کار در کلاس ۱ حل حد مبهم نوع $\frac{۰}{۰}$ حسابان یازدهم
مقدار حد زیر را بیابید.
$$\lim_{x \to ۲} \frac{x^۲ - ۴x + ۴}{x^۲ - ۴}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۴۱ حسابان یازدهم
سلام! این حد، یک **حد مبهم از نوع $\mathbf{\frac{۰}{۰}}$** است. برای حل این ابهام، باید با **تجزیه کردن** صورت و مخرج، عامل صفرکننده (در اینجا $\mathbf{x-۲}$) را حذف کنیم. 💡
### گام اول: بررسی ابهام (جایگذاری مستقیم)
* **صورت**: $\lim_{x \to ۲} (x^۲ - ۴x + ۴) = (۲)^۲ - ۴(۲) + ۴ = ۴ - ۸ + ۴ = \mathbf{۰}$
* **مخرج**: $\lim_{x \to ۲} (x^۲ - ۴) = (۲)^۲ - ۴ = ۴ - ۴ = \mathbf{۰}$
**نتیجه**: حد، مبهم از نوع $\mathbf{\frac{۰}{۰}}$ است.
### گام دوم: تجزیه صورت و مخرج
* **صورت (اتحاد مربع کامل)**:
$$x^۲ - ۴x + ۴ = \mathbf{(x - ۲)^۲}$$
* **مخرج (اتحاد مزدوج)**:
$$x^۲ - ۴ = \mathbf{(x - ۲)(x + ۲)}$$
### گام سوم: حذف عامل صفرکننده و محاسبه حد
چون در محاسبه حد، $\mathbf{x}$ به ۲ **نزدیک میشود اما برابر آن نیست** ($x \ne ۲$)، میتوانیم عامل مشترک $\mathbf{x - ۲}$ را حذف کنیم:
$$\lim_{x \to ۲} \frac{x^۲ - ۴x + ۴}{x^۲ - ۴} = \lim_{x \to ۲} \frac{(x - ۲)^۲}{(x - ۲)(x + ۲)}$$
$$\lim_{x \to ۲} \frac{x - ۲}{x + ۲}$$
حالا با جایگذاری مستقیم (چون ابهام رفع شده است):
$$\lim_{x \to ۲} \frac{x - ۲}{x + ۲} = \frac{۲ - ۲}{۲ + ۲} = \frac{۰}{۴} = \mathbf{۰}$$
**نتیجه**: مقدار حد برابر $\mathbf{۰}$ است.
