادیکال**
$$\sqrt{a^۴ + ۲a^۲ + ۱} = \sqrt{(a^۲ + ۱)^۲} = |a^۲ + ۱|$$
**گام ۳: حذف قدر مطلق**
عبارت داخل قدر مطلق، $a^۲ + ۱$، چون $a^۲$ همیشه نامنفی است، همواره **مثبت** است ($a^۲ + ۱ \ge ۱$). بنابراین قدر مطلق حذف میشود و علامت آن تغییر نمیکند.
$$\sqrt{a^۴ + ۲a^۲ + ۱} = \mathbf{a^۲ + ۱}$$
---
### ب) $\sqrt{۷ - ۴\sqrt{۳}}$
**گام ۱: تبدیل به اتحاد مربع کامل**
عبارت $۷ - ۴\sqrt{۳}$ باید به شکل $(A - B)^۲$ درآید. میدانیم $(A - B)^۲ = A^۲ + B^۲ - ۲AB$.
* **جمله وسط:** $-۴\sqrt{۳}$ باید برابر با $-۲AB$ باشد. پس $۲AB = ۴\sqrt{۳} \implies AB = ۲\sqrt{۳}$
* **جمله ثابت:** $A^۲ + B^۲$ باید برابر با $۷$ باشد.
با حدس و آزمایش:
اگر $A = ۲$ و $B = \sqrt{۳}$:
* $AB = ۲\sqrt{۳}$ (درست است)
* $A^۲ + B^۲ = (۲)^۲ + (\sqrt{۳})^۲ = ۴ + ۳ = ۷$ (درست است)
پس داریم:
$$۷ - ۴\sqrt{۳} = (۲)^۲ + (\sqrt{۳})^۲ - ۲(۲)\sqrt{۳} = \mathbf{(۲ - \sqrt{۳})^۲}$$
**گام ۲: سادهسازی رادیکال**
$$\sqrt{۷ - ۴\sqrt{۳}} = \sqrt{(۲ - \sqrt{۳})^۲} = |۲ - \sqrt{۳}|$$
**گام ۳: حذف قدر مطلق**
برای حذف قدر مطلق، علامت داخل آن را بررسی میکنیم. $\sqrt{۳} \approx ۱.۷۳۲$.
$$۲ - \sqrt{۳} \approx ۲ - ۱.۷۳۲ = ۰.۲۶۸$$
عبارت داخل قدر مطلق **مثبت** است ($۲ > \sqrt{۳}$). پس قدر مطلق را بدون تغییر حذف میکنیم.
$$\sqrt{۷ - ۴\sqrt{۳}} = \mathbf{۲ - \sqrt{۳}}$$
