فعالیت ۱ تکمیل زوج مرتب و نمایش نموداری تابع کسینوس حسابان یازدهم
همانند فعالیت قبل، تابع $y = \cos x$ در زیر رسم شده است. مجموعه زوج مرتبهای داده شده از این تابع را تکمیل کنید و نقاط به دست آمده را مانند نمونه بر روی نمودار نمایش دهید.
$$f = \{(\circ, ۱), (\frac{\pi}{۶}, \frac{\sqrt{۳}}{۲}), (\frac{\pi}{۳}, \dots), (\frac{۲\pi}{۳}, \dots), (\pi, -۱), (\frac{۴\pi}{۳}, \dots), (\frac{۳\pi}{۲}, \dots), (\frac{۵\pi}{۳}, \dots), (۲\pi, \dots) \}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۱۰۶ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت بر تکمیل نقاط کلیدی تابع **کسینوس** $\mathbf{y = \cos x}$ و نمایش آنها روی موج کسینوسی در بازه $[0, 2\pi]$ تمرکز دارد. 🌊
### ۱. تکمیل مقادیر کسینوس
از مقادیر زوایای اصلی و روابط تقارنی برای تکمیل زوج مرتبها استفاده میکنیم:
1. **$x = \frac{\pi}{۳}$ (۶۰ درجه)**: $\cos(\frac{\pi}{۳}) = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$
2. **$x = \frac{۲\pi}{۳}$ (۱۲۰ درجه)**: ربع دوم. $\cos(\pi - \frac{\pi}{۳}) = -\cos(\frac{\pi}{۳}) = \mathbf{-\frac{۱}{۲}}$
3. **$x = \frac{۴\pi}{۳}$ (۲۴۰ درجه)**: ربع سوم. $\cos(\pi + \frac{\pi}{۳}) = -\cos(\frac{\pi}{۳}) = \mathbf{-\frac{۱}{۲}}$
4. **$x = \frac{۳\pi}{۲}$ (۲۷۰ درجه)**: روی محور $y$ منفی. $\cos(\frac{۳\pi}{۲}) = \mathbf{۰}$
5. **$x = \frac{۵\pi}{۳}$ (۳۰۰ درجه)**: ربع چهارم. $\cos(۲\pi - \frac{\pi}{۳}) = \cos(\frac{\pi}{۳}) = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$
6. **$x = ۲\pi$ (۳۶۰ درجه)**: انتهای دور. $\cos(۲\pi) = \mathbf{۱}$
### ۲. مجموعه زوج مرتبهای تکمیل شده
$$f = \{(\circ, ۱), (\frac{\pi}{۶}, \frac{\sqrt{۳}}{۲}), (\frac{\pi}{۳}, \mathbf{\frac{۱}{۲}}), (\frac{۲\pi}{۳}, \mathbf{-\frac{۱}{۲}}), (\pi, -۱), (\frac{۴\pi}{۳}, \mathbf{-\frac{۱}{۲}}), (\frac{۳\pi}{۲}, \mathbf{۰}), (\frac{۵\pi}{۳}, \mathbf{\frac{۱}{۲}}), (۲\pi, \mathbf{۱}) \}$$
### ۳. نمایش نقاط بر روی نمودار
نقاط کلیدی مانند $(\frac{\pi}{۳}, \frac{۱}{۲})$, $(\frac{۲\pi}{۳}, -\frac{۱}{۲})$, $(\frac{۴\pi}{۳}, -\frac{۱}{۲})$, $(\frac{۵\pi}{۳}, \frac{۱}{۲})$, و نقاط مرزی $(\frac{۳\pi}{۲}, ۰)$ و $(۲\pi, ۱)$ را بر روی نمودار $y=\cos x$ (موج سینوسی منتقل شده) مشخص میکنیم.
فعالیت ۲ مقدار $\cos \sqrt{۲}$ از روی نمودار حسابان یازدهم
در نمودار بالا ابتدا نقطه نظیر $\sqrt{۲}$ رادیان را بر روی محور $x$ها بیابید و سپس مکان حساب $\cos \sqrt{۲}$ را بر روی محور $y$ها به طور تقریبی پیدا کنید. درستی پاسخ خود را با ماشین حساب بررسی کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۱۰۶ حسابان یازدهم
برای پیدا کردن مقدار $\mathbf{\cos \sqrt{۲}}$ از روی نمودار، باید موقعیت ورودی $\mathbf{x = \sqrt{۲}}$ را روی محور $x$ پیدا کرده و سپس مقدار $y$ متناظر آن را بخوانیم. 🧠
### ۱. تعیین موقعیت $\mathbf{x = \sqrt{۲}}$ رادیان
* **مقدار تقریبی**: $\mathbf{\sqrt{۲} \approx ۱.۴۱۴}$ رادیان.
* **مقیاس محور $x$**:
* $\frac{\pi}{۲} \approx \frac{۳.۱۴}{۲} = \mathbf{۱.۵۷}$ رادیان.
* **مکان $\mathbf{\sqrt{۲}}$**: $۱.۴۱۴$ کمی از $۱.۵۷$ کوچکتر است. بنابراین، نقطه $\mathbf{x = \sqrt{۲}}$ در محور $x$، اندکی **قبل از $\mathbf{\frac{\pi}{۲}}$** قرار دارد.
### ۲. تخمین $\mathbf{\cos \sqrt{۲}}$ از روی نمودار
1. یک خط عمودی از $x = \sqrt{۲}$ (کمی قبل از $\frac{\pi}{۲}$) تا نمودار $y=\cos x$ رسم میکنیم.
2. خط عمودی نمودار را در ارتفاع بسیار نزدیک به $y=۰$ قطع میکند.
3. چون $\cos(\frac{\pi}{۲}) = ۰$ و تابع در آن نزدیکی نزولی است، مقدار $\cos \sqrt{۲}$ باید کمی بزرگتر از صفر باشد.
* **تخمین تقریبی**: $\mathbf{\cos \sqrt{۲} \approx ۰.۱۵}$ تا $\mathbf{۰.۲۰}$
### ۳. بررسی با ماشین حساب
$$\mathbf{\cos (\sqrt{۲} \text{ rad}) \approx ۰.۱۵۵}$$
**نتیجه**: تخمین $\mathbf{۰.۱۵}$ تا $\mathbf{۰.۲۰}$ صحیح است و به ما نشان میدهد که **کسینوس یک رادیان** (تقریباً $۰.۵۴$) با کسینوس $\mathbf{\sqrt{۲} \text{ رادیان}}$ متفاوت است و $y$ آن نزدیکتر به صفر است.
فعالیت ۳ ادامه نمودار کسینوس حسابان یازدهم
از درسهای قبل میدانیم که $\cos (x + ۲k\pi) = \cos x$ و نیز $\cos (-x) = \cos x$. با استفاده از این روابط مقدار تابع $\cos x$ را در دیگر نقاط داده شده بر روی محور $x$ها به دست آورید و نمودار تابع را از دو طرف در بازههای $[ -۲\pi, ۰]$ و $[۲\pi, ۴\pi]$ با هم متفاوت هستند؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۱۰۶ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت از دو ویژگی مهم تابع کسینوس ($y=\cos x$) برای ادامه نمودار در کل $\mathbb{R}$ استفاده میکند: **تناوب** و **زوج بودن**. $]
### ۱. ادامه نمودار در بازه $[ -۲\pi, ۰]$ (قرینه بودن)
از ویژگی **زوج بودن** استفاده میکنیم: $\mathbf{\cos(-x) = \cos x}$ (نمودار نسبت به محور $y$ متقارن است).
* **مقادیر در $[ -۲\pi, ۰]$**: در این بازه، نمودار باید **قرینه** نمودار $[۰, ۲\pi]$ نسبت به محور $y$ باشد.
* چون خود نمودار در $[۰, ۲\pi]$ نیز نسبت به $x=\pi$ متقارن است، ادامه نمودار از $x=۰$ تا $x=-۲\pi$ **یک موج کامل** دیگر خواهد بود، که در $\mathbf{x=-۲\pi}$ به مقدار $\mathbf{۱}$ (مقدار شروع) میرسد.
### ۲. ادامه نمودار در بازه $[۲\pi, ۴\pi]$ (تناوب)
از ویژگی **تناوب** استفاده میکنیم: $\mathbf{\cos(x + ۲k\pi) = \cos x}$ (با $k=۱$، $\mathbf{\cos(x + ۲\pi) = \cos x}$).
* **مقادیر در $[۲\pi, ۴\pi]$**: نمودار در این بازه **عیناً تکرار** نمودار $[۰, ۲\pi]$ است، با یک انتقال افقی به اندازه $۲\pi$.
* نمودار از $x=۲\pi$ با مقدار $athbf{۱}$ شروع شده و در $\mathbf{x=۴\pi}$ به $athbf{۱}$ ختم میشود.
### ۳. مقایسه نمودار در بازههای مختلف
* **آیا نمودار در $[ -۲\pi, ۰]$ و $[۰, ۲\pi]$ و $[۲\pi, ۴\pi]$ با هم متفاوتند؟**
* **خیر، متفاوت نیستند.** همه آنها **شکل و اندازه یکسان** (یک موج کامل) دارند. تفاوت فقط در **موقعیت قرارگیری** آنها روی محور $x$ است.
* **دلیل**: تابع کسینوس یک **تابع متناوب** با دوره تناوب $athbf{T = ۲\pi}$ است. یعنی نمودار آن در هر بازه به طول $۲\pi$، دقیقاً تکرار میشود.
فعالیت ۴ بررسی برد تابع کسینوس و حل معادله حسابان یازدهم
با توجه به نمودار تابع $y = \cos x$ در بازه $[ -۲\pi, ۴\pi]$ به سؤالات زیر پاسخ دهید.
الف) آیا میتوان بر روی محور $x$ها عددی مانند $x_۰$ یافت که برای آن $\cos x_۰ = \frac{۱}{۳}$ باشد؟
ب) آیا میتوان بر روی محور $x$ها عددی مانند $x_۰$ یافت که برای آن $\cos x_۰ = ۲$ باشد؟
پ) بیشترین و کمترین مقدار تابع $y = \cos x$ در این بازه چقدر است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۱۰۶ حسابان یازدهم
این فعالیت بر مفهوم **برد تابع مثلثاتی** و توانایی حل معادلات آن تمرکز دارد. 🧠
### الف) آیا $\cos x_۰ = \frac{۱}{۳}$ امکانپذیر است؟
* **بررسی**: مقدار $\frac{۱}{۳}$ بین $-۱$ و $۱$ قرار دارد (یعنی $-۱ \le \frac{۱}{۳} \le ۱$).
* **نتیجه**: **بله**. چون $\frac{۱}{۳}$ در **برد تابع کسینوس** ($[-۱, ۱]$) قرار دارد، خط افقی $y = \frac{۱}{۳}$ نمودار کسینوس را در بیشمار نقطه (و در بازه $[ -۲\pi, ۴\pi]$ در چندین نقطه) قطع میکند.
### ب) آیا $\cos x_۰ = ۲$ امکانپذیر است؟
* **بررسی**: مقدار $۲$ بزرگتر از $۱$ است.
* **نتیجه**: **خیر**. چون $\mathbf{۲}$ در **برد تابع کسینوس** ($[-۱, ۱]$) قرار ندارد، خط افقی $y = ۲$ هرگز نمودار کسینوس را قطع نمیکند و چنین مقداری برای $\cos x_۰$ وجود ندارد.
### پ) بیشترین و کمترین مقدار تابع $y = \cos x$
* **برد تابع کسینوس**: تابع کسینوس در هر دامنهای، مقادیری بین $-۱$ و $۱$ تولید میکند (از روی دایره مثلثاتی).
* **بیشترین مقدار (ماکزیمم)**: $\mathbf{۱}$
* **کمترین مقدار (مینیمم)**: $\mathbf{-۱}$
