کار در کلاس ۱ تعریف پیوستگی در بازه‌ها حسابان یازدهم
پیوستگی روی بازه‌های $(a, b)$ و $[a, b]$ را به طور مشابه تعریف کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۵۰ حسابان یازدهم
سلام! تعریف **پیوستگی روی یک بازه** به این معنی است که تابع در **تمام نقاط** آن بازه پیوسته باشد. برای بازه‌های بسته، باید پیوستگی در نقاط مرزی را نیز بررسی کنیم. 🤝
---
### ۱. تعریف پیوستگی در بازه باز $(a, b)$
**تابع $f$ روی بازه باز $(a, b)$ پیوسته است** اگر در **هر نقطه $c$** از این بازه، پیوسته باشد.
$$\mathbf{f \text{ پیوسته در } (a, b) \iff \forall c \in (a, b): \lim_{x \to c} f(x) = f(c)}$$
---
### ۲. تعریف پیوستگی در بازه بسته $[a, b]$
**تابع $f$ روی بازه بسته $[a, b]$ پیوسته است** اگر سه شرط زیر برقرار باشد:
1. **پیوستگی درونی**: $f$ در **بازه باز $(a, b)$** پیوسته باشد (مانند تعریف بالا).
2. **پیوستگی از راست در $a$**: $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ (پیوستگی در نقطه شروع بازه).
3. **پیوستگی از چپ در $b$**: $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$ (پیوستگی در نقطه پایان بازه).
**نکته**: برای بازه نیمه باز، مانند $\mathbf{[a, b)}$, شرط پیوستگی از چپ در $b$ حذف می‌شود و فقط به پیوستگی از راست در $a$ نیاز است.
