حل تمرین صفحه15 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۵ حسابان یازدهم سلام دانش‌آموزان عزیز! برای تشکیل معادله درجه دوم، از فرمول **$x^۲ - Sx + P = ۰$** استفاده می‌کنیم که در آن $S$ جمع ریشه‌ها و $P$ ضرب ریشه‌هاست. ### الف) تشکیل معادله با ریشه‌های مشخص ریشه‌ها عبارتند از $x_۱ = \frac{۱}{۳}$ و $x_۲ = ۳$. * **گام ۱: محاسبه جمع ریشه‌ها ($S$)** $$S = x_۱ + x_۲ = \frac{۱}{۳} + ۳ = \frac{۱}{۳} + \frac{۹}{۳} = \frac{۱۰}{۳}$$ * **گام ۲: محاسبه ضرب ریشه‌ها ($P$)** $$P = x_۱ x_۲ = \frac{۱}{۳} \times ۳ = ۱$$ * **گام ۳: تشکیل معادله** $$x^۲ - Sx + P = ۰$$ $$x^۲ - \frac{۱۰}{۳}x + ۱ = ۰$$ برای زیباتر شدن معادله (و حذف کسر)، دو طرف را در ۳ ضرب می‌کنیم: $$\mathbf{۳x^۲ - ۱۰x + ۳ = ۰}$$ ### ب) تشکیل معادله با ریشه‌های وابسته در این حالت، رابطه بین دو ریشه داده شده است: **یکی از ریشه‌ها دو برابر دیگری است.** * **گام ۱: تعریف ریشه‌ها** فرض می‌کنیم ریشه اول $x_۱ = \alpha$ و ریشه دوم $x_۲ = ۲\alpha$ باشد. * **گام ۲: محاسبه جمع ($S$) و ضرب ($P$)** $$S = x_۱ + x_۲ = \alpha + ۲\alpha = ۳\alpha$$ $$P = x_۱ x_۲ = \alpha \times (۲\alpha) = ۲\alpha^۲$$ * **گام ۳: تشکیل معادله** با جایگذاری $S$ و $P$ در فرمول $x^۲ - Sx + P = ۰$: $$\mathbf{x^۲ - (۳\alpha)x + (۲\alpha^۲) = ۰}$$ **نتیجه‌گیری در مورد تعداد جواب‌های مسئله:** از آنجا که مقدار $\alpha$ مشخص نشده است، با انتخاب هر مقدار **حقیقی غیر صفر** برای $\alpha$ (مانند $\alpha=۱, \alpha=۲, \alpha=-۳, \alpha=\sqrt{۵}$ و...) یک معادله درجه دوم **متفاوت** به دست می‌آید که این شرط را ارضا می‌کند. * **مثال (اگر $\alpha=۱$)**: $x^۲ - ۳x + ۲ = ۰$ (ریشه‌ها ۱ و ۲) * **مثال (اگر $\alpha=-۲$)**: $x^۲ - (-۶)x + ۲(-۲)^۲ = x^۲ + ۶x + ۸ = ۰$ (ریشه‌ها $-۲$ و $-۴$) بنابراین، این مسئله **بی‌شمار (یا نامتناهی) جواب** دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۵ حسابان یازدهم آفرین! برای پیدا کردن ضابطه یک سهمی از روی نمودار، می‌توانیم از **ریشه‌های** آن استفاده کنیم، زیرا ریشه‌ها، عامل‌های معادله را مشخص می‌کنند. فرم کلی ضابطه بر اساس ریشه‌ها $x_۱$ و $x_۲$ عبارت است از: $\mathbf{P(x) = a(x-x_۱)(x-x_۲)}$ --- ### الف) تحلیل نمودار سمت راست 1. **صفرهای تابع (ریشه‌ها)**: نمودار محور $x$ را در **$x_۱ = ۱$** و **$x_۲ = ۴$** قطع کرده است. 2. **جهت دهانه**: دهانه سهمی **رو به پایین** است، پس **$a$ منفی** است ($a<۰$). 3. **تشکیل عامل‌ها**: $(x-۱)$ و $(x-۴)$ 4. **نقطه کمکی**: نمودار محور $y$ را در نقطه‌ای بین ۳ و ۴ (حدود $y=۴$) قطع کرده است. در نمودار دقیق‌تر، اگر $x=۰$ باشد، $P(۰)=c$ است. به نظر می‌رسد $P(۰) = ۴$. 5. **محاسبه $a$**: نقطه $(۰, ۴)$ را در فرمول $\mathbf{P(x) = a(x-۱)(x-۴)}$ جایگذاری می‌کنیم: $$P(۰) = a(۰-۱)(۰-۴) = ۴$$ $$a(-۱)(-۴) = ۴$$ $$۴a = ۴ \implies \mathbf{a = ۱}$$ *توجه: با توجه به اینکه دهانه سهمی رو به پایین است، $a$ باید منفی باشد. در این صورت، نمودار داده شده در تصویر یا ضابطه $P(۰)=۴$ را به صورت دقیق نشان نمی‌دهد یا $a$ باید منفی ۱ باشد. با فرض اینکه نقطه برخورد $(۰, -۴)$ باشد، $a$ برابر $-۱$ خواهد شد. با توجه به شکل که دهانه رو به پایین است، **$a$ را $-۱$ در نظر می‌گیریم** تا جهت دهانه درست باشد و نقطه $(۰, -۴)$ را انتخاب می‌کنیم (اگرچه از روی تصویر واضح نیست).* **روش جایگزین: استفاده از رأس**: رأس سهمی در $x_s = \frac{۱+۴}{۲} = ۲.۵$ قرار دارد. $P(۲.۵)$ حدود $۲.۲۵$ است. با استفاده از نقطه واضح‌تر **$(۲, ۳)$** که روی سهمی است: $$P(۲) = a(۲-۱)(۲-۴) = ۳$$ $$a(۱)(-۲) = ۳ \implies -۲a = ۳ \implies a = -\frac{۳}{۲}$$ **ضابطه با استفاده از $(۲, ۳)$**: $P(x) = -\frac{۳}{۲}(x-۱)(x-۴)$ * **پاسخ نهایی بر اساس روش معمول کتاب:** (با فرض $a=۱$): $P(x) = -(x-۱)(x-۴) = -(x^۲ - ۵x + ۴) = \mathbf{-x^۲ + ۵x - ۴}$ * **صفرهای تابع**: $athbf{۱}$ و $athbf{۴}$ --- ### ب) تحلیل نمودار سمت چپ 1. **صفرهای تابع (ریشه‌ها)**: نمودار محور $x$ را در **$x_۱ = -۱$** و **$x_۲ = ۱$** قطع کرده است. 2. **جهت دهانه**: دهانه سهمی **رو به بالا** است، پس **$a$ مثبت** است ($a>۰$). 3. **تشکیل عامل‌ها**: $(x-(-۱))$ و $(x-۱)$ $mplies (x+۱)(x-۱)$ 4. **نقطه کمکی**: نمودار محور $y$ را در **$y = -۲$** قطع کرده است. پس نقطه $(۰, -۲)$ روی سهمی است. 5. **محاسبه $a$**: نقطه $(۰, -۲)$ را در فرمول $\mathbf{P(x) = a(x+۱)(x-۱)}$ جایگذاری می‌کنیم: $$P(۰) = a(۰+۱)(۰-۱) = -۲$$ $$a(۱)(-۱) = -۲$$ $$-a = -۲ \implies \mathbf{a = ۲}$$ 6. **تشکیل ضابطه نهایی**: $$P(x) = ۲(x+۱)(x-۱)$$ از اتحاد مزدوج $(x+۱)(x-۱) = x^۲ - ۱$ استفاده می‌کنیم: $$P(x) = ۲(x^۲ - ۱) = \mathbf{۲x^۲ - ۲}$$ * **صفرهای تابع**: $athbf{-۱}$ و $athbf{۱}$ * **ضابطه تابع**: $\mathbf{P(x) = ۲x^۲ - ۲}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۵ حسابان یازدهم سلام! این یک مسئله فیزیکی جذاب است که با یک **تابع درجه دوم** مدل‌سازی شده و حرکت یک پرتابه (توپ) را نشان می‌دهد. معادله $h(x)$ یک سهمی رو به پایین است که حداکثر ارتفاع (راس سهمی) و طول پرتاب (صفرهای تابع) را تعیین می‌کند. $$h(x) = -۰.۰۲x(x - ۳۶)$$ --- ### الف) طول مسافت افقی تا برخورد مجدد به زمین * **مفهوم**: زمانی که توپ به زمین می‌خورد، ارتفاع ($h(x)$) برابر صفر است. پس باید **صفرهای تابع** را پیدا کنیم. * **حل معادله $h(x) = ۰$**: $$-۰.۰۲x(x - ۳۶) = ۰$$ دو حالت وجود دارد: 1. **نقطه شروع**: $-۰.۰۲x = ۰ \implies \mathbf{x = ۰}$ (جایی که توپ از زمین بلند می‌شود). 2. **نقطه فرود**: $x - ۳۶ = ۰ \implies \mathbf{x = ۳۶}$ (جایی که توپ دوباره به زمین می‌خورد). * **نتیجه**: توپ از $x=۰$ حرکت کرده و در $\mathbf{x=۳۶}$ متر دوباره به زمین می‌خورد. بنابراین، مسافت افقی طی شده $\mathbf{۳۶}$ متر است. --- ### ب) حداکثر ارتفاع توپ * **مفهوم**: حداکثر ارتفاع مربوط به **رأس سهمی** است. طول محور تقارن سهمی ($x_s$) دقیقاً در **وسط** دو ریشه ($x_۱=۰$ و $x_۲=۳۶$) قرار دارد. * **گام ۱: پیدا کردن طول محور تقارن ($x_s$)**: $$x_s = \frac{x_۱ + x_۲}{۲} = \frac{۰ + ۳۶}{۲} = \mathbf{۱۸}$$ توپ در فاصله افقی ۱۸ متری به بالاترین ارتفاع می‌رسد. *(روش دیگر: برای تابع در فرم $ax^۲+bx+c$: $x_s = -\frac{b}{۲a}$. ابتدا $h(x) = -۰.۰۲x^۲ + ۰.۷۲x$. پس $x_s = -\frac{۰.۷۲}{۲(-۰.۰۲)} = \frac{۰.۷۲}{۰.۰۴} = ۱۸$.)* * **گام ۲: محاسبه حداکثر ارتفاع ($h_{max}$)**: حداکثر ارتفاع، همان مقدار $h(x)$ در $x_s = ۱۸$ است. $x=۱۸$ را در ضابطه $h(x)$ جایگذاری می‌کنیم: $$h_{max} = h(۱۸) = -۰.۰۲(۱۸)(۱۸ - ۳۶)$$ $$h_{max} = -۰.۰۲(۱۸)(-۱۸)$$ $$h_{max} = -۰.۰۲ \times (-۳۲۴)$$ $$h_{max} = ۶.۴۸$$ * **نتیجه**: توپ حداکثر تا ارتفاع $\mathbf{۶.۴۸}$ متر بالا می‌رود.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۵ حسابان یازدهم برای پیدا کردن **صفرهای** هر تابع، باید معادله $\mathbf{f(x) = ۰}$ را حل کنیم. این توابع از درجه ۳ و ۴ هستند که با روش **فاکتورگیری** و **تغییر متغیر** قابل حل‌اند. --- ### الف) $f(x) = x^۳ - ۴x$ **حل:** $x^۳ - ۴x = ۰$ * **فاکتورگیری:** از $x$ فاکتور می‌گیریم: $$x(x^۲ - ۴) = ۰$$ * **تجزیه بیشتر:** از اتحاد مزدوج برای $x^۲ - ۴$ استفاده می‌کنیم: $$x(x - ۲)(x + ۲) = ۰$$ * **صفرهای تابع:** هر عامل را برابر صفر قرار می‌دهیم: $$x = ۰ \quad \text{یا} \quad x - ۲ = ۰ \implies x = ۲ \quad \text{یا} \quad x + ۲ = ۰ \implies x = -۲$$ **صفرهای تابع $f(x)$**: $\mathbf{۰, ۲, -۲}$ --- ### ب) $g(x) = ۲x^۳ + x^۲ + ۳x$ **حل:** $۲x^۳ + x^۲ + ۳x = ۰$ * **فاکتورگیری:** از $x$ فاکتور می‌گیریم: $$x(۲x^۲ + x + ۳) = ۰$$ * **صفرهای تابع:** یک صفر واضح $x = ۰$ است. $$x = ۰ \quad \text{یا} \quad ۲x^۲ + x + ۳ = ۰$$ * **بررسی عبارت درجه دوم:** برای پیدا کردن ریشه‌های $۲x^۲ + x + ۳ = ۰$ از **دلتا** استفاده می‌کنیم: * $a=۲, b=۱, c=۳$ $$\Delta = b^۲ - ۴ac = (۱)^۲ - ۴(۲)(۳) = ۱ - ۲۴ = -۲۳$$ چون **$\Delta < ۰$** است، عبارت درجه دوم **ریشه حقیقی ندارد**. **صفرهای تابع $g(x)$**: $\mathbf{۰}$ --- ### پ) $h(x) = x^۴ + ۳x^۲ + ۵$ **حل:** $x^۴ + ۳x^۲ + ۵ = ۰$ * **تغییر متغیر (شبه‌درجه دو):** $u = x^۲$ $$u^۲ + ۳u + ۵ = ۰$$ * **بررسی معادله درجه دوم بر حسب $u$:** از دلتا استفاده می‌کنیم: * $a=۱, b=۳, c=۵$ $$\Delta = b^۲ - ۴ac = (۳)^۲ - ۴(۱)(۵) = ۹ - ۲۰ = -۱۱$$ چون **$\Delta < ۰$** است، معادله بر حسب $u$ **ریشه حقیقی ندارد**. * **توضیح مفهومی:** چون $u=x^۲$ است و $x^۲$ همواره نامنفی است ($x^۲ \ge ۰$)، و $u^۲ + ۳u + ۵ = ۰$ ریشه حقیقی برای $u$ ندارد، پس هیچ $x$ حقیقی وجود ندارد که در معادله صدق کند. **صفرهای تابع $h(x)$**: **ریشه حقیقی وجود ندارد** (صفر ندارد).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۵ حسابان یازدهم این تمرین شامل حل معادلات **مرتبه بالاتر** و **معادلات مرکب** است که با استفاده از **تغییر متغیر** به معادله‌های درجه دوم تبدیل می‌شوند. این یک روش قدرتمند برای حل معادلات پیچیده است. --- ### الف) $x^۴ - ۳x^۲ - ۴ = ۰$ * **گام ۱: تغییر متغیر:** $u = x^۲$ (پس $u^۲ = x^۴$) $$u^۲ - ۳u - ۴ = ۰$$ * **گام ۲: حل بر حسب $u$:** از تجزیه استفاده می‌کنیم (دو عدد با ضرب $-۴$ و جمع $-۳$: $-۴$ و $۱$): $$(u - ۴)(u + ۱) = ۰$$ $$\mathbf{u_۱ = ۴ \quad \text{و} \quad u_۲ = -۱}$$ * **گام ۳: بازگشت به $x$:** * **حالت اول ($u = ۴$):** $x^۲ = ۴ \implies \mathbf{x = \pm ۲}$ * **حالت دوم ($u = -۱$):** $x^۲ = -۱$. این معادله **ریشه حقیقی ندارد**. **جواب‌های معادله الف**: $\mathbf{۲, -۲}$ --- ### ب) $( \frac{x^۲}{۳} - ۲ )^۲ - ۷( \frac{x^۲}{۳} - ۲ ) + ۶ = ۰$ * **گام ۱: تغییر متغیر:** عبارت تکراری را $u$ می‌گیریم: $u = \frac{x^۲}{۳} - ۲$ $$u^۲ - ۷u + ۶ = ۰$$ * **گام ۲: حل بر حسب $u$:** از تجزیه استفاده می‌کنیم (دو عدد با ضرب ۶ و جمع $-۷$: $-۱$ و $-۶$): $$(u - ۱)(u - ۶) = ۰$$ $$\mathbf{u_۱ = ۱ \quad \text{و} \quad u_۲ = ۶}$$ * **گام ۳: بازگشت به $x$:** * **حالت اول ($u = ۱$):** $$\frac{x^۲}{۳} - ۲ = ۱ \implies \frac{x^۲}{۳} = ۳ \implies x^۲ = ۹ \implies \mathbf{x = \pm ۳}$$ * **حالت دوم ($u = ۶$):** $$\frac{x^۲}{۳} - ۲ = ۶ \implies \frac{x^۲}{۳} = ۸ \implies x^۲ = ۲۴ \implies \mathbf{x = \pm \sqrt{۲۴} = \pm ۲\sqrt{۶}}$$ **جواب‌های معادله ب**: $\mathbf{۳, -۳, ۲\sqrt{۶}, -۲\sqrt{۶}}$ --- ### پ) $(۴-x^۲)^۲ - (۴-x^۲) = ۱۲$ * **گام ۱: تغییر متغیر:** $u = ۴-x^۲$ $$u^۲ - u = ۱۲$$ $$u^۲ - u - ۱۲ = ۰$$ * **گام ۲: حل بر حسب $u$:** از تجزیه استفاده می‌کنیم (دو عدد با ضرب $-۱۲$ و جمع $-۱$: $-۴$ و $۳$): $$(u - ۴)(u + ۳) = ۰$$ $$\mathbf{u_۱ = ۴ \quad \text{و} \quad u_۲ = -۳}$$ * **گام ۳: بازگشت به $x$:** * **حالت اول ($u = ۴$):** $$۴ - x^۲ = ۴ \implies -x^۲ = ۰ \implies \mathbf{x = ۰}$$ * **حالت دوم ($u = -۳$):** $$۴ - x^۲ = -۳ \implies -x^۲ = -۷ \implies x^۲ = ۷ \implies \mathbf{x = \pm \sqrt{۷}}$$ **جواب‌های معادله پ**: $\mathbf{۰, \sqrt{۷}, -\sqrt{۷}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۱۵ حسابان یازدهم سلام! برای حل معادله‌ای که شامل **قدر مطلق** است، استفاده از **روش هندسی (رسم نمودار)** اغلب ساده‌ترین راه برای تعیین تعداد و مکان تقریبی ریشه‌هاست. ### گام اول: تبدیل به تساوی دو تابع معادله اصلی: $x^۲ - x - ۱ = |x - ۱|$ طرفین را به صورت دو تابع جداگانه تعریف می‌کنیم و نقاط تلاقی آن‌ها را بررسی می‌کنیم: * **تابع ۱ (سهمی):** $y_۱ = x^۲ - x - ۱$ * **تابع ۲ (قدر مطلقی):** $y_۲ = |x - ۱|$ ### گام دوم: رسم نمودار تابع قدر مطلقی $y_۲ = |x - ۱|$ این نمودار همان $y=|x|$ است که **یک واحد به سمت راست** منتقل شده است. رأس آن در نقطه **$(۱, ۰)$** قرار دارد. * اگر $x=۰$: $y_۲ = |۰-۱| = ۱$. (نقطه $(۰, ۱)$) * اگر $x=۲$: $y_۲ = |۲-۱| = ۱$. (نقطه $(۲, ۱)$) ### گام سوم: رسم نمودار تابع سهمی $y_۱ = x^۲ - x - ۱$ * **رأس سهمی ($x_s$):** $$x_s = -\frac{b}{۲a} = -\frac{-۱}{۲(۱)} = \frac{۱}{۲} = ۰.۵$$ * **مقدار رأس ($y_s$):** $$y_s = (۰.۵)^۲ - ۰.۵ - ۱ = ۰.۲۵ - ۰.۵ - ۱ = -۱.۲۵$$ رأس در **$(۰.۵, -۱.۲۵)$** است. * **عرض از مبدأ ($c$):** اگر $x=۰$: $y_۱ = -۱$. (نقطه $(۰, -۱)$) * **طول از مبدأ (ریشه‌ها):** $\Delta = (-۱)^۲ - ۴(۱)(-۱) = ۵$. ریشه‌ها $x = \frac{۱ \pm \sqrt{۵}}{۲}$ (حدود $-۰.۶$ و $۱.۶$) ### گام چهارم: تعیین تعداد و مقدار تقریبی ریشه‌ها (مشاهده تلاقی) با رسم دقیق دو نمودار , مشاهده می‌کنیم که دو نمودار در **دو نقطه** یکدیگر را قطع می‌کنند. 1. **ریشه اول ($x_۱$)**: نمودارها در یک نقطه با $x < ۰$ یکدیگر را قطع می‌کنند. این نقطه حدود **$x_۱ \approx -۰.۷$** است. 2. **ریشه دوم ($x_۲$)**: نمودارها در یک نقطه با $x > ۱$ یکدیگر را قطع می‌کنند. این نقطه حدود **$x_۲ \approx ۲$** است. **حل دقیق جبری (برای تأیید):** * **حالت $x \ge ۱$ ($|x-۱| = x-۱$):** $$x^۲ - x - ۱ = x - ۱ \implies x^۲ - ۲x = ۰ \implies x(x-۲) = ۰$$ $$x=۰ \quad \text{یا} \quad x=۲$$ چون $x \ge ۱$ باید باشد، **$x=۲$** قابل قبول است و $x=۰$ غیرقابل قبول است. * **حالت $x < ۱$ ($|x-۱| = -(x-۱) = -x+۱$):** $$x^۲ - x - ۱ = -x + ۱ \implies x^۲ = ۲ \implies x = \pm \sqrt{۲}$$ $$\sqrt{۲} \approx ۱.۴۱ \quad \text{و} \quad -\sqrt{۲} \approx -۱.۴۱$$ چون $x < ۱$ باید باشد، **$x = -\sqrt{۲}$** قابل قبول است و $x = \sqrt{۲}$ غیرقابل قبول است. **نتیجه**: * **تعداد ریشه‌ها**: $\mathbf{۲}$ ریشه. * **مقدار تقریبی ریشه‌ها**: $\mathbf{x_۱ \approx -۱.۴}$ و $\mathbf{x_۲ = ۲}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۱۵ حسابان یازدهم عالی! برای تعیین ضابطه یک سهمی که **رأس** آن داده شده، از فرم استاندارد رأس **$f(x) = a(x-x_s)^۲ + y_s$** استفاده می‌کنیم. چون $|a|=۱$ است، یا $a=۱$ یا $a=-۱$. علامت $a$ توسط جهت دهانه سهمی تعیین می‌شود. --- ### الف) رأس: $(-۳, ۵)$ * **مشاهده**: دهانه سهمی **رو به بالا** است ($a>۰$)، پس **$a = ۱$**. * **ضابطه**: $f(x) = ۱(x - (-۳))^۲ + ۵ \implies \mathbf{f(x) = (x+۳)^۲ + ۵}$ * **صفرهای تابع**: برای یافتن صفرها، $f(x) = ۰$ قرار می‌دهیم: $$(x+۳)^۲ + ۵ = ۰ \implies (x+۳)^۲ = -۵$$ چون مربع یک عبارت نمی‌تواند عددی منفی باشد، این معادله **ریشه حقیقی ندارد**. * **صفرهای تابع**: **ریشه حقیقی وجود ندارد.** --- ### ب) رأس: $(-۲, ۲)$ * **مشاهده**: دهانه سهمی **رو به پایین** است ($a<۰$)، پس **$a = -۱$**. * **ضابطه**: $f(x) = -۱(x - (-۲))^۲ + ۲ \implies \mathbf{f(x) = -(x+۲)^۲ + ۲}$ * **صفرهای تابع**: برای یافتن صفرها، $f(x) = ۰$ قرار می‌دهیم: $$-(x+۲)^۲ + ۲ = ۰ \implies (x+۲)^۲ = ۲$$ $$x+۲ = \pm \sqrt{۲} \implies x = -۲ \pm \sqrt{۲}$$ * **صفرهای تابع**: $\mathbf{-۲ + \sqrt{۲}}$ و $\mathbf{-۲ - \sqrt{۲}}$ --- ### پ) رأس: $(۳, -۳)$ * **مشاهده**: دهانه سهمی **رو به بالا** است ($a>۰$)، پس **$a = ۱$**. * **ضابطه**: $f(x) = ۱(x - ۳)^۲ + (-۳) \implies \mathbf{f(x) = (x-۳)^۲ - ۳}$ * **صفرهای تابع**: برای یافتن صفرها، $f(x) = ۰$ قرار می‌دهیم: $$(x-۳)^۲ - ۳ = ۰ \implies (x-۳)^۲ = ۳$$ $$x-۳ = \pm \sqrt{۳} \implies x = ۳ \pm \sqrt{۳}$$ * **صفرهای تابع**: $\mathbf{۳ + \sqrt{۳}}$ و $\mathbf{۳ - \sqrt{۳}}$ --- ### ت) رأس: $(-۲, -۱)$ * **مشاهده**: دهانه سهمی **رو به پایین** است ($a<۰$)، پس **$a = -۱$**. * **ضابطه**: $f(x) = -۱(x - (-۲))^۲ + (-۱) \implies \mathbf{f(x) = -(x+۲)^۲ - ۱}$ * **صفرهای تابع**: برای یافتن صفرها، $f(x) = ۰$ قرار می‌دهیم: $$-(x+۲)^۲ - ۱ = ۰ \implies -(x+۲)^۲ = ۱ \implies (x+۲)^۲ = -۱$$ چون مربع یک عبارت نمی‌تواند عددی منفی باشد، این معادله **ریشه حقیقی ندارد**. * **صفرهای تابع**: **ریشه حقیقی وجود ندارد.**

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۱۵ حسابان یازدهم این یک مسئله کاربردی است که به تشکیل و حل یک **معادله درجه دوم** منجر می‌شود. فرض می‌کنیم پهنای آبروی بتونی $\mathbf{x}$ متر باشد. ### گام اول: تعیین ابعاد کل و محاسبه مساحت‌ها * **ابعاد استخر**: طول $= ۱۰$ متر، عرض $= ۳$ متر. $$\text{مساحت استخر} = ۱۰ \times ۳ = ۳۰ \quad (m^۲)$$ * **پهنای آبرود**: $\mathbf{x}$ * **ابعاد کل (استخر + آبرود)**: چون آبرود از هر طرف دارای پهنای $x$ است: * **طول کل**: $L_{کل} = ۱۰ + x + x = \mathbf{۱۰ + ۲x}$ * **عرض کل**: $W_{کل} = ۳ + x + x = \mathbf{۳ + ۲x}$ * **مساحت کل**: $$A_{کل} = (۱۰ + ۲x)(۳ + ۲x)$$ * **مساحت آبرود (داده شده)**: $\mathbf{۱۴} \quad (m^۲)$ ### گام دوم: تشکیل معادله **مساحت آبرود** برابر است با **مساحت کل منهای مساحت استخر**: $$\text{مساحت آبرود} = A_{کل} - \text{مساحت استخر}$$ $$۱۴ = (۱۰ + ۲x)(۳ + ۲x) - ۳۰$$ ### گام سوم: ساده‌سازی و حل معادله درجه دوم ۱. پرانتزها را باز می‌کنیم: $$ (۱۰ + ۲x)(۳ + ۲x) = ۱۰(۳) + ۱۰(۲x) + ۲x(۳) + ۲x(۲x) = ۳۰ + ۲۰x + ۶x + ۴x^۲$$ $$= ۴x^۲ + ۲۶x + ۳۰$$ ۲. در معادله جایگذاری می‌کنیم: $$۱۴ = (۴x^۲ + ۲۶x + ۳۰) - ۳۰$$ $$۱۴ = ۴x^۲ + ۲۶x$$ ۳. معادله را به فرم استاندارد می‌بریم ($ax^۲ + bx + c = ۰$): $$۴x^۲ + ۲۶x - ۱۴ = ۰$$ ۴. برای سادگی، دو طرف را بر ۲ تقسیم می‌کنیم: $$\mathbf{۲x^۲ + ۱۳x - ۷ = ۰}$$ ۵. از روش تجزیه یا دلتا استفاده می‌کنیم (تجزیه آسان‌تر است: $(۲x-۱)(x+۷)=۰$): * **ریشه اول**: $۲x - ۱ = ۰ \implies ۲x = ۱ \implies \mathbf{x = \frac{۱}{۲} = ۰.۵}$ متر * **ریشه دوم**: $x + ۷ = ۰ \implies \mathbf{x = -۷}$ متر ### گام چهارم: نتیجه‌گیری چون $x$ بیانگر **پهنا** است، باید یک مقدار **مثبت** باشد. بنابراین ریشه $x = -۷$ قابل قبول نیست. **نتیجه**: پهنای آبروی بتونی $\mathbf{۰.۵}$ متر (یا $\frac{۱}{۲}$ متر) است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۱۵ حسابان یازدهم سلام! این مسئله شامل دو واحد مختلف (سانتی‌متر و متر مربع) است که باید قبل از تشکیل معادله **یکسان‌سازی** شوند. بیایید ابعاد کاشی و مساحت کل را با هم بررسی کنیم. ### گام اول: تعریف متغیرها و یکسان‌سازی واحدها * **متغیرها (بر حسب سانتی‌متر)**: * **عرض کاشی**: $\mathbf{x}$ سانتی‌متر * **طول کاشی**: $L = ۴x + ۱$ سانتی‌متر (یک سانتی‌متر بلندتر از ۴ برابر عرض) * **مساحت کل دیوار (تبدیل به سانتی‌متر مربع)**: * مساحت دیوار: $A_{دیوار} = ۵۲.۸$ متر مربع * از آنجا که $۱ \text{ متر}^۲ = ۱۰^۴ \text{ سانتی‌متر}^۲$: $$A_{دیوار} = ۵۲.۸ \times ۱۰,۰۰۰ = \mathbf{۵۲۸,۰۰۰} \quad (cm^۲)$$ ### گام دوم: تشکیل معادله **مساحت کل دیوار** برابر است با **مساحت یک کاشی ضربدر تعداد کاشی‌ها**. * **مساحت یک کاشی**: $A_{کاشی} = \text{طول} \times \text{عرض} = (۴x + ۱)x = ۴x^۲ + x$ * **تعداد کاشی‌ها**: ۲,۰۰۰ $$A_{دیوار} = \text{تعداد کاشی} \times A_{کاشی}$$ $$۵۲۸,۰۰۰ = ۲,۰۰۰ (۴x^۲ + x)$$ ### گام سوم: ساده‌سازی و حل معادله درجه دوم ۱. دو طرف را بر ۲,۰۰۰ تقسیم می‌کنیم: $$\frac{۵۲۸,۰۰۰}{۲,۰۰۰} = ۴x^۲ + x$$ $$۲۶۴ = ۴x^۲ + x$$ ۲. معادله را به فرم استاندارد می‌بریم: $$\mathbf{۴x^۲ + x - ۲۶۴ = ۰}$$ ۳. معادله را با استفاده از **فرمول دلتا** حل می‌کنیم: * $a=۴, b=۱, c=-۲۶۴$ $$\Delta = b^۲ - ۴ac = (۱)^۲ - ۴(۴)(-۲۶۴)$$ $$\Delta = ۱ + ۴۲۲۴ = ۴۲۲۵$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{۴۲۲۵} = ۶۵$$ ۴. ریشه‌ها را محاسبه می‌کنیم: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{۲a} = \frac{-۱ \pm ۶۵}{۲(۴)} = \frac{-۱ \pm ۶۵}{۸}$$ * **ریشه اول ($x_۱$):** $x_۱ = \frac{-۱ + ۶۵}{۸} = \frac{۶۴}{۸} = \mathbf{۸}$ سانتی‌متر * **ریشه دوم ($x_۲$):** $x_۲ = \frac{-۱ - ۶۵}{۸} = \frac{-۶۶}{۸} = -۸.۲۵$ سانتی‌متر ### گام چهارم: پیدا کردن طول کاشی چون $x$ **عرض کاشی** است، باید یک مقدار مثبت باشد. پس $\mathbf{x = ۸}$ سانتی‌متر است. ما باید **طول کاشی** را پیدا کنیم: $$L = ۴x + ۱ = ۴(۸) + ۱ = ۳۲ + ۱ = \mathbf{۳۳}$$ سانتی‌متر **نتیجه**: طول هر کاشی $\mathbf{۳۳}$ سانتی‌متر است.