فعالیت الف محاسبه مقدار تابع و حد از روی نمودار حسابان یازدهم
با توجه به نمودارها، مقادیر زیر هر نمودار را (در صورت وجود) به دست آورید.
$f(۲) = \dots$
$$\lim_{x \to ۲} f(x) = \dots$$
$g(۲) = \dots$
$$\lim_{x \to ۲} g(x) = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه ۱۴۵ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت مفهوم **مقدار تابع ($f(a)$)** و **حد تابع ($\lim f(x)$)** را در نقطه $\mathbf{x = ۲}$ با استفاده از نمودار توابع پیوسته و ناپیوسته بررسی میکند. 🧠
---
### ۱. تحلیل تابع $f$ (نمودار سمت راست)
* **$f(۲)$ (مقدار تابع)**: در $x=۲$، نمودار یک نقطه پر در ارتفاع $\mathbf{y = ۳}$ دارد.
$$\mathbf{f(۲) = ۳}$$
* **$\lim_{x \to ۲} f(x)$ (حد تابع)**: وقتی $x$ از چپ و راست به ۲ نزدیک میشود، نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۳}$ نزدیک میشود (نقطه پر).
$$\mathbf{\lim_{x \to ۲} f(x) = ۳}$$
---
### ۲. تحلیل تابع $g$ (نمودار سمت چپ)
* **$g(۲)$ (مقدار تابع)**: در $x=۲$، نمودار یک **حفره (سوراخ)** در ارتفاع ۳ دارد و مقدار پرش کرده و در $y=۲$ پر است.
$$\mathbf{g(۲) = ۲}$$
* **$\lim_{x \to ۲} g(x)$ (حد تابع)**: وقتی $x$ از چپ و راست به ۲ نزدیک میشود، نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۳}$ نزدیک میشود (نقطه توخالی).
$$\mathbf{\lim_{x \to ۲} g(x) = ۳}$$
---
فعالیت الف ادامه محاسبه مقدار تابع و حد از روی نمودار حسابان یازدهم
با توجه به نمودارها، مقادیر زیر هر نمودار را (در صورت وجود) به دست آورید.
$h(۲) = \dots$
$$\lim_{x \to ۲} h(x) = \dots$$
$k(۲) = \dots$
$$\lim_{x \to ۲} k(x) = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف ادامه صفحه ۱۴۵ حسابان یازدهم
این بخش ادامه فعالیت قبلی و بررسی دو تابع چندضابطهای دیگر است. 🧠
---
### ۳. تحلیل تابع $h$ (نمودار سمت چپ)
* **$h(۲)$ (مقدار تابع)**: در $x=۲$، نمودار یک نقطه پر در ارتفاع $\mathbf{y = ۳}$ دارد.
$$\mathbf{h(۲) = ۳}$$
* **$\lim_{x \to ۲} h(x)$ (حد تابع)**:
* $\lim_{x \to ۲^-} h(x)$ (از چپ): نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۱}$ نزدیک میشود.
* $\lim_{x \to ۲^+} h(x)$ (از راست): نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۳}$ نزدیک میشود.
* **نتیجه**: چون $\mathbf{۱ \ne ۳}$ است، حد دو طرفه در $x=۲$ **وجود ندارد**.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۲} h(x) = \text{وجود ندارد}}$$
---
### ۴. تحلیل تابع $k$ (نمودار سمت راست)
* **$k(۲)$ (مقدار تابع)**: در $x=۲$، نمودار یک نقطه پر در ارتفاع $\mathbf{y = ۳}$ دارد.
$$\mathbf{k(۲) = ۳}$$
* **$\lim_{x \to ۲} k(x)$ (حد تابع)**:
* $\lim_{x \to ۲^-} k(x)$ (از چپ): نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۳}$ نزدیک میشود.
* $\lim_{x \to ۲^+} k(x)$ (از راست): نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۳}$ نزدیک میشود.
* **نتیجه**: چون $\mathbf{۳ = ۳}$ است، حد دو طرفه در $x=۲$ **وجود دارد** و برابر $\mathbf{۳}$ است.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۲} k(x) = ۳}$$
---
فعالیت ب و پ بررسی پیوستگی توابع حسابان یازدهم
ب) برای کدام یک از توابع، حد تابع در ۲ با مقدار تابع در ۲ برابر است؟
پ) در نمودار کدام یک از توابع، در نقطهای به طول ۲، گسستگی وجود ندارد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ب و پ صفحه ۱۴۵ حسابان یازدهم
سلام! این بخش بر مفهوم **پیوستگی** تابع در یک نقطه متمرکز است. تابع در $\mathbf{x=۲}$ پیوسته است اگر $\mathbf{\lim_{x \to ۲} f(x) = f(۲)}$ باشد. 🤝
---
### ب) برابری حد و مقدار تابع
حد تابع در $x=۲$ باید برابر با مقدار $f(۲)$ باشد (شرط پیوستگی).
| تابع | $\lim_{x \to ۲} f(x)$ | $f(۲)$ | تساوی؟ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| **$f$** | ۳ | ۳ | $\checkmark$ (پیوسته) |
| **$g$** | ۳ | ۲ | $\times$ (ناپیوستگی) |
| **$h$** | ناموجود | ۳ | $\times$ (حد ناموجود) |
| **$k$** | ۳ | ۳ | $\checkmark$ (پیوسته) |
**نتیجه**: این شرط برای توابع $\mathbf{f}$ و $\mathbf{k}$ برقرار است.
---
### پ) گسستگی وجود ندارد (تابع پیوسته است)
**گسستگی** (ناپیوستگی) یعنی نمودار در آن نقطه شکسته، سوراخ شده یا پرش کرده باشد. گسستگی وجود ندارد یعنی تابع **پیوسته** است.
* **تابع $f$**: $\lim = f(۲) = ۳$. نمودار در $(۲, ۳)$ پیوسته است.
* **تابع $g$**: $\lim = ۳$ و $g(۲) = ۲$. نمودار در $(۲, ۳)$ **سوراخ** و در $(۲, ۲)$ **پرش** دارد (ناپیوسته است).
* **تابع $h$**: $\lim$ ناموجود. نمودار در $(۲, ۱)$ و $(۲, ۳)$ **پرش** دارد (ناپیوسته است).
* **تابع $k$**: $\lim = k(۲) = ۳$. نمودار در $(۲, ۳)$ پیوسته است.
**نتیجه**: در نمودار توابع $\mathbf{f}$ و $\mathbf{k}$، در نقطه $x=۲$ گسستگی وجود ندارد.
