پاسخ فعالیت صفحه 135 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف تا ث صفحه ۱۳۵ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت یک مثال نقض مهم در مورد **قوانین حد** را بررسی می‌کند. قضیه حد جمع توابع ($ \lim(f+g) = \lim f + \lim g $) تنها زمانی برقرار است که **حد توابع اصلی ($\mathbf{f}$ و $\mathbf{g}$) وجود داشته باشد**. 💡 --- ### الف) ضابطه تابع $f+g$ تابع $f+g$ نیز یک تابع چندضابطه‌ای است که ضابطه آن از جمع ضابطه‌های $f$ و $g$ در هر بازه به دست می‌آید: 1. **بازه $\mathbf{x \le ۲}$**: $$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = ۴ + (-۲) = \mathbf{۲}$$ 2. **بازه $\mathbf{x > ۲}$**: $$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = ۳ + (-۱) = \mathbf{۲}$$ $$\mathbf{(f+g)(x) = ۲ \quad \text{برای } x \in \mathbb{R}}$$ (تابع $f+g$ یک **تابع ثابت** با مقدار ۲ است.) --- ### پ) آیا حد دو تابع $f$ و $g$ در $x=۲$ وجود دارد؟ **۱. بررسی حد تابع $f$ در $x=۲$**: * **حد چپ ($\mathbf{x \to ۲^-}$)**: $\lim_{x \to ۲^-} f(x) = ۴$. * **حد راست ($\mathbf{x \to ۲^+}$)**: $\lim_{x \to ۲^+} f(x) = ۳$. * **نتیجه**: چون $\mathbf{۴ \ne ۳}$ است، $\mathbf{\lim_{x \to ۲} f(x) \quad \text{وجود ندارد}}$. **۲. بررسی حد تابع $g$ در $x=۲$**: * **حد چپ ($\mathbf{x \to ۲^-}$)**: $\lim_{x \to ۲^-} g(x) = -۲$. * **حد راست ($\mathbf{x \to ۲^+}$)**: $\lim_{x \to ۲^+} g(x) = -۱$. * **نتیجه**: چون $\mathbf{-۲ \ne -۱}$ است، $\mathbf{\lim_{x \to ۲} g(x) \quad \text{وجود ندارد}}$. --- ### ت) آیا حد تابع $f+g$ در $x=۲$ وجود دارد؟ تابع $\mathbf{(f+g)(x) = ۲}$ یک تابع ثابت است. حد تابع ثابت در هر نقطه، برابر با همان مقدار ثابت است. $$\mathbf{\lim_{x \to ۲} (f+g)(x) = \lim_{x \to ۲} ۲ = ۲}$$ **نتیجه**: $\mathbf{بله}$، حد تابع $f+g$ در $x=۲$ **وجود دارد**. --- ### ث) آیا می‌توان از قضیه حد مجموع برای محاسبه حد $f+g$ در $x=۲$ استفاده کرد؟ چرا؟ * **قضیه حد مجموع**: $\lim_{x \to a}(f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$ * **شرط قضیه**: قضیه حد مجموع تنها زمانی قابل استفاده است که **حد هر دو تابع $f$ و $g$ در نقطه $a$ (یعنی $x=۲$) موجود باشد**. **بررسی**: همانطور که در قسمت (پ) ثابت شد، $\mathbf{\lim_{x \to ۲} f(x)}$ و $\mathbf{\lim_{x \to ۲} g(x)}$ **موجود نیستند**. * **نتیجه**: $\mathbf{خیر}$، **نمی‌توان** از قضیه حد مجموع استفاده کرد. * **دلیل**: چون **شرط اصلی قضیه** (وجود حد توابع $f$ و $g$ در $x=۲$) نقض شده است. (این مثال نشان می‌دهد که وجود حد $\lim(f+g)$، لزوماً به معنای وجود حدود $\lim f$ و $\lim g$ نیست.)