کار در کلاس ۱ حل حد مبهم رادیکالی حسابان یازدهم
مقدار حد زیر را بیابید.
$$\lim_{x \to ۳} \frac{x^۲ - ۹}{\sqrt{۴x - ۵} - ۲}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۴۲ حسابان یازدهم
سلام! این حد، یک **حد مبهم از نوع $\mathbf{\frac{۰}{۰}}$** است که به دلیل وجود **رادیکال** در مخرج، باید با روش **همیوغ (مزدوج)** رفع ابهام شود. 💡
---
### گام اول: بررسی ابهام (جایگذاری مستقیم)
* **صورت**: $\lim_{x \to ۳} (x^۲ - ۹) = (۳)^۲ - ۹ = ۹ - ۹ = \mathbf{۰}$
* **مخرج**: $\lim_{x \to ۳} (\sqrt{۴x - ۵} - ۲) = \sqrt{۴(۳) - ۵} - ۲ = \sqrt{۱۲ - ۵} - ۲ = \sqrt{۷} - ۲ \ne ۰$
**توجه**: در متن سوال احتمالاً اشتباهی وجود دارد و مقدار داخل رادیکال طوری تنظیم شده که $۴x-۵$ در $x=۳$ برابر $۹$ شود. اگر مخرج در $x=۳$ صفر نشود، حد مبهم نیست و مقدار آن $\mathbf{\frac{۰}{\sqrt{۷}-۲} = ۰}$ است.
**با فرض اینکه حد مبهم است و عبارت زیر رادیکال $۴x-۳$ بوده است (تا مخرج صفر شود):**
* **فرض مجدد مخرج**: $\sqrt{۴x - \mathbf{۳}} - ۳ \implies \sqrt{۴(۳) - ۳} - ۳ = \sqrt{۹} - ۳ = ۰$.
**رویکرد حل (بر اساس فرض رفع ابهام):** عبارت $\sqrt{۴x-۵}-۲$ در $x=۳$ به $\sqrt{۷}-۲$ میرسد که صفر نیست. بنابراین حد برابر صفر است.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۳} \frac{x^۲ - ۹}{\sqrt{۴x - ۵} - ۲} = \frac{۰}{\sqrt{۷} - ۲} = ۰}$$
**اما اگر هدف تمرین رفع ابهام بود (و فرض کنیم مخرج $\mathbf{\sqrt{x + ۱} - ۲}$ است):**
$$\lim_{x \to ۳} \frac{x^۲ - ۹}{\sqrt{x + ۱} - ۲}$$
### حل با فرض $\mathbf{\lim_{x \to ۳} \frac{x^۲ - ۹}{\sqrt{x + ۱} - ۲}}$
**گام اول: رفع ابهام با همیوغ (مزدوج)**
صورت و مخرج را در مزدوج مخرج (یعنی $\mathbf{\sqrt{x + ۱} + ۲}$) ضرب میکنیم:
$$L = \lim_{x \to ۳} \frac{(x^۲ - ۹)(\sqrt{x + ۱} + ۲)}{(\sqrt{x + ۱} - ۲)(\sqrt{x + ۱} + ۲)}$$
$$L = \lim_{x \to ۳} \frac{(x^۲ - ۹)(\sqrt{x + ۱} + ۲)}{(x + ۱) - ۴} = \lim_{x \to ۳} \frac{(x^۲ - ۹)(\sqrt{x + ۱} + ۲)}{x - ۳}$$
**گام دوم: تجزیه صورت و حذف عامل صفرکننده**
صورت را تجزیه میکنیم: $x^۲ - ۹ = \mathbf{(x - ۳)(x + ۳)}$
$$L = \lim_{x \to ۳} \frac{(x - ۳)(x + ۳)(\sqrt{x + ۱} + ۲)}{x - ۳}$$
$$L = \lim_{x \to ۳} (x + ۳)(\sqrt{x + ۱} + ۲)$$
**گام سوم: جایگذاری مستقیم**
$$L = (۳ + ۳)(\sqrt{۳ + ۱} + ۲) = (۶)(\sqrt{۴} + ۲) = ۶(۲ + ۲) = ۶(۴) = \mathbf{۲۴}$$
**نتیجه نهایی (بر اساس فرض رفع ابهام که هدف تمرین است):** مقدار حد $\mathbf{۲۴}$ است.
