کار در کلاس الف و ب بررسی قضیه حد جمع توابع حسابان یازدهم
فرض کنید توابع $f$ و $g$ در یک همسایگی محذوف نقطه $a$ تعریف شدهاند.
الف) اگر $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x))$ موجود باشد، آیا میتوان نتیجه گرفت $\lim_{x \to a} f(x)$ و $\lim_{x \to a} g(x)$ وجود دارند؟ چرا؟
ب) ثابت کنید اگر $\lim_{x \to a} f(x)$ و $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x))$ موجود باشند، آنگاه $\lim_{x \to a} g(x)$ نیز وجود دارد.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس الف و ب صفحه ۱۳۶ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت بر فهم دقیق **شرطهای استفاده از قضیه حد جمع** توابع تمرکز دارد. قضیه حد جمع میگوید: حد مجموع برابر با مجموع حدود است، $\mathbf{\lim(f+g) = \lim f + \lim g}$، به شرطی که $\mathbf{\lim f}$ و $\mathbf{\lim g}$ **موجود باشند**. 💡
---
### الف) آیا وجود حد مجموع، وجود حد اجزا را نتیجه میدهد؟
**پاسخ**: $\mathbf{خیر}$، لزوماً نمیتوان چنین نتیجهای گرفت.
**چرا (مثال نقض)**:
در مثال فعالیت صفحه ۱۳۵، دیدیم که:
* $f(x) = \begin{cases} ۴ & x \le ۲ \\ ۳ & x > ۲ \end{cases}$ (حد در $x=۲$ وجود ندارد)
* $g(x) = \begin{cases} -۲ & x \le ۲ \\ -۱ & x > ۲ \end{cases}$ (حد در $x=۲$ وجود ندارد)
اما تابع جمع $f+g$ برابر $\mathbf{(f+g)(x) = ۲}$ است، که حد آن در $x=۲$ برابر $\mathbf{۲}$ است: $\mathbf{\lim_{x \to ۲} (f(x) + g(x)) = ۲}$ (موجود است).
**نتیجه**: وجود حد مجموع $\mathbf{\lim_{x \to a} (f(x) + g(x))}$ تضمینکننده وجود حد اجزای تشکیلدهنده آن ($\mathbf{\lim_{x \to a} f(x)}$ و $\mathbf{\lim_{x \to a} g(x)}$) **نیست**.
---
### ب) اثبات وجود $\lim_{x \to a} g(x)$
**دادهها**: $\lim_{x \to a} f(x)$ و $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x))$ **موجود هستند**.
**هدف**: اثبات وجود $\lim_{x \to a} g(x)$.
**گام ۱: تعریف تابع $g$ به صورت تفریق توابع**
ما میتوانیم تابع $g(x)$ را بر حسب توابعی که حد آنها موجود است، بنویسیم:
$$g(x) = (f(x) + g(x)) - f(x)$$
**گام ۲: استفاده از قضیه حد تفریق**
از **قضیه حد تفریق توابع** استفاده میکنیم. این قضیه میگوید: حد تفاضل دو تابع، برابر با تفاضل حدود آنهاست، **به شرطی که حدود توابع اصلی موجود باشد**.
$$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} \left( (f(x) + g(x)) - f(x) \right)$$
$$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) - \lim_{x \to a} f(x)$$
**گام ۳: نتیجهگیری**
چون طبق فرض، حدود $\mathbf{\lim_{x \to a} (f(x) + g(x))}$ و $\mathbf{\lim_{x \to a} f(x)}$ **موجود هستند**، تفاضل آنها (سمت راست تساوی) نیز یک عدد حقیقی خواهد بود.
**نتیجه**: پس $\mathbf{\lim_{x \to a} g(x)}$ نیز **وجود دارد**.
**نکته**: در واقع، قضیه حد جمع/تفریق را میتوان به صورت $\mathbf{\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g}$ نوشت، اما تنها زمانی که حدود $\mathbf{\lim f}$ و $\mathbf{\lim g}$ موجود باشند.
