پاسخ کاردرکلاس و فعالیت صفحه 67 ریاضی یازدهم

توابع $f$ و $g$ به صورت مجموعهٔ زوج‌های مرتب تعریف شده‌اند. برای انجام عملیات جبری، ابتدا دامنهٔ مشترک آن‌ها را پیدا می‌کنیم. ## ۱. تعیین دامنهٔ توابع اصلی و دامنهٔ مشترک $$\text{دامنهٔ } f: D_f = \{0, -3, 5\}$$ $$\text{دامنهٔ } g: D_g = \{0, 1, -3, 5\}$$ $$\text{دامنهٔ مشترک}: D_{f \cap g} = D_f \cap D_g = \{0, -3, 5\}$$ ## ۲. محاسبهٔ ضابطه و دامنهٔ توابع جدید ### الف) جمع $f+g$ $$ (f+g)(x) = f(x) + g(x) $$ $$\mathbf{D_{f+g}} = D_{f \cap g} = \mathbf{\{0, -3, 5\}}$$ * $x = 0$: $f(0) + g(0) = 5 + 2 = 7$ * $x = -3$: $f(-3) + g(-3) = 4 + \frac{2}{7} = \frac{28+2}{7} = \frac{30}{7}$ * $x = 5$: $f(5) + g(5) = 0 + (-4) = -4$ $$\mathbf{f+g} = \left\{(0, 7), (-3, \frac{30}{7}), (5, -4)\right\}$$ ### ب) تفاضل $f-g$ $$ (f-g)(x) = f(x) - g(x) $$ $$\mathbf{D_{f-g}} = D_{f \cap g} = \mathbf{\{0, -3, 5\}}$$ * $x = 0$: $f(0) - g(0) = 5 - 2 = 3$ * $x = -3$: $f(-3) - g(-3) = 4 - \frac{2}{7} = \frac{28-2}{7} = \frac{26}{7}$ * $x = 5$: $f(5) - g(5) = 0 - (-4) = 4$ $$\mathbf{f-g} = \left\{(0, 3), (-3, \frac{26}{7}), (5, 4)\right\}$$ ### پ) ضرب $f \cdot g$ $$ (f\cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) $$ $$\mathbf{D_{f\cdot g}} = D_{f \cap g} = \mathbf{\{0, -3, 5\}}$$ * $x = 0$: $f(0) \cdot g(0) = 5 \times 2 = 10$ * $x = -3$: $f(-3) \cdot g(-3) = 4 \times \frac{2}{7} = \frac{8}{7}$ * $x = 5$: $f(5) \cdot g(5) = 0 \times (-4) = 0$ $$\mathbf{f\cdot g} = \left\{(0, 10), (-3, \frac{8}{7}), (5, 0)\right\}$$ ### ت) تقسیم $\frac{f}{g}$ $$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$ $$\mathbf{D_{\frac{f}{g}}} = D_{f \cap g} - \{x \mid g(x) = 0\}$$ در $D_{f \cap g}$، مقدار $g(x)=0$ وجود ندارد ($g(0)=2, g(-3)=\frac{2}{7}, g(5)=-4$). $$\mathbf{D_{\frac{f}{g}}} = \mathbf{\{0, -3, 5\}}$$ * $x = 0$: $\frac{f(0)}{g(0)} = \frac{5}{2}$ * $x = -3$: $\frac{f(-3)}{g(-3)} = \frac{4}{2/7} = 14$ * $x = 5$: $\frac{f(5)}{g(5)} = \frac{0}{-4} = 0$ $$\mathbf{\frac{f}{g}} = \left\{(0, \frac{5}{2}), (-3, 14), (5, 0)\right\}$$ ### ث) تقسیم $\frac{g}{f}$ $$\left(\frac{g}{f}\right)(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$$ $$\mathbf{D_{\frac{g}{f}}} = D_{f \cap g} - \{x \mid f(x) = 0\}$$ در $D_{f \cap g}$, $f(x)=0$ فقط برای $x=5$ رخ می‌دهد ($f(5)=0$). $$\mathbf{D_{\frac{g}{f}}} = \{0, -3, 5\} - \{5\} = \mathbf{\{0, -3\}}$$ * $x = 0$: $\frac{g(0)}{f(0)} = \frac{2}{5}$ * $x = -3$: $\frac{g(-3)}{f(-3)} = \frac{2/7}{4} = \frac{2}{28} = \frac{1}{14}$ $$\mathbf{\frac{g}{f}} = \left\{(0, \frac{2}{5}), (-3, \frac{1}{14})\right\}$$

توابع داده شده: $f(x) = x^2 + 3x + 1$ و $g(x) = x - 3$. دامنهٔ هر دو تابع، مجموعهٔ اعداد حقیقی ($D_f = \mathbb{R}, D_g = \mathbb{R}$) است. دامنهٔ مشترک آن‌ها $D_{f \cap g} = \mathbb{R}$ است. --- ## ۱. محاسبهٔ ضابطه‌ها و دامنه‌ها | تابع | ضابطه $(f \diamond g)(x)$ | دامنه $D_{f \diamond g}$ | | :---: | :---: | :---: | | **$f+g$** | $f(x) + g(x) = (x^2 + 3x + 1) + (x - 3) = \mathbf{x^2 + 4x - 2}$ | $\mathbf{\mathbb{R}}$ | | **$f-g$** | $f(x) - g(x) = (x^2 + 3x + 1) - (x - 3) = \mathbf{x^2 + 2x + 4}$ | $\mathbf{\mathbb{R}}$ | | **$f\cdot g$** | $f(x) \cdot g(x) = (x^2 + 3x + 1)(x - 3) = x^3 - 3x^2 + 3x^2 - 9x + x - 3 = \mathbf{x^3 - 8x - 3}$ | $\mathbf{\mathbb{R}}$ | | **$\frac{f}{g}$** | $\frac{f(x)}{g(x)} = \mathbf{\frac{x^2 + 3x + 1}{x - 3}}$ | $\mathbb{R} - \{x \mid x - 3 = 0\} = \mathbf{\mathbb{R} - \{3\}}$ |

توابع داده شده: $u(x) = \sqrt{x + 1}$ و $v(x) = x - 1$. ## ۱. تعیین دامنه‌های اصلی * **دامنهٔ $u$**: عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد: $x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. $$D_u = [-1, +\infty)$$ * **دامنهٔ $v$**: تابع چندجمله‌ای است. $$D_v = \mathbb{R}$$ * **دامنهٔ مشترک**: $$D_{u \cap v} = D_u \cap D_v = [-1, +\infty)$$ --- ## ۲. محاسبهٔ ضابطه و دامنهٔ توابع جدید | تابع | ضابطه $(u \diamond v)(x)$ | دامنه $D_{u \diamond v}$ | | :---: | :---: | :---: | | **$u+v$** | $\mathbf{\sqrt{x + 1} + x - 1}$ | $D_{u \cap v} = \mathbf{[-1, +\infty)}$ | | **$u-v$** | $\mathbf{\sqrt{x + 1} - (x - 1)}$ | $D_{u \cap v} = \mathbf{[-1, +\infty)}$ | | **$u\cdot v$** | $\mathbf{(x - 1) \sqrt{x + 1}}$ | $D_{u \cap v} = \mathbf{[-1, +\infty)}$ | | **$\frac{u}{v}$** | $\mathbf{\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1}}$ | $D_{u \cap v} - \{x \mid v(x) = 0\} = [-1, +\infty) - \{1\} = \mathbf{[-1, 1) \cup (1, +\infty)}$ |

## الف) ضابطهٔ توابع $f$ و $g$ توابع $f$ (قرمز) و $g$ (آبی) هر دو خطی هستند ($y = mx + b$). **۱. تابع $f$ (قرمز)**: * **عرض از مبدأ ($b$)**: خط از $(0, 1)$ عبور می‌کند. پس $b_f = 1$. * **شیب ($m$)**: از $(0, 1)$ تا $(1, 3)$ حرکت می‌کند. $m_f = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2$. $$\mathbf{f(x) = 2x + 1}$$ **۲. تابع $g$ (آبی)**: * **عرض از مبدأ ($b$)**: خط از $(0, -2)$ عبور می‌کند. پس $b_g = -2$. * **شیب ($m$)**: از $(0, -2)$ تا $(2, 2)$ حرکت می‌کند. $m_g = \frac{2 - (-2)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$. $$\mathbf{g(x) = 2x - 2}$$ --- ## ب) ضابطهٔ توابع $f+g$ و $f-g$ **۱. ضابطهٔ $f+g$ (جمع)**: $$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (2x + 1) + (2x - 2) = \mathbf{4x - 1}$$ **۲. ضابطهٔ $f-g$ (تفاضل)**: $$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = (2x + 1) - (2x - 2) = 2x + 1 - 2x + 2 = \mathbf{3}$$

## پ) تکمیل جدول و رسم نمودارها توابع: $f(x) = 2x + 1$ و $g(x) = 2x - 2$. توابع جدید: $(f+g)(x) = 4x - 1$ و $(f-g)(x) = 3$. **۱. تکمیل جدول**: | $x$ | $0$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | | $f(x) = 2x + 1$ | $1$ | $3$ | | $g(x) = 2x - 2$ | $-2$ | $0$ | | $(f+g)(x) = 4x - 1$ | $-1$ | $3$ | | $(f-g)(x) = 3$ | $3$ | $3$ | **۲. رسم نمودارها**: * **$(f+g)(x) = 4x - 1$ (خطی)**: از نقاط $(0, -1)$ و $(1, 3)$ می‌گذرد (با شیب ۴). * **$(f-g)(x) = 3$ (ثابت)**: یک خط افقی در $y=3$. --- ## ت) جمع و تفریق توابع خطی **۱. جمع دو تابع خطی**: اگر $f(x) = a_1 x + b_1$ و $g(x) = a_2 x + b_2$ باشند، آنگاه: $$(f+g)(x) = (a_1 + a_2)x + (b_1 + b_2)$$ چون ضابطهٔ جدید به فرم $Ax + B$ است، **بله، جمع دو تابع خطی همیشه یک تابع خطی است**. **۲. تفریق دو تابع خطی**: $$(f-g)(x) = (a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)$$ **بله، تفریق دو تابع خطی نیز همیشه یک تابع خطی است**. $$\text{نکته}: \text{اگر شیب‌ها برابر باشند } (a_1 = a_2) \text{، تابع تفاضل } (f-g)(x) \text{، یک تابع **ثابت** خواهد بود، که نوعی تابع خطی با شیب صفر است.}$$