ادامه حل تمرین صفحه22 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۲۲ حسابان یازدهم این یک مسئله کاربردی است که به یک **معادله کسری** منجر می‌شود. فرض‌های مسئله را به صورت متغیرهای جبری تعریف می‌کنیم. ### گام اول: تعریف متغیرها * **$P$**: **قیمت هر اسباب‌بازی** قبل از تخفیف (بر حسب هزار تومان). این همان مجهول نهایی است. * **$N$**: **تعداد** اسباب‌بازی‌هایی که پدربزرگ خریده است. * **هزینه کل**: ۱۲۰ هزار تومان. ### گام دوم: نوشتن روابط بر اساس شرایط مسئله **۱. حالت اولیه (بدون تخفیف):** * هزینه کل = تعداد $\times$ قیمت هر اسباب‌بازی $$۱۲۰ = N \times P \implies \mathbf{N = \frac{۱۲۰}{P}} \quad \text{(تعداد اصلی)}$$ **۲. حالت تخفیف‌دار (قیمت جدید $P-۱$):** * **قیمت جدید**: $P' = P - ۱$ (هزار تومان تخفیف) * **تعداد جدید**: $N' = N + ۴$ (چهار اسباب‌بازی بیشتر) * **هزینه کل**: همان ۱۲۰ هزار تومان $$۱۲۰ = N' \times P' \implies ۱۲۰ = (N + ۴)(P - ۱)$$ ### گام سوم: تشکیل و حل معادله مقدار $N = \frac{۱۲۰}{P}$ را در معادله تخفیف‌دار جایگذاری می‌کنیم: $$۱۲۰ = (\frac{۱۲۰}{P} + ۴)(P - ۱)$$ طرف راست را گسترش می‌دهیم: $$۱۲۰ = \frac{۱۲۰}{P}(P) - \frac{۱۲۰}{P} + ۴P - ۴$$ $$۱۲۰ = ۱۲۰ - \frac{۱۲۰}{P} + ۴P - ۴$$ جمله ۱۲۰ از دو طرف حذف می‌شود: $$۰ = -\frac{۱۲۰}{P} + ۴P - ۴$$ برای خلاص شدن از کسر، دو طرف را در $P$ ضرب می‌کنیم (با فرض $P \ne ۰$): $$۰ = -۱۲۰ + ۴P^۲ - ۴P$$ ### گام چهارم: حل معادله درجه دوم معادله درجه دوم استاندارد را می‌سازیم و بر ۴ تقسیم می‌کنیم: $$۴P^۲ - ۴P - ۱۲۰ = ۰$$ $$\mathbf{P^۲ - P - ۳۰ = ۰}$$ با روش **تجزیه** (دو عدد با ضرب $-۳۰$ و جمع $-۱$: $-۶$ و $۵$): $$(P - ۶)(P + ۵) = ۰$$ $$\mathbf{P_۱ = ۶ \quad \text{و} \quad P_۲ = -۵}$$ ### گام پنجم: نتیجه‌گیری از آنجا که $P$ **قیمت** است، باید یک مقدار **مثبت** باشد. پس $P = -۵$ قابل قبول نیست. **نتیجه**: قیمت هر اسباب‌بازی قبل از تخفیف **۶** هزار تومان بوده است. **بررسی (اختیاری)**: * قیمت اصلی: ۶ هزار تومان $\implies$ تعداد اصلی: $\frac{۱۲۰}{۶} = ۲۰$ اسباب‌بازی. * قیمت تخفیف‌دار: $۶-۱ = ۵$ هزار تومان. * تعداد تخفیف‌دار: $\frac{۱۲۰}{۵} = ۲۴$ اسباب‌بازی. (که $۲۴ = ۲۰+۴$، صحیح است).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۲۲ حسابان یازدهم این یک مسئله رایج **کار مشترک** است که با مفهوم **نرخ کار** (کسری از کار انجام شده در واحد زمان) حل می‌شود. فرض می‌کنیم کل کار برابر با ۱ واحد باشد. ### گام اول: تعریف متغیرها و نرخ کار * **$t_B$**: زمان لازم برای ماشین $B$ تا کار را به‌تنهایی انجام دهد (بر حسب ساعت). * **$t_A$**: زمان لازم برای ماشین $A$ تا کار را به‌تنهایی انجام دهد. **رابطه زمانی**: ماشین $A$ کار را ۱۵ ساعت زودتر از $B$ انجام می‌دهد: $$\mathbf{t_A = t_B - ۱۵}$$ **نرخ کار (Rate)**: * **نرخ کار $A$**: $\frac{۱}{t_A} = \frac{۱}{t_B - ۱۵}$ (کسری از کار در ۱ ساعت) * **نرخ کار $B$**: $\frac{۱}{t_B}$ (کسری از کار در ۱ ساعت) **شرط دامنه**: از آنجا که زمان و اختلاف زمان هر دو باید مثبت باشند: $\mathbf{t_B > ۱۵}$ ### گام دوم: تشکیل معادله کار مشترک اگر هر دو ماشین با هم کار کنند، کار را در ۱۸ ساعت انجام می‌دهند. **جمع نرخ‌های کار** برابر است با **نرخ کار مشترک** ($rac{۱}{۱۸}$): $$\frac{۱}{t_A} + \frac{۱}{t_B} = \frac{۱}{۱۸}$$ $$\frac{۱}{t_B - ۱۵} + \frac{۱}{t_B} = \frac{۱}{۱۸}$$ ### گام سوم: حل معادله کسری **۱. مخرج مشترک‌گیری (سمت چپ)**: $$\frac{t_B + (t_B - ۱۵)}{t_B (t_B - ۱۵)} = \frac{۱}{۱۸}$$ $$\frac{۲t_B - ۱۵}{t_B^۲ - ۱۵t_B} = \frac{۱}{۱۸}$$ **۲. طرفین وسطین**: $$۱۸(۲t_B - ۱۵) = ۱(t_B^۲ - ۱۵t_B)$$ $$۳۶t_B - ۲۷۰ = t_B^۲ - ۱۵t_B$$ **۳. حل معادله درجه دوم**: $$t_B^۲ - ۵۱t_B + ۲۷۰ = ۰$$ با استفاده از **تجزیه** (به دنبال دو عدد با ضرب ۲۷۰ و جمع ۵۱: ۴۵ و ۶): $$(t_B - ۴۵)(t_B - ۶) = ۰$$ $$\mathbf{t_{B۱} = ۴۵ \quad \text{و} \quad t_{B۲} = ۶}$$ ### گام چهارم: بررسی اعتبار جواب‌ها از شرط دامنه می‌دانیم که **$t_B$ باید بزرگتر از ۱۵ باشد** ($t_B > ۱۵$): * **$t_{B۱} = ۴۵$**: در شرط صدق می‌کند ($۴۵ > ۱۵$). **قابل قبول است**. * **$t_{B۲} = ۶$**: در شرط صدق نمی‌کند ($۶ \not> ۱۵$). **غیرقابل قبول است**. ### گام پنجم: محاسبه زمان لازم برای ماشین $A$ زمان $t_B = ۴۵$ ساعت است. زمان $t_A$ برابر است با: $$t_A = t_B - ۱۵ = ۴۵ - ۱۵ = \mathbf{۳۰} \quad \text{ساعت}$$ **نتیجه نهایی**: * **ماشین $A$**: $\mathbf{۳۰}$ ساعت * **ماشین $B$**: $\mathbf{۴۵}$ ساعت

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۲۲ حسابان یازدهم این یک مسئله کلاسیک **حرکت در آب** است که شامل سرعت کشتی و سرعت آب است. در این نوع مسائل، زمان توقف باید از زمان کل سفر کسر شود. ### گام اول: تعریف متغیرها و تعیین زمان خالص حرکت * **$D$**: فاصله بین دو شهر $= ۱۴۴$ کیلومتر. * **$t_{کل}$**: زمان کل سفر $= ۱۷$ ساعت. * **$t_{توقف}$**: زمان توقف $= ۲$ ساعت. * **$t_{حرکت}$**: زمان خالص حرکت $= ۱۷ - ۲ = ۱۵$ ساعت. **سرعت‌ها**: * **$v_R$**: سرعت کشتی در خلاف جهت آب (سرعت کمتر). * **$v_A$**: سرعت کشتی در جهت آب (سرعت بیشتر). **رابطه سرعت‌ها**: سرعت در جهت آب ۸ کیلومتر بر ساعت بیشتر از سرعت در خلاف جهت آب است: $$\mathbf{v_A = v_R + ۸}$$ **نکته**: ما باید $\mathbf{v_A}$ را پیدا کنیم. ### گام دوم: تشکیل معادله زمان زمان صرف شده برای هر مسیر از فرمول $t = \frac{D}{v}$ به دست می‌آید. **مجموع زمان رفت و برگشت** باید ۱۵ ساعت باشد. $$\mathbf{t_{رفت} + t_{برگشت} = ۱۵}$$ $$\frac{D}{v_A} + \frac{D}{v_R} = ۱۵$$ **جایگذاری مقادیر**: $$\frac{۱۴۴}{v_A} + \frac{۱۴۴}{v_R} = ۱۵$$ ### گام سوم: تغییر متغیر و حل معادله **۱. تقسیم بر ۱۴۴**: $$\frac{۱}{v_A} + \frac{۱}{v_R} = \frac{۱۵}{۱۴۴} = \frac{۵}{۴۸}$$ **۲. جایگذاری $v_R$**: از رابطه $v_R = v_A - ۸$ استفاده می‌کنیم: $$\frac{۱}{v_A} + \frac{۱}{v_A - ۸} = \frac{۵}{۴۸}$$ **۳. مخرج مشترک‌گیری (سمت چپ)**: $$\frac{v_A - ۸ + v_A}{v_A (v_A - ۸)} = \frac{۵}{۴۸}$$ $$\frac{۲v_A - ۸}{v_A^۲ - ۸v_A} = \frac{۵}{۴۸}$$ **۴. طرفین وسطین**: $$۴۸(۲v_A - ۸) = ۵(v_A^۲ - ۸v_A)$$ $$۹۶v_A - ۳۸۴ = ۵v_A^۲ - ۴۰v_A$$ **۵. حل معادله درجه دوم**: $$۵v_A^۲ - ۱۳۶v_A + ۳۸۴ = ۰$$ با استفاده از **فرمول دلتا** ($a=۵, b=-۱۳۶, c=۳۸۴$): $$\Delta = (-۱۳۶)^۲ - ۴(۵)(۳۸۴) = ۱۸۴۹۶ - ۷۶۸۰ = ۱۰۸۱۶$$ $$\sqrt{\Delta} = ۱۰۴$$ $$v_A = \frac{-(-۱۳۶) \pm ۱۰۴}{۲(۵)} = \frac{۱۳۶ \pm ۱۰۴}{۱۰}$$ * **ریشه اول ($v_{A۱}$):** $v_{A۱} = \frac{۱۳۶ + ۱۰۴}{۱۰} = \frac{۲۴۰}{۱۰} = ۲۴$ کیلومتر بر ساعت * **ریشه دوم ($v_{A۲}$):** $v_{A۲} = \frac{۱۳۶ - ۱۰۴}{۱۰} = \frac{۳۲}{۱۰} = ۳.۲$ کیلومتر بر ساعت ### گام چهارم: بررسی اعتبار جواب‌ها سرعت در خلاف جهت آب ($v_R = v_A - ۸$) باید مثبت باشد، پس $v_A$ باید **بزرگتر از ۸** باشد. * **$v_{A۱} = ۲۴$**: $۲۴ > ۸$. **قابل قبول است**. * **$v_{A۲} = ۳.۲$**: $۳.۲ \not> ۸$. (سرعت در خلاف جهت آب منفی می‌شود: $۳.۲ - ۸ = -۴.۸$). **غیرقابل قبول است**. **نتیجه نهایی**: سرعت حرکت کشتی در جهت آب $\mathbf{۲۴}$ کیلومتر بر ساعت است.