حل تمرین صفحه 6 ریاضی هفتم

برای حل این مسئله از راهبرد «حدس و آزمایش» استفاده می‌کنیم. هدف ما پیدا کردن ترکیبی از دوچرخه و سه‌چرخه است که مجموعاً ۲۰ دستگاه شده و ۴۵ چرخ داشته باشند. 🚲 ۱. **حدس اول (طبق راهنمایی مسئله)**: - فرض می‌کنیم ۱۰ دوچرخه و ۱۰ سه‌چرخه وجود دارد. - **بررسی تعداد وسایل**: $۱۰ + ۱۰ = ۲۰$ (این شرط برقرار است). - **بررسی تعداد چرخ‌ها**: $(۱۰ \times ۲) + (۱۰ \times ۳) = ۲۰ + ۳۰ = ۵۰$ چرخ. ۲. **تحلیل نتیجه**: تعداد چرخ‌های محاسبه شده (۵۰) از تعداد چرخ‌های واقعی (۴۵) **بیشتر** است. ما $۵۰ - ۴۵ = ۵$ چرخ اضافه داریم. ۳. **اصلاح حدس**: برای کم کردن تعداد کل چرخ‌ها، باید از تعداد وسیله‌ای که چرخ بیشتری دارد (سه‌چرخه) کم کنیم و به تعداد وسیله‌ای که چرخ کمتری دارد (دوچرخه) اضافه کنیم. با جایگزین کردن هر یک سه‌چرخه با یک دوچرخه، تعداد کل چرخ‌ها یک عدد کم می‌شود ($۳ - ۲ = ۱$). - چون ما ۵ چرخ اضافه داریم، باید ۵ سه‌چرخه را با ۵ دوچرخه جایگزین کنیم. ۴. **حدس دوم (حدس اصلاح شده)**: - تعداد دوچرخه‌ها: $۱۰ + ۵ = ۱۵$ - تعداد سه‌چرخه‌ها: $۱۰ - ۵ = ۵$ ۵. **آزمایش حدس دوم**: - **بررسی تعداد وسایل**: $۱۵ + ۵ = ۲۰$ (شرط برقرار است). - **بررسی تعداد چرخ‌ها**: $(۱۵ \times ۲) + (۵ \times ۳) = ۳۰ + ۱۵ = ۴۵$ چرخ (شرط برقرار است). بنابراین، در توقفگاه **۱۵ دوچرخه** و **۵ سه‌چرخه** وجود دارد. باید تعداد دوچرخه‌ها را بیشتر کرد، زیرا حدس اولیه ما منجر به تعداد چرخ‌های بیشتری از مقدار واقعی شد.

برای حل این مسئله، از تعریف زاویه‌های متمم و تشکیل معادله استفاده می‌کنیم. ۱. **تعریف زاویه‌های متمم**: دو زاویه زمانی متمم هستند که مجموع اندازه‌ی آنها برابر $۹۰$ درجه باشد. ۲. **تعریف متغیرها**: فرض کنیم اندازه زاویه کوچک‌تر برابر $x$ باشد. طبق صورت مسئله، زاویه بزرگ‌تر ۳ برابر آن است، پس اندازه آن $۳x$ خواهد بود. ۳. **تشکیل معادله**: چون این دو زاویه متمم هستند، مجموع آنها باید $۹۰$ درجه باشد: $$x + ۳x = ۹۰$$ ۴. **حل معادله**: - ابتدا عبارت‌های متشابه را با هم جمع می‌کنیم: $$۴x = ۹۰$$ - حالا طرفین معادله را بر ۴ تقسیم می‌کنیم تا $x$ را به دست آوریم: $$x = \frac{۹۰}{۴} = ۲۲.۵$$ - پس، اندازه زاویه کوچک‌تر $۲۲.۵$ درجه است. ۵. **محاسبه زاویه بزرگ‌تر**: - اندازه زاویه بزرگ‌تر $۳x$ بود: $$۳ \times ۲۲.۵ = ۶۷.۵$$ - پس، اندازه زاویه بزرگ‌تر $۶۷.۵$ درجه است. ۶. **بررسی پاسخ**: برای اطمینان، دو زاویه را با هم جمع می‌کنیم: $۲۲.۵ + ۶۷.۵ = ۹۰$ درجه. پاسخ صحیح است. بنابراین، اندازه دو زاویه **$۲۲.۵$** و **$۶۷.۵$** درجه می‌باشد.

برای پیدا کردن عدد داخل مربع، از روش «حدس و آزمایش» که در سؤال پیشنهاد شده، استفاده می‌کنیم. ۱. **حدس اول (شروع با ۱۰)**: - عدد ۱۰ را در مربع قرار می‌دهیم و عبارت را محاسبه می‌کنیم: $$۳ \times ۱۰ + ۱۰ = ۳۰ + ۱۰ = ۴۰$$ ۲. **تحلیل نتیجه**: حاصل به دست آمده (۴۰) از عدد مورد نظر در معادله (۳۱) **بزرگ‌تر** است. ۳. **جهت حدس بعدی**: برای اینکه حاصل عبارت کوچک‌تر شود، باید عددی که در ۳ ضرب می‌شود نیز کوچک‌تر باشد. بنابراین، **حدس بعدی ما باید کمتر از ۱۰ باشد**. ۴. **حدس دوم (عددی کمتر از ۱۰)**: - بیایید عدد ۷ را امتحان کنیم: $$۳ \times ۷ + ۱۰ = ۲۱ + ۱۰ = ۳۱$$ ۵. **نتیجه‌گیری**: حاصل برابر با ۳۱ شد که همان عدد مورد نظر در معادله است. پس عدد صحیح **۷** است. **روش جبری (راه حل مستقیم)**: می‌توان این معادله را به صورت معکوس نیز حل کرد: - معادله: $۳ \times 🟦 + ۱۰ = ۳۱$ - ابتدا ۱۰ را از حاصل کم می‌کنیم: $۳۱ - ۱۰ = ۲۱$ - حالا باید ببینیم چه عددی ضرب در ۳ برابر ۲۱ می‌شود: $۲۱ \div ۳ = ۷$ - بنابراین عدد داخل مربع **۷** است.