حل تمرین صفحه 85 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۸۵ حسابان یازدهم سلام! برای حل این تمرین‌ها، از **تعریف اصلی لگاریتم** استفاده می‌کنیم: $\mathbf{\log_{b} a = x \iff b^x = a}$ (توان مورد نیاز پایه $b$ برای رسیدن به $a$). 💡 --- ### ۱. $\log_{۱۰} ۰.۰۱$ * **سؤال**: ۱۰ را به چه توانی برسانیم تا ۰.۰۱ شود؟ ($۱۰^x = ۰.۰۱$) * **محاسبه**: $۰.۰۱ = \frac{۱}{۱۰۰} = ۱۰^{-۲}$. $$۱۰^x = ۱۰^{-۲} \implies x = \mathbf{-۲}$$ --- ### ۲. $\log_{۶} \frac{۱}{۶}$ * **سؤال**: ۶ را به چه توانی برسانیم تا $\frac{۱}{۶}$ شود؟ ($۶^x = \frac{۱}{۶}$) * **محاسبه**: $\frac{۱}{۶} = ۶^{-۱}$. $$۶^x = ۶^{-۱} \implies x = \mathbf{-۱}$$ --- ### ۳. $\log_{۴} \sqrt{۲}$ * **سؤال**: ۴ را به چه توانی برسانیم تا $\sqrt{۲}$ شود؟ ($۴^x = \sqrt{۲}$) * **محاسبه**: پایه‌ها را به ۲ تبدیل می‌کنیم. $۴ = ۲^۲$ و $\sqrt{۲} = ۲^{\frac{۱}{۲}}$. $$(۲^۲)^x = ۲^{\frac{۱}{۲}} \implies ۲^{۲x} = ۲^{\frac{۱}{۲}}$$ $$۲x = \frac{۱}{۲} \implies x = \mathbf{\frac{۱}{۴}}$$ --- ### ۴. $\log_{\sqrt{۲}} \sqrt[۳]{۲}$ * **سؤال**: $\sqrt{۲}$ را به چه توانی برسانیم تا $\sqrt[۳]{۲}$ شود؟ ($(\sqrt{۲})^x = \sqrt[۳]{۲}$) * **محاسبه**: پایه‌ها را به ۲ تبدیل می‌کنیم. $\sqrt{۲} = ۲^{\frac{۱}{۲}}$ و $\sqrt[۳]{۲} = ۲^{\frac{۱}{۳}}$. $$(۲^{\frac{۱}{۲}})^x = ۲^{\frac{۱}{۳}} \implies ۲^{\frac{۱}{۲}x} = ۲^{\frac{۱}{۳}}$$ $$\frac{۱}{۲}x = \frac{۱}{۳} \implies x = ۲ \times \frac{۱}{۳} = \mathbf{\frac{۲}{۳}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۸۵ حسابان یازدهم **نقطه تلاقی** دو نمودار، نقطه‌ای است که در معادله هر دو نمودار صدق می‌کند. برای پیدا کردن این نقطه، باید ضابطه‌های $y$ را با هم مساوی قرار دهیم. intersection --- ### الف) تلاقی خط $y=۲۷$ با $y = ۳^x$ **۱. تشکیل معادله**: $$۳^x = ۲۷$$ **۲. حل معادله**: $$۳^x = ۳^۳ \implies \mathbf{x = ۳}$$ **۳. مختصات نقطه تلاقی**: $x=۳$ و $y=۲۷$. $$\text{نقطه تلاقی} = \mathbf{(۳, ۲۷)}$$ --- ### ب) تلاقی خط $y=۱۰۰$ با $y = (۰.۰۱)^x$ **۱. تشکیل معادله**: $$(۰.۰۱)^x = ۱۰۰$$ **۲. حل معادله**: باید پایه‌ها را یکسان کنیم (بر حسب ۱۰). * $۰.۰۱ = \frac{۱}{۱۰۰} = ۱۰^{-۲}$ * $۱۰۰ = ۱۰^۲$ معادله را بازنویسی می‌کنیم: $$(۱۰^{-۲})^x = ۱۰^۲$$ $$۱۰^{-۲x} = ۱۰^۲$$ $$\implies -۲x = ۲ \implies \mathbf{x = -۱}$$ **۳. مختصات نقطه تلاقی**: $x=-۱$ و $y=۱۰۰$. $$\text{نقطه تلاقی} = \mathbf{(-۱, ۱۰۰)}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۸۵ حسابان یازدهم این تمرین تفاوت اساسی بین **توابع چندجمله‌ای (درجه دوم)** و **توابع نمایی** را نشان می‌دهد. ### ۱. رسم نمودارها * **تابع درجه دوم ($f(x) = x^۲$)**: یک **سهمی** متقارن نسبت به محور $y$، با رأس در $(۰, ۰)$. * **تابع نمایی ($g(x) = ۲^x$)**: یک منحنی **صعودی اکید**، که مجانب افقی آن $y=۰$ است و از $(۰, ۱)$ و $(۱, ۲)$ می‌گذرد. ### ۲. مقایسه توابع | ویژگی | $f(x) = x^۲$ (درجه دوم) | $g(x) = ۲^x$ (نمایی) | | :---: | :---: | :---: | | **دامنه** | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | | **برد** | $[۰, \infty)$ | $(۰, \infty)$ | | **یک به یک؟** | $\mathbf{خیر}$ (آزمون خط افقی نقض می‌شود) | $\mathbf{بله}$ (صعودی اکید است) | | **محل تلاقی با محور $y$** | $(۰, ۰)$ | $(۰, ۱)$ | | **رشد** | رشد **آرام‌تر** (مقدار $f(۱۰)=۱۰۰$) | رشد **بسیار سریع** (مقدار $g(۱۰)=۱۰۲۴$) | | **رفتار در $x < ۰$** | صعودی (در ربع دوم) | همواره مثبت و به صفر نزدیک می‌شود (در ربع دوم) | **نتیجه اصلی**: برای مقادیر بزرگ $x$، رشد **تابع نمایی ($۲^x$) بسیار سریع‌تر** از رشد تابع درجه دوم ($x^۲$) است. در مقابل، تابع درجه دوم تنها در $x \ge ۰$ یک به یک است، در حالی که تابع نمایی در کل $athbb{R}$ یک به یک است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۸۵ حسابان یازدهم این تمرین به مرور و تثبیت **خواص اصلی توابع لگاریتمی** می‌پردازد. 🎯 --- ### ۱. لگاریتم عدد مثبت کمتر از ۱ همواره عددی منفی است. * **بررسی**: این گزاره تنها زمانی درست است که پایه $\mathbf{a > ۱}$ باشد. اگر $a = ۱۰$ و $x = ۰.۱$ باشد، $\log_{۱۰} ۰.۱ = -۱$ (منفی). اما اگر $a = \frac{۱}{۲}$ و $x = \frac{۱}{۴}$ باشد، $\log_{\frac{۱}{۲}} \frac{۱}{۴} = ۲$ (مثبت). * **نتیجه**: $\mathbf{\times}$ (بستگی به پایه دارد.) --- ### ۲. لگاریتم عدد منفی تعریف نمی‌شود. * **بررسی**: دامنه تابع لگاریتم $y = \log_{a} x$، فقط $\mathbf{x > ۰}$ است. لگاریتم اعداد منفی یا صفر، در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نمی‌شود. * **نتیجه**: $\mathbf{\checkmark}$ --- ### ۳. تابع لگاریتم، تابعی یک به یک است. * **بررسی**: تابع لگاریتم (چه صعودی باشد چه نزولی) تابعی **یکنوای اکید** است و آزمون خط افقی را می‌گذراند. * **نتیجه**: $\mathbf{\checkmark}$ --- ### ۴. تابع لگاریتم محور $y$ها را قطع می‌کند. * **بررسی**: محور $y$ها خط $x = ۰$ است. چون $x = ۰$ در دامنه $(۰, \infty)$ تابع لگاریتم قرار ندارد، نمودار آن محور $y$ها را **قطع نمی‌کند**. محور $y$ها مجانب عمودی تابع لگاریتم است. * **نتیجه**: $\mathbf{\times}$ --- ### ۵. اگر نقطه $(b, d)$ روی نمودار $y=a^x$ قرار داشته باشد، آن‌گاه نقطه $(d, b)$ روی نمودار $y = \log_{a} x$ قرار دارد. * **بررسی**: تابع لگاریتم ($y = \log_{a} x$) **وارون** تابع نمایی ($y = a^x$) است. اگر $(b, d)$ روی $f$ باشد، آنگاه $(d, b)$ روی $f^{-۱}$ (لگاریتم) خواهد بود. * **نتیجه**: $\mathbf{\checkmark}$ --- ### ۶. اگر $\log_{a} b < \log_{a} c$ آن‌گاه $b > c$ ($۰ < a < ۱$). * **بررسی**: وقتی $\mathbf{۰ < a < ۱}$ باشد، تابع لگاریتم $\mathbf{نزولی \text{است}}$. * **قانون**: در توابع نزولی، جهت نامساوی در خروجی‌ها (لگاریتم‌ها) **برعکس** جهت نامساوی در ورودی‌ها (عبارت‌های لگاریتمی) است. * **نتیجه**: $\log_{a} b < \log_{a} c \implies \mathbf{b > c}$. * **نتیجه**: $\mathbf{\checkmark}$