فعالیت الف محاسبه حد توابع حاصل از جمع و تفریق حسابان یازدهم
توابع $f(x) = x^۲$ و $g(x) = ۲x + ۱$ را در نظر بگیرید. الف) با توجه به نمودار توابع $f$، $g$، $f+g$ و $f-g$، مقدار حدهای خواسته شده را بیابید.
$$\lim_{x \to ۱} g(x) = \dots \quad \lim_{x \to ۱} f(x) = \dots$$
$$\lim_{x \to ۱} (f(x) - g(x)) = \dots \quad \lim_{x \to ۱} (f(x) + g(x)) = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه ۱۳۱ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت، مقادیر حدی توابع اصلی ($f$ و $g$) و توابع حاصل از **عملیات جبری** ($f+g$ و $f-g$) را در نقطه $x=۱$ از روی نمودار محاسبه میکند. 🧠
**توابع اصلی و ضابطهها**:
* $\mathbf{f(x) = x^۲}$ (سهمی)
* $\mathbf{g(x) = ۲x + ۱}$ (خط راست)
**توابع ترکیبی و ضابطههایشان**:
* $\mathbf{(f+g)(x) = x^۲ + ۲x + ۱}$
* $\mathbf{(f-g)(x) = x^۲ - (۲x + ۱) = x^۲ - ۲x - ۱}$
### ۱. محاسبه حدهای توابع اصلی
چون $f$ و $g$ توابع چندجملهای هستند، در $x=۱$ پیوسته هستند و حد آنها برابر مقدار تابع است.
* **$\lim_{x \to ۱} g(x)$**:
$$\lim_{x \to ۱} g(x) = g(۱) = ۲(۱) + ۱ = \mathbf{۳}$$ (از روی نمودار $g$، ارتفاع در $x=۱$ برابر ۳ است.)
* **$\lim_{x \to ۱} f(x)$**:
$$\lim_{x \to ۱} f(x) = f(۱) = (۱)^۲ = \mathbf{۱}$$ (از روی نمودار $f$، ارتفاع در $x=۱$ برابر ۱ است.)
### ۲. محاسبه حدهای توابع ترکیبی
* **$\lim_{x \to ۱} (f(x) + g(x))$**:
$$\lim_{x \to ۱} (f(x) + g(x)) = (۱)^۲ + ۲(۱) + ۱ = ۱ + ۲ + ۱ = \mathbf{۴}$$ (از روی نمودار $f+g$، ارتفاع در $x=۱$ برابر ۴ است.)
* **$\lim_{x \to ۱} (f(x) - g(x))$**:
$$\lim_{x \to ۱} (f(x) - g(x)) = (۱)^۲ - ۲(۱) - ۱ = ۱ - ۲ - ۱ = \mathbf{-۲}$$ (از روی نمودار $f-g$، ارتفاع در $x=۱$ برابر $-۲$ است.)
فعالیت ب بررسی درستی قانون حد جمع و تفریق توابع حسابان یازدهم
ب) با استفاده از قسمت (الف)، درستی این تساویها را بررسی کنید.
$$\lim_{x \to ۱}(f(x) + g(x)) = \lim_{x \to ۱} f(x) + \lim_{x \to ۱} g(x)$$
$$\lim_{x \to ۱}(f(x) - g(x)) = \lim_{x \to ۱} f(x) - \lim_{x \to ۱} g(x)$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ب صفحه ۱۳۱ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت، هدف اصلی درس، یعنی **اثبات قانون حد جمع و تفریق توابع** (در صورت وجود حد توابع اصلی) را با استفاده از نتایج عددی فعالیت الف، نشان میدهد. 💡
---
### ۱. بررسی درستی قانون حد جمع توابع
**قانون**: $\lim_{x \to a}(f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$
* **سمت چپ (حد مجموع)**: $\lim_{x \to ۱}(f(x) + g(x)) = \mathbf{۴}$ (از فعالیت الف)
* **سمت راست (مجموع حدها)**: $\lim_{x \to ۱} f(x) + \lim_{x \to ۱} g(x) = ۱ + ۳ = \mathbf{۴}$ (از فعالیت الف)
**نتیجه**: چون $\mathbf{۴ = ۴}$ است، **تساوی برقرار است**.
---
### ۲. بررسی درستی قانون حد تفریق توابع
**قانون**: $\lim_{x \to a}(f(x) - g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)$
* **سمت چپ (حد تفاضل)**: $\lim_{x \to ۱}(f(x) - g(x)) = \mathbf{-۲}$ (از فعالیت الف)
* **سمت راست (تفاضل حدها)**: $\lim_{x \to ۱} f(x) - \lim_{x \to ۱} g(x) = ۱ - ۳ = \mathbf{-۲}$ (از فعالیت الف)
**نتیجه**: چون $\mathbf{-۲ = -۲}$ است، **تساوی برقرار است**.
**نتیجه کلی**: این مثال نشان میدهد که **حد توابع حاصل از جمع و تفریق، برابر با جمع و تفریق حدود توابع اصلی** است، به شرطی که حدود توابع اصلی وجود داشته باشند.
