حل تمرین صفحه 90 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۹۰ حسابان یازدهم سلام! برای حل معادلات **لگاریتمی**، ابتدا باید **دامنه** عبارات زیر لگاریتم را تعیین کنیم، سپس با استفاده از **قوانین لگاریتم** معادله را ساده و حل کرده و در نهایت جواب‌ها را در دامنه بررسی کنیم. 🧐 --- ### الف) $\log_{۴} m^۲ - \log_{۴} m - ۳ = ۰$ **۱. شرط دامنه**: $$\log_{۴} m^۲ \implies m^۲ > ۰ \implies m \ne ۰$$ $$\log_{۴} m \implies m > ۰$$ **شرط نهایی**: $\mathbf{m > ۰}$ **۲. حل معادله**: از قانون توان ($\log m^۲ = ۲ \log m$) استفاده می‌کنیم: $$۲ \log_{۴} m - \log_{۴} m - ۳ = ۰$$ $$\log_{۴} m - ۳ = ۰ \implies \log_{۴} m = ۳$$ با تبدیل به فرم نمایی ($b^C = A$): $$m = ۴^۳ \implies \mathbf{m = ۶۴}$$ **۳. بررسی جواب**: $m = ۶۴ > ۰$. **قابل قبول است**. --- ### ب) $\log_{b}(۱۲b - ۲۱) - \log_{b}(b^۲ - ۳) = ۲$ **۱. شرط دامنه و پایه**: * **پایه**: $\mathbf{b > ۰}$ و $\mathbf{b \ne ۱}$ * **عبارات زیر لگاریتم**: * $۱۲b - ۲۱ > ۰ \implies ۱۲b > ۲۱ \implies b > \frac{۲۱}{۱۲} = \frac{۷}{۴} = ۱.۷۵$ * $b^۲ - ۳ > ۰ \implies b^۲ > ۳ \implies |b| > \sqrt{۳} \approx ۱.۷۳۲$. چون $b>۰$، پس $b > \sqrt{۳}$. **شرط نهایی**: $\mathbf{b > \frac{۷}{۴}}$ (چون $\frac{۷}{۴} > ۱$ و $b > \sqrt{۳}$ را نیز پوشش می‌دهد). **۲. حل معادله**: از قانون لگاریتم حاصل تقسیم (تفاضل لگاریتم‌ها تبدیل به لگاریتم تقسیم می‌شود) استفاده می‌کنیم: $$\log_{b} \left(\frac{۱۲b - ۲۱}{b^۲ - ۳}\right) = ۲$$ با تبدیل به فرم نمایی: $$b^۲ = \frac{۱۲b - ۲۱}{b^۲ - ۳}$$ $$b^۲ (b^۲ - ۳) = ۱۲b - ۲۱$$ $$b^۴ - ۳b^۲ - ۱۲b + ۲۱ = ۰$$ (حل این معادله درجه چهار بسیار دشوار است. معمولاً در این سطح، یکی از ریشه‌ها عدد صحیح کوچکی است. $b=۳$ را امتحان می‌کنیم: $۳^۴ - ۳(۳^۲) - ۱۲(۳) + ۲۱ = ۸۱ - ۲۷ - ۳۶ + ۲۱ = ۰$. پس $\mathbf{b = ۳}$ یک ریشه است.) **۳. بررسی جواب**: $b = ۳$. * $athbf{b = ۳}$: شرط $b > \frac{۷}{۴} = ۱.۷۵$ و $b \ne ۱$ را ارضا می‌کند. **جواب معادله**: $\mathbf{b = ۳}$ --- ### پ) $\log_{\frac{۱}{۱۰}}(x^۲ - ۱) = -۱$ **۱. شرط دامنه**: $$x^۲ - ۱ > ۰ \implies x^۲ > ۱ \implies \mathbf{|x| > ۱}$$ **۲. حل معادله**: با تبدیل به فرم نمایی: $$x^۲ - ۱ = \left(\frac{۱}{۱۰}\right)^{-۱}$$ $$x^۲ - ۱ = ۱۰$$ $$x^۲ = ۱۱ \implies \mathbf{x = \pm \sqrt{۱۱}}$$ **۳. بررسی جواب**: * $\mathbf{x = \sqrt{۱۱}}$: $\sqrt{۱۱} \approx ۳.۳۱$. شرط $|x| > ۱$ را ارضا می‌کند. **قابل قبول است**. * $\mathbf{x = -\sqrt{۱۱}}$: $-\sqrt{۱۱} \approx -۳.۳۱$. شرط $|x| > ۱$ را ارضا می‌کند. **قابل قبول است**. **جواب معادله**: $\mathbf{\sqrt{۱۱}, -\sqrt{۱۱}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۹۰ حسابان یازدهم سلام! این تمرین بر مفهوم **تابع وارون تابع نمایی** (تابع لگاریتمی) در مدل‌های زیستی تأکید دارد. 🦠 ### الف) محاسبه و تفسیر تابع وارون **۱. محاسبه وارون**: تابع اصلی: $m = ۲^t$. برای یافتن وارون، باید $t$ را بر حسب $m$ پیدا کنیم: $$\mathbf{t = \log_{۲} m}$$ **۲. تفسیر**: * **تابع اصلی ($m(t)$)**: زمان ($t$) را به عنوان ورودی می‌گیرد و **جرم باکتری‌ها ($m$)** را به عنوان خروجی می‌دهد. * **تابع وارون ($t(m)$)**: جرم باکتری‌ها ($m$) را به عنوان ورودی می‌گیرد و **زمانی ($t$)** را که طول کشیده تا جرم به آن مقدار برسد، به عنوان خروجی می‌دهد. **نکته**: این تابع وارون به ما اجازه می‌دهد تا زمان لازم برای رسیدن به یک جرم خاص را به جای حدس و گمان، مستقیماً محاسبه کنیم. --- ### ب) برآورد زمان برای رسیدن به ۵۰۰۰۰ گرم باید $t$ را به ازای $m = ۵۰۰۰۰$ محاسبه کنیم: $$t = \log_{۲} ۵۰,۰۰۰$$ **گام ۱: ساده‌سازی لگاریتم**: $$t = \log_{۲} (۵ \times ۱۰^۴) = \log_{۲} ۵ + \log_{۲} ۱۰^۴$$ $$t = \log_{۲} ۵ + ۴ \log_{۲} ۱۰$$ **گام ۲: تغییر مبنا و استفاده از داده‌های $\log ۲$**: از فرمول تغییر مبنا ($\log_{b} a = \frac{\log a}{\log b}$) استفاده می‌کنیم: $$t = \frac{\log ۵}{\log ۲} + 4 \frac{\log ۱۰}{\log ۲} = \frac{\log (\frac{۱۰}{۲})}{\log ۲} + \frac{۴}{\log ۲}$$ $$t = \frac{\log ۱۰ - \log ۲}{\log ۲} + \frac{۴}{\log ۲} = \frac{۱ - \log ۲}{\log ۲} + \frac{۴}{\log ۲} = \frac{۵ - \log ۲}{\log ۲}$$ **گام ۳: جایگذاری $\log ۲ \approx ۰.۳۰۱$**: $$t \approx \frac{۵ - ۰.۳۰۱}{۰.۳۰۱} = \frac{۴.۶۹۹}{۰.۳۰۱} \approx \mathbf{۱۵.۶۱}$$ **نتیجه**: جرم باکتری‌ها پس از حدود **۱۵.۶۱ ساعت** به ۵۰,۰۰۰ گرم خواهد رسید.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۹۰ حسابان یازدهم این تمرین به بررسی **خواص و قوانین لگاریتم** می‌پردازد. ✅❌ --- ### الف) $\mathbf{a^{\log_{b} a} = a}$ * **قانون لگاریتم**: قانون صحیح این است: $\mathbf{b^{\log_{b} a} = a}$ (قانون تابع نمایی و لگاریتمی معکوس هم). * **بررسی**: عبارت داده شده، $\mathbf{a^{\log_{b} a}}$، در حالت کلی برقرار نیست، مگر اینکه $b=a$ باشد. * **نتیجه**: $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$ --- ### ب) $\mathbf{\log_{d} abc = \log_{d} a + \log_{d} b + \log_{d} c}$ * **قانون لگاریتم**: قانون لگاریتم حاصل ضرب: لگاریتم حاصل ضرب چند عدد، برابر با مجموع لگاریتم‌های آن اعداد است. * **بررسی**: این عبارت، تعمیم درست قانون ضرب است. * **نتیجه**: $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$ --- ### پ) $\mathbf{\log x \log y = \log x + \log y}$ * **قانون لگاریتم**: * سمت چپ: حاصل **ضرب** لگاریتم‌ها. * سمت راست: لگاریتم حاصل **ضرب** ($\log (x y)$). * **بررسی**: $\mathbf{\log x \log y \ne \log(xy)}$. این عبارت یک خطای رایج است و در حالت کلی نادرست است. * **نتیجه**: $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$ --- ### ت) $\mathbf{\text{لگاریتم هر عدد مثبت، همواره عددی مثبت است.}}$ * **بررسی**: لگاریتم هر عدد مثبت (ورودی لگاریتم) تعریف می‌شود. اما مقدار آن می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. * مثال مثبت: $\log_{۱۰} ۱۰۰ = ۲$ * مثال صفر: $\log_{۱۰} ۱ = ۰$ * مثال منفی: $\log_{۱۰} ۰.۰۱ = -۲$ * **نتیجه**: $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۹۰ حسابان یازدهم سلام! این مسئله یک مثال از **کاهش نمایی** (زوال رادیواکتیو) است که با مفهوم **نیمه عمر** ($T$) سروکار دارد. تابع کاهشی از فرم $\mathbf{m(t) = m_۰ (\frac{۱}{۲})^{\frac{t}{T}}}$ پیروی می‌کند. ⚛️ ### الف) یافتن ضابطه تابع $m(t)$ * **جرم اولیه ($m_۰$)**: ۱ گرم. * **نیمه عمر ($T$)**: ۴ روز. **ضابطه تابع کاهش نمایی**: $$\mathbf{m(t) = ۱ \cdot \left(\frac{۱}{۲}\right)^{\frac{t}{۴}} = (\frac{۱}{۲})^{\frac{t}{۴}}}$$ --- ### ب) زمان لازم برای رسیدن به ۰.۰۱ گرم باید $t$ را به ازای $m(t) = ۰.۰۱$ حل کنیم: $$\left(\frac{۱}{۲}\right)^{\frac{t}{۴}} = ۰.۰۱ = \frac{۱}{۱۰۰} = ۱۰^{-۲}$$ **گام ۱: حل معادله نمایی با استفاده از لگاریتم**: از لگاریتم در مبنای ۱۰ از دو طرف استفاده می‌کنیم: $$\log \left(\frac{۱}{۲}\right)^{\frac{t}{۴}} = \log (۰.۰۱)$$ $$\frac{t}{۴} \log \left(\frac{۱}{۲}\right) = -۲$$ **گام ۲: ساده‌سازی و استفاده از قانون تقسیم**: $$\log \left(\frac{۱}{۲}\right) = \log ۱ - \log ۲ = ۰ - \log ۲ = -\log ۲$$ $$\frac{t}{۴} (-\log ۲) = -۲$$ $$\frac{t}{۴} \log ۲ = ۲$$ **گام ۳: محاسبه $t$**: $$t = \frac{۸}{\log ۲}$$ **گام ۴: جایگذاری $\log ۲ \approx ۰.۳۰۱$** (از تمرینات قبل): $$t \approx \frac{۸}{۰.۳۰۱} \approx \mathbf{۲۶.۵۸}$$ **نتیجه**: طی حدود **۲۶.۵۸ روز**، جرم این عنصر به ۰.۰۱ گرم کاهش می‌یابد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۹۰ حسابان یازدهم برای ساده‌سازی این عبارت‌ها، از **قوانین لگاریتم** (ضرب، تقسیم، توان) استفاده می‌کنیم. در قسمت‌های الف و ب، پایه لگاریتم **۱۰** است. 🔢 --- ### الف) $\log (۱۸ \times ۳۷۵)$ **۱. تجزیه به عوامل اول**: $$۱۸ = ۲ \times ۹ = ۲ \times ۳^۲$$ $$۳۷۵ = ۳ \times ۱۲۵ = ۳ \times ۵^۳$$ **۲. استفاده از قانون ضرب**: $$\log (۱۸ \times ۳۷۵) = \log (۲ \cdot ۳^۲ \cdot ۳ \cdot ۵^۳) = \log (۲ \cdot ۳^۳ \cdot ۵^۳)$$ $$= \log ۲ + \log ۳^۳ + \log ۵^۳$$ $$= \log ۲ + ۳ \log ۳ + ۳ \log ۵$$ **۳. استفاده از $\log ۵ = ۱ - \log ۲$**: $$= \log ۲ + ۳ \log ۳ + ۳ (۱ - \log ۲)$$ $$= \log ۲ + ۳ \log ۳ + ۳ - ۳ \log ۲$$ $$= ۳ - ۲ \log ۲ + ۳ \log ۳$$ **۴. جایگذاری مقادیر تقریبی**: $$= ۳ - ۲(۰.۳۰۱) + ۳(۰.۴۷۷۱) = ۳ - ۰.۶۰۲ + ۱.۴۳۱۳ = \mathbf{۳.۸۲۹۳}$$ --- ### ب) $\log \sqrt{۰.۰۷۵}$ **۱. تبدیل به توان و کسر**: $$\log \sqrt{۰.۰۷۵} = \frac{۱}{۲} \log ۰.۰۷۵ = \frac{۱}{۲} \log \frac{۷۵}{۱۰۰۰} = \frac{۱}{۲} \log \frac{۳}{۴۰}$$ **۲. استفاده از قانون تقسیم و ضرب**: $$= \frac{۱}{۲} (\log ۳ - \log ۴۰) = \frac{۱}{۲} (\log ۳ - \log (۴ \times ۱۰))$$ $$= \frac{۱}{۲} (\log ۳ - (\log ۲^۲ + \log ۱۰))$$ $$= \frac{۱}{۲} (\log ۳ - ۲ \log ۲ - ۱)$$ **۳. جایگذاری مقادیر تقریبی**: $$= \frac{۱}{۲} (۰.۴۷۷۱ - ۲(۰.۳۰۱) - ۱) = \frac{۱}{۲} (۰.۴۷۷۱ - ۰.۶۰۲ - ۱)$$ $$= \frac{۱}{۲} (-۱.۱۲۴۹) \approx \mathbf{-۰.۵۶۲۴۵}$$ --- ### پ) $\log_{۲} \frac{\sqrt{۸}}{\sqrt[۴]{۲}}$ **۱. تبدیل به توان‌های پایه ۲**: $$\sqrt{۸} = \sqrt{۲^۳} = ۲^{\frac{۳}{۲}}$$ $$\sqrt[۴]{۲} = ۲^{\frac{۱}{۴}}$$ **۲. ساده‌سازی کسر زیر لگاریتم**: $$\frac{\sqrt{۸}}{\sqrt[۴]{۲}} = \frac{۲^{\frac{۳}{۲}}}{۲^{\frac{۱}{۴}}} = ۲^{\frac{۳}{۲} - \frac{۱}{۴}} = ۲^{\frac{۶}{۴} - \frac{۱}{۴}} = ۲^{\frac{۵}{۴}}$$ **۳. محاسبه لگاریتم**: $$\log_{۲} \left(۲^{\frac{۵}{۴}}\right)$$ $$\text{با استفاده از قانون } \log_{b} b^A = A$$ $$\mathbf{\log_{۲} \frac{\sqrt{۸}}{\sqrt[۴]{۲}} = \frac{۵}{۴} = ۱.۲۵}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۹۰ حسابان یازدهم سلام! اگر نمودار یک تابع از نقطه‌ای بگذرد، مختصات آن نقطه در ضابطه تابع **صدق** می‌کند. ما از این ویژگی برای پیدا کردن پایه نامعلوم $a$ استفاده می‌کنیم. 🎯 ### گام اول: جایگذاری مختصات نقطه نقطه $(x, y) = (\frac{۱}{۲}, -۴)$ در ضابطه $f(x) = \log_{a} x$ صدق می‌کند: $$y = \log_{a} x$$ $$-۴ = \log_{a} \left(\frac{۱}{۲}\right)$$ ### گام دوم: تبدیل لگاریتم به فرم نمایی از تعریف لگاریتم استفاده می‌کنیم: $\log_{b} A = C \implies b^C = A$. $$a^{-۴} = \frac{۱}{۲}$$ ### گام سوم: حل برای $a$ ابتدا عبارت را به صورت توان مثبت بازنویسی می‌کنیم: $$\frac{۱}{a^۴} = \frac{۱}{۲}$$ $$a^۴ = ۲$$ سپس جذر چهارم می‌گیریم: $$a = \pm \sqrt[۴]{۲}$$ **شرط پایه لگاریتم**: از آنجا که پایه لگاریتم ($a$) باید همواره **مثبت** و **مخالف ۱** باشد ($a > ۰, a \ne ۱$): $$\mathbf{a = \sqrt[۴]{۲}}$$ **نتیجه**: مقدار $a$ برابر $\mathbf{\sqrt[۴]{۲}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۹۰ حسابان یازدهم این تمرین به بررسی دو قانون اساسی لگاریتم می‌پردازد. ✅❌ --- ### ۱. $\log ۵ = \log ۳ + \log ۲$ * **قانون لگاریتم**: قانون جمع لگاریتم‌ها به صورت $\mathbf{\log A + \log B = \log (A \cdot B)}$ است. * **بررسی**: سمت راست $\log ۳ + \log ۲ = \log (۳ \times ۲) = \log ۶$ است. * **نتیجه**: چون $\mathbf{\log ۵ \ne \log ۶}$ است، عبارت $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$ است. --- ### ۲. $\log_{b} a \times \log_{a} b = ۱$ * **قانون لگاریتم (تغییر مبنا)**: از قانون تغییر مبنا استفاده می‌کنیم: $\mathbf{\log_{b} a = \frac{\log a}{\log b}}$ (در مبنای دلخواه ۱۰). $$\log_{b} a \times \log_{a} b = \left(\frac{\log a}{\log b}\right) \times \left(\frac{\log b}{\log a}\right)$$ * **بررسی**: عبارت‌های صورت و مخرج (به شرطی که $a, b \ne ۱$ باشند) ساده می‌شوند و حاصل $\mathbf{۱}$ است. * **نتیجه**: $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۹۰ حسابان یازدهم سلام! این یک مسئله **کاهش نمایی** بر اساس مفهوم **نیمه عمر** ($T$) است. تابع کاهش نمایی از فرم $\mathbf{m(t) = m_۰ (\frac{۱}{۲})^{\frac{t}{T}}}$ پیروی می‌کند. ⚛️ ### گام اول: شناسایی پارامترها * **جرم اولیه ($m_۰$)**: ۱۲۸ میلی‌گرم. * **نیمه عمر ($T$)**: ۳۰ سال. * **زمان سپری شده ($t$)**: ۳۰۰ سال. ### گام دوم: محاسبه تعداد دوره‌های نیمه عمر ($n$) تعداد دوره‌های نیمه عمر برابر است با $n = \frac{t}{T}$: $$n = \frac{۳۰۰}{۳۰} = \mathbf{۱۰}$$ دوره نیمه عمر ### گام سوم: محاسبه جرم باقی‌مانده از ضابطه $m(t) = m_۰ \left(\frac{۱}{۲}\right)^n$ استفاده می‌کنیم: $$m(۳۰۰) = ۱۲۸ \times \left(\frac{۱}{۲}\right)^{۱۰}$$ $$m(۳۰۰) = ۱۲۸ \times \frac{۱}{۲^{۱۰}}$$ **نکته**: $۱۲۸ = ۲^۷$ و $۲^{۱۰} = ۱۰۲۴$. $$m(۳۰۰) = ۲^۷ \times \frac{۱}{۲^{۱۰}} = \frac{۲^۷}{۲^{۱۰}} = ۲^{۷ - ۱۰} = ۲^{-۳}$$ $$m(۳۰۰) = \frac{۱}{۲^۳} = \mathbf{\frac{۱}{۸} = ۰.۱۲۵}$$ میلی‌گرم **نتیجه**: جرمی که پس از ۳۰۰ سال باقی می‌ماند، $\mathbf{۰.۱۲۵ \text{ میلی‌گرم}}$ است.