تمرین ۱ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
۱. به کمک تعریف تابع جزء صحیح و با استفاده از محور زیر حاصل عبارت‌های زیر را به دست آورید.
$$\lfloor 4/2 \rfloor = \dots \quad \lfloor -4/2 \rfloor = \dots \quad \lfloor 3.99 \rfloor = \dots$$
$$\lfloor -1/2 \rfloor = \dots \quad \lfloor -2 \rfloor = \dots \quad \lfloor \pi \rfloor = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
همانطور که می‌دانید، **جزء صحیح** یک عدد ($\\lfloor \text{x} \rfloor$) برابر با **بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی** آن عدد است. در محور اعداد، جزء صحیح $\text{x}$ همان عدد صحیحی است که در **سمت چپ** $\text{x}$ قرار دارد (یا خود $\text{x}$ اگر صحیح باشد).
### محاسبه جزء صحیح:
1. **$\mathbf{\lfloor 4/2 \rfloor}$:**
* $\mathbf{4.2}$ بین $4$ و $5$ است.
* عدد صحیح سمت چپ: $\mathbf{4}$
$$\mathbf{\lfloor 4/2 \rfloor = 4}$$
2. **$\mathbf{\lfloor -4/2 \rfloor}$:**
* $\mathbf{-4.2}$ بین $\mathbf{-5}$ و $\mathbf{-4}$ است.
* عدد صحیح سمت چپ: $\mathbf{-5}$
$$\mathbf{\lfloor -4/2 \rfloor = -5}$$
3. **$\mathbf{\lfloor 3.99 \rfloor}$:**
* $\mathbf{3.99}$ بین $3$ و $4$ است.
* عدد صحیح سمت چپ: $\mathbf{3}$
$$\mathbf{\lfloor 3.99 \rfloor = 3}$$
4. **$\mathbf{\lfloor -1/2 \rfloor}$:**
* $\mathbf{-0.5}$ بین $\mathbf{-1}$ و $\mathbf{0}$ است.
* عدد صحیح سمت چپ: $\mathbf{-1}$
$$\mathbf{\lfloor -1/2 \rfloor = -1}$$
5. **$\mathbf{\lfloor -2 \rfloor}$:**
* $\mathbf{-2}$ خودش یک عدد صحیح است.
* جزء صحیح هر عدد صحیح، خود آن عدد است: $\mathbf{-2}$
$$\mathbf{\lfloor -2 \rfloor = -2}$$
6. **$\mathbf{\lfloor \pi \rfloor}$:**
* می‌دانیم $\mathbf{\pi \approx 3.14}$.
* $\mathbf{3.14}$ بین $3$ و $4$ است.
* عدد صحیح سمت چپ: $\mathbf{3}$
$$\mathbf{\lfloor \pi \rfloor = 3}$$
تمرین ۲ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
۲. با توجه به تعریف تابع جزء صحیح، جدول زیر را کامل کنید.
| ضابطه تابع | مقدار $\text{x}$ | مقدار $\text{f}(\text{x})$ |
|:---:|:---:|:---:|
| $\text{f}(\text{x}) = \lfloor \text{x} \rfloor$ | $\text{x} = -2/3$ | $\dots$ |
| | $\text{x} = 5$ | $\dots$ |
| $\text{f}(\text{x}) = \lfloor -\text{x} \rfloor$ | $\text{x} = 1/7$ | $\dots$ |
| | $\text{x} = 2/3$ | $\dots$ |
| $\text{f}(\text{x}) = \lfloor \text{x} \rfloor + \lfloor -\text{x} \rfloor$ | $\text{x} = 1$ | $\dots$ |
| | $\text{x} = 1/3$ | $\dots$ |
| | $\text{x} = 1/7$ | $\dots$ |
| | $\text{x} = 2$ | $\dots$ |
| $\text{f}(\text{x}) = \lfloor 2\text{x} \rfloor$ | $\text{x} = 1$ | $\dots$ |
| | $\text{x} = 0/2$ | $\dots$ |
| | $\text{x} = 1/3$ | $\dots$ |
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
در این تمرین، ما باید مقادیر توابع مختلف شامل **جزء صحیح** را محاسبه کنیم. همیشه ابتدا مقدار داخل نماد جزء صحیح را محاسبه کنید و سپس جزء صحیح آن را به دست آورید.
### الف) $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \lfloor \text{x} \rfloor}$ (تابع جزء صحیح)
1. **$\mathbf{\text{x} = -2/3 \approx -0.66}$:**
$$\text{f}\left(-\frac{2}{3}\right) = \left\lfloor -0.66 \right\rfloor = \mathbf{-1}$$
2. **$\mathbf{\text{x} = 5}$:**
$$\text{f}(5) = \lfloor 5 \rfloor = \mathbf{5}$$
### ب) $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \lfloor -\text{x} \rfloor}$
1. **$\mathbf{\text{x} = 1/7 \approx 0.14}$:**
$$\text{f}\left(\frac{1}{7}\right) = \left\lfloor -\frac{1}{7} \right\rfloor = \lfloor -0.14 \rfloor = \mathbf{-1}$$
2. **$\mathbf{\text{x} = 2/3 \approx 0.66}$:**
$$\text{f}\left(\frac{2}{3}\right) = \left\lfloor -\frac{2}{3} \right\rfloor = \lfloor -0.66 \rfloor = \mathbf{-1}$$
### پ) $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \lfloor \text{x} \rfloor + \lfloor -\text{x} \rfloor}$ (خاصیت مهم)
**نکته کلیدی:** مقدار این عبارت همیشه $\mathbf{0}$ یا $\mathbf{-1}$ است:
* اگر $\mathbf{\text{x} \in \mathbb{Z}}$ ($\text{x}$ صحیح باشد): $\mathbf{\lfloor \text{x} \rfloor + \lfloor -\text{x} \rfloor = \text{x} + (-\text{x}) = 0}$
* اگر $\mathbf{\text{x} \notin \mathbb{Z}}$ ($\text{x}$ صحیح نباشد): $\mathbf{\lfloor \text{x} \rfloor + \lfloor -\text{x} \rfloor = -1}$
1. **$\mathbf{\text{x} = 1}$ (صحیح):**
$$\text{f}(1) = \lfloor 1 \rfloor + \lfloor -1 \rfloor = 1 + (-1) = \mathbf{0}$$
2. **$\mathbf{\text{x} = 1/3}$ (غیرصحیح):**
$$\text{f}\left(\frac{1}{3}\right) = \left\lfloor \frac{1}{3} \right\rfloor + \left\lfloor -\frac{1}{3} \right\rfloor = 0 + (-1) = \mathbf{-1}$$
3. **$\mathbf{\text{x} = 1/7}$ (غیرصحیح):**
$$\text{f}\left(\frac{1}{7}\right) = \left\lfloor \frac{1}{7} \right\rfloor + \left\lfloor -\frac{1}{7} \right\rfloor = 0 + (-1) = \mathbf{-1}$$
4. **$\mathbf{\text{x} = 2}$ (صحیح):**
$$\text{f}(2) = \lfloor 2 \rfloor + \lfloor -2 \rfloor = 2 + (-2) = \mathbf{0}$$
### ت) $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \lfloor 2\text{x} \rfloor}$
1. **$\mathbf{\text{x} = 1}$:**
$$\text{f}(1) = \lfloor 2 \times 1 \rfloor = \lfloor 2 \rfloor = \mathbf{2}$$
2. **$\mathbf{\text{x} = 0.2}$:**
$$\text{f}(0.2) = \lfloor 2 \times 0.2 \rfloor = \lfloor 0.4 \rfloor = \mathbf{0}$$
3. **$\mathbf{\text{x} = 1/3}$:**
$$\text{f}\left(\frac{1}{3}\right) = \left\lfloor 2 \times \frac{1}{3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{2}{3} \right\rfloor = \lfloor 0.66 \rfloor = \mathbf{0}$$
تمرین ۳ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
۳. جدول مالیاتی زیر را که توسط هیئت مدیره یک شرکت برای سال جدید مالی آماده و تصویب شده است، در نظر بگیرید:
| حقوق ماهیانه (تومان) | نرخ مالیات (درصد) |
|:---:|:---:|
| حقوق تا $\mathbf{1,300,000}$ تومان | معاف از مالیات |
| مازاد بر $\mathbf{1,300,000}$ تا $\mathbf{2,500,000}$ تومان | $\mathbf{10}$ |
| مازاد بر $\mathbf{2,500,000}$ تا $\mathbf{4,500,000}$ تومان | $\mathbf{15}$ |
| مازاد بر $\mathbf{4,500,000}$ تومان | $\mathbf{25}$ |
الف. نمودار پلکانی متناظر با جدول مالیاتی را رسم کنید.
ب. به کمک نمودار پلکانی و محاسبه سطح متناظر با هر یک از حقوق‌های ماهیانه، مبلغ مالیات هر کدام از کارمندان زیر را محاسبه کنید.
* کارمندی با حقوق $\mathbf{1,700,000}$ تومان
* کارمندی با حقوق $\mathbf{2,400,000}$ تومان
* کارمندی با حقوق $\mathbf{6,000,000}$ تومان
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
این تمرین یک مثال کاربردی از تابع **چندضابطه‌ای** برای محاسبهٔ مالیات بر اساس درآمد (مالیات تصاعدی) است. برای محاسبه مالیات، باید مبلغ حقوق در هر سطح، در نرخ مالیات همان سطح ضرب شود و سپس جمع گردد.
### الف. نمودار پلکانی متناظر با جدول مالیاتی
* **محور $\mathbf{x}$ (افقی):** حقوق ماهیانه (تومان)
* **محور $\mathbf{y}$ (عمودی):** نرخ مالیات (درصد)
نمودار به صورت زیر رسم می‌شود (توجه کنید که این نمودار، **نرخ مالیات** را نشان می‌دهد نه **مبلغ مالیات**):
| حقوق ماهیانه ($\mathbf{\text{x}}$) | نرخ مالیات ($\mathbf{\text{y}}$) |
|:---:|:---:|
| $\mathbf{0 < \text{x} \le 1,300,000}$ | $\mathbf{0}$% (معاف) |
| $\mathbf{1,300,000 < \text{x} \le 2,500,000}$ | $\mathbf{10}$% |
| $\mathbf{2,500,000 < \text{x} \le 4,500,000}$ | $\mathbf{15}$% |
| $\mathbf{\text{x} > 4,500,000}$ | $\mathbf{25}$% |
* **توصیف نمودار:** یک تابع پلکانی صعودی است. در هر مرحله، نرخ مالیات (ارتفاع پله) افزایش می‌یابد. در نقاط تغییر نرخ (مانند $\mathbf{1.3 \times 10^6}$)، نقطهٔ سمت چپ (پایین) **پر** و نقطهٔ سمت راست (بالا) **توخالی** است، زیرا نرخ مالیات از مازاد بر مبلغ قبلی محاسبه می‌شود.
### ب. محاسبه مبلغ مالیات (محاسبه سطح زیر نمودار)
**۱. کارمندی با حقوق $\mathbf{1,700,000}$ تومان:**
* $\mathbf{1,300,000}$ تومان اول: **معاف** (مالیات $= 0$)
* $\mathbf{400,000}$ تومان مازاد ($\mathbf{1,700,000 - 1,300,000}$): مشمول نرخ $\mathbf{10}$%.
$$\text{مالیات} = 400,000 \times \frac{10}{100} = \mathbf{40,000 \text{ تومان}}$$
**۲. کارمندی با حقوق $\mathbf{2,400,000}$ تومان:**
* $\mathbf{1,300,000}$ تومان اول: **معاف** (مالیات $= 0$)
* $\mathbf{1,100,000}$ تومان مازاد ($\mathbf{2,400,000 - 1,300,000}$): مشمول نرخ $\mathbf{10}$%.
$$\text{مالیات} = 1,100,000 \times \frac{10}{100} = \mathbf{110,000 \text{ تومان}}$$
**۳. کارمندی با حقوق $\mathbf{6,000,000}$ تومان:**
این محاسبه شامل تمام سطوح است:
* **سطح ۱: $\mathbf{1,300,000}$ تومان اول:** معاف (مالیات $= 0$)
* **سطح ۲: $\mathbf{1,200,000}$ تومان بعدی ($\mathbf{2,500,000 - 1,300,000}$):** مشمول نرخ $\mathbf{10}$%.
$$\text{مالیات}_2 = 1,200,000 \times 0.10 = 120,000$$
* **سطح ۳: $\mathbf{2,000,000}$ تومان بعدی ($\mathbf{4,500,000 - 2,500,000}$):** مشمول نرخ $\mathbf{15}$%.
$$\text{مالیات}_3 = 2,000,000 \times 0.15 = 300,000$$
* **سطح ۴: $\mathbf{1,500,000}$ تومان مازاد ($\mathbf{6,000,000 - 4,500,000}$):** مشمول نرخ $\mathbf{25}$%.
$$\text{مالیات}_4 = 1,500,000 \times 0.25 = 375,000$$
$$\text{مالیات کل} = 0 + 120,000 + 300,000 + 375,000 = \mathbf{795,000 \text{ تومان}}$$
| حقوق ماهیانه (تومان) | مبلغ مالیات (تومان) |
|:---:|:---:|
| $\mathbf{1,700,000}$ | $\mathbf{40,000}$ |
| $\mathbf{2,400,000}$ | $\mathbf{110,000}$ |
| $\mathbf{6,000,000}$ | $\mathbf{795,000}$ |
تمرین ۴ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
۴. با توجه به نمودارهای زیر، کدام نمودار، تابع $\text{الف}$ و کدام نمودار، تابع $\text{ب}$ را مشخص می‌کند؟ چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟
**نمودار اول:**
الف) $\text{y} = |\text{x}| + 2$
ب) $\text{y} = |\text{x}| - 3$
(تصویر: دو نمودار $\mathbf{V}$-شکل با راس‌های $(athbf{0}, \mathbf{2})$ و $(athbf{0}, \mathbf{-2})$)
**نمودار دوم:**
الف) $\text{y} = |\text{x} + 1|$
ب) $\text{y} = |\text{x} - 4|$
(تصویر: دو نمودار $\mathbf{V}$-شکل با راس‌های $(athbf{-1}, \mathbf{0})$ و $(athbf{4}, \mathbf{0})$)
**نمودار سوم:**
الف) $\text{y} = -|\text{x}|$
ب) $\text{y} = -|\text{x} + 1|$
(تصویر: دو نمودار $\mathbf{\Lambda}$-شکل با راس‌های $(athbf{0}, \mathbf{0})$ و $(athbf{-1}, \mathbf{0})$)
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
این تمرین بر روی مفهوم **انتقال (جابه‌جایی)** نمودار **تابع قدر مطلق** تمرکز دارد. برای توابع قدر مطلقی به شکل $\mathbf{\text{y} = \pm |\text{x} - \text{h}| + \text{k}}$، **رأس نمودار** نقطهٔ $(\mathbf{\text{h}}, \mathbf{\text{k}})$ است.
### ۱. مقایسه نمودار اول (انتقال عمودی)
* **تابع $\text{الف}$: $\mathbf{\text{y} = |\text{x}| + 2}$**
* **رأس:** $(athbf{0}, \mathbf{2})$. (انتقال ۲ واحد به بالا)
* **نمودار متناظر:** نمودار سمت چپ که رأس آن $(athbf{0}, \mathbf{2})$ است.
* **تابع $\text{ب}$: $\mathbf{\text{y} = |\text{x}| - 3}$**
* **رأس:** $(athbf{0}, \mathbf{-3})$. (انتقال ۳ واحد به پایین)
* **نمودار متناظر:** نمودار سمت راست که رأس آن $(athbf{0}, \mathbf{-3})$ است (در تصویر، رأس در $\mathbf{(0, -2)}$ است، اما با فرض مطابقت با ضابطه: $(\mathbf{0}, \mathbf{-3})$).
---
### ۲. مقایسه نمودار دوم (انتقال افقی)
* **تابع $\text{الف}$: $\mathbf{\text{y} = |\text{x} + 1|}$**
* **رأس:** $\text{x} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{x} = -1}$. رأس: $(athbf{-1}, \mathbf{0})$. (انتقال ۱ واحد به چپ)
* **نمودار متناظر:** نمودار سمت چپ که رأس آن $(athbf{-1}, \mathbf{0})$ است.
* **تابع $\text{ب}$: $\mathbf{\text{y} = |\text{x} - 4|}$**
* **رأس:** $\text{x} - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{x} = 4}$. رأس: $(athbf{4}, \mathbf{0})$. (انتقال ۴ واحد به راست)
* **نمودار متناظر:** نمودار سمت راست که رأس آن $(athbf{4}, \mathbf{0})$ است.
---
### ۳. مقایسه نمودار سوم (انتقال و بازتاب)
* **توابع با علامت منفی قبل از قدر مطلق (مثلاً $\mathbf{y = -|x|}$):** این توابع به جای $\mathbf{V}$-شکل، به شکل $\mathbf{\Lambda}$ (دهانه رو به پایین) هستند.
* **تابع $\text{الف}$: $\mathbf{\text{y} = -|\text{x}|}$**
* **رأس:** $(athbf{0}, \mathbf{0})$. (بازتاب نسبت به محور $\text{x}$)
* **نمودار متناظر:** نمودار سمت چپ که رأس آن $(athbf{0}, \mathbf{0})$ است.
* **تابع $\text{ب}$: $\mathbf{\text{y} = -|\text{x} + 1|}$**
* **رأس:** $\text{x} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{x} = -1}$. رأس: $(athbf{-1}, \mathbf{0})$. (انتقال ۱ واحد به چپ و بازتاب)
* **نمودار متناظر:** نمودار سمت راست که رأس آن $(athbf{-1}, \mathbf{0})$ است.
---
### نتیجه‌گیری
**نتیجه‌ای که می‌گیریم:**
1. **انتقال عمودی:** اگر عددی خارج از قدر مطلق $\mathbf{(\mathbf{k})}$ به تابع اضافه/کم شود ($\\text{y} = |\text{x}| + \text{k}$)، نمودار $\mathbf{\text{k}}$ واحد در راستای محور $\mathbf{y}$ **(بالا/پایین)** جابه‌جا می‌شود.
2. **انتقال افقی:** اگر عددی داخل قدر مطلق از $\mathbf{\text{x}}$ کم/زیاد شود ($\\text{y} = |\text{x} - \text{h}|$)، نمودار $\mathbf{\text{h}}$ واحد در خلاف جهت علامت (مثلاً $\mathbf{x}-4$ به **راست**) جابه‌جا می‌شود.
3. **بازتاب:** اگر علامت پشت قدر مطلق $\mathbf{منفی}$ باشد ($\\text{y} = -|\text{x}|$)، نمودار نسبت به محور $\mathbf{x}$ بازتاب می‌یابد (دهانه آن رو به پایین می‌شود).
تمرین ۵ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
۵. نمودار توابع زیر را رسم کنید.
الف) $\text{y} = |2\text{x} - 3|$
ب) $\text{y} = |3\text{x} + 1|$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
برای رسم نمودار توابعی که ضریب $\mathbf{\text{x}}$ داخل قدر مطلق، $\mathbf{1}$ نیست، دو راه وجود دارد: **روش چندضابطه‌ای** و **روش تغییر مقیاس (شیب)**.
### الف) $\mathbf{\text{y} = |2\text{x} - 3|}$
**روش اول: چندضابطه‌ای کردن (تغییر ضابطه در نقطه رأس):**
1. **یافتن رأس (نقطه عطف):** عبارت داخل قدر مطلق را صفر قرار می‌دهیم: $2\text{x} - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{x} = 3/2 = 1.5}$. رأس تابع $(athbf{1.5}, athbf{0})$ است.
2. **ضابطهٔ چپ ($\mathbf{\text{x} < 1.5}$):** عبارت داخل قدر مطلق منفی است، پس با تغییر علامت از قدر مطلق خارج می‌شود:
$$\mathbf{\text{y} = -(2\text{x} - 3) = -2\text{x} + 3}$$
3. **ضابطهٔ راست ($\mathbf{\text{x} \ge 1.5}$):** عبارت داخل قدر مطلق مثبت است، پس بدون تغییر علامت از قدر مطلق خارج می‌شود:
$$\mathbf{\text{y} = 2\text{x} - 3}$$
4. **رسم:** یک تابع $\mathbf{V}$-شکل که از $(athbf{1.5}, athbf{0})$ شروع می‌شود. شیب شاخهٔ راست $\mathbf{+2}$ و شیب شاخهٔ چپ $\mathbf{-2}$ است (نمودار نسبت به $\mathbf{y = |x|}$ فشرده‌تر است).
---
### ب) $\mathbf{\text{y} = |3\text{x} + 1|}$
**روش دوم: تبدیل به ضریب $\mathbf{1}$ و انتقال (بهترین راه):**
1. **یافتن رأس:** عبارت داخل قدر مطلق را صفر قرار می‌دهیم: $3\text{x} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{x} = -1/3}$. رأس تابع $(athbf{-1/3}, athbf{0})$ است.
2. **ضابطهٔ چپ ($\mathbf{\text{x} < -1/3}$):** عبارت داخل قدر مطلق منفی است.
$$\mathbf{\text{y} = -(3\text{x} + 1) = -3\text{x} - 1}$$
3. **ضابطهٔ راست ($\mathbf{\text{x} \ge -1/3}$):** عبارت داخل قدر مطلق مثبت است.
$$\mathbf{\text{y} = 3\text{x} + 1}$$
4. **رسم:** یک تابع $\mathbf{V}$-شکل که از $(athbf{-1/3}, athbf{0})$ شروع می‌شود. شیب شاخهٔ راست $\mathbf{+3}$ و شیب شاخهٔ چپ $\mathbf{-3}$ است (نمودار نسبت به $\mathbf{y = |x|}$ بسیار فشرده‌تر است).
**تذکر:** نمودار $\mathbf{\text{y} = |\text{ax} + \text{b}|}$ یک $\mathbf{V}$-شکل با رأس $(athbf{-\text{b}/\text{a}}, \mathbf{0})$ است. شیب شاخه‌ها $\mathbf{+\text{a}}$ و $\mathbf{-\text{a}}$ هستند.
تمرین ۶ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
۶. با توجه به نمودار:
الف. شرایط تحویل ندادن به موقع پروژه میان پیمانکار و وزارت راه را بیان کنید.
ب. به کمک نقاط مندرج در نمودار، ضابطه هریک از نیم‌خط‌ها با شیب مثبت و منفی را به دست آورید.
ج. به کمک تعریف تابع قدر مطلق، دو ضابطه را با یک ضابطه بیان کنید.
د. شیب خط در تابع به دست آمده در قرارداد میان پیمانکار و وزارت راه چه معنایی دارد؟ افزایش شیب خط به چه معناست؟
تصویر: نمودار تابع قدر مطلق با رأس $(athbf{-1}, \mathbf{0})$. محور افقی ($\\text{x}$) زمان تحویل را بر حسب ماه از **دی ماه ۹۵** نشان می‌دهد و محور عمودی ($\\text{y}$) نرخ جریمه را بر حسب میلیون تومان نشان می‌دهد. نقاط مرجع: $(athbf{-4}, \mathbf{3})$ و $(athbf{2}, \mathbf{3})$ (نقاط پایانی).
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۴۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
این تمرین نسخهٔ تغییر یافته‌ای از تمرین صفحه ۴۱ است. در اینجا، **زمان تحویل مقرر** (جریمه صفر) در $\mathbf{\text{x} = -1}$ (یعنی یک ماه قبل از دی ۹۵) قرار دارد.
---
## الف. شرایط تحویل پروژه
* **زمان تحویل مقرر (جریمه صفر):** $\mathbf{\text{x} = -1}$ (یعنی یک ماه قبل از دی ۹۵).
* **دامنهٔ جریمه‌ها:** نمودار در بازهٔ $\mathbf{-4 \le \text{x} \le 2}$ تعریف شده است.
**شرایط تحویل ندادن به موقع:**
1. **تحویل زودهنگام ($\mathbf{-4 \le \text{x} < -1}$):** پیمانکار زودتر از موعد مقرر تحویل داده است، اما همچنان جریمه (یا کسر دستمزد) می‌شود. حداکثر جریمه در $\mathbf{4}$ ماه قبل از $\mathbf{\text{x} = -1}$ (یعنی در $\mathbf{x=-4}$) اتفاق می‌افتد.
2. **تحویل دیرهنگام ($\mathbf{-1 < \text{x} \le 2}$):** پیمانکار دیرتر از موعد مقرر تحویل داده است و جریمه می‌شود. حداکثر تأخیر ۲ ماه بعد از $\mathbf{\text{x} = -1}$ (یعنی در $\mathbf{\text{x}=2}$) در نظر گرفته شده است.
---
## ب. ضابطه نیم‌خط‌ها
**راس تابع:** $(athbf{-1}, athbf{0})$.
### ۱. نیم‌خط با شیب منفی (سمت چپ): $-4 e ext{x} < -1$
* **نقاط:** $(athbf{-4}, \mathbf{3})$ و رأس $(athbf{-1}, \mathbf{0})$
* **شیب ($\mathbf{a}$):** $\text{a} = \frac{0 - 3}{-1 - (-4)} = \frac{-3}{3} = -1$
* **ضابطه ($\mathbf{y} = ext{ax} + ext{b}$):** با استفاده از نقطهٔ $(athbf{-1}, \mathbf{0})$:
$$0 = (-1)(-1) + \text{b} \quad \Rightarrow \quad 0 = 1 + \text{b} \quad \Rightarrow \quad \text{b} = -1$$
$$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = - ext{x} - 1} \quad \text{اگر } \mathbf{-4 \le \text{x} < -1}$$
### ۲. نیم‌خط با شیب مثبت (سمت راست): $-1 e ext{x} e 2$
* **نقاط:** رأس $(athbf{-1}, \mathbf{0})$ و $(athbf{2}, \mathbf{3})$
* **شیب ($\mathbf{a}$):** $\text{a} = \frac{3 - 0}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1$
* **ضابطه ($\mathbf{y} = ext{ax} + ext{b}$):** با استفاده از نقطهٔ $(athbf{-1}, \mathbf{0})$:
$$0 = (1)(-1) + \text{b} \quad \Rightarrow \quad 0 = -1 + \text{b} \quad \Rightarrow \quad \text{b} = 1$$
$$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = ext{x} + 1} \quad \text{اگر } \mathbf{-1 \le \text{x} \le 2}$$
---
## ج. بیان دو ضابطه با یک ضابطه (تابع قدر مطلق)
با توجه به اینکه $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = -(\text{x} + 1)}$ برای $\text{x} < -1$ و $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \text{x} + 1}$ برای $\text{x} \ge -1$، ضابطهٔ کلی این بخش همان تابع قدر مطلق است.
$$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = |\text{x} + 1|}$$
با در نظر گرفتن دامنهٔ کل:
$$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = |\text{x} + 1|} \quad \text{برای } \mathbf{-4 \le \text{x} \le 2}$$
---
## د. معنای شیب خط و افزایش آن
* **معنای شیب خط ($\mathbf{\pm 1}$):** شیب خط نشان‌دهندهٔ **نرخ ثابت جریمه** است. یعنی به ازای **هر واحد زمان انحراف** (ماه زودتر یا ماه دیرتر)، $\mathbf{1}$ میلیون تومان جریمه (یا کسر دستمزد) لحاظ می‌شود.
* **افزایش شیب خط (مثلاً از $\mathbf{\pm 1}$ به $\mathbf{\pm 2}$):** به این معناست که **نرخ جریمه در واحد زمان، افزایش یافته است.** یعنی پیمانکار در ازای یک ماه تأخیر یا زودتر تحویل دادن، مبلغ **بیشتری** را جریمه می‌شود. این امر باعث می‌شود که پیمانکار انگیزهٔ بیشتری برای تحویل دقیقاً در موعد مقرر داشته باشد (نمودار تندتر و $\mathbf{V}$ باریک‌تر می‌شود).
