با توجه به نمونهٔ داده شده دقت کنید. با کمک نمودار پیکانی، وارون توابع داده شده را به دست آورید.
وارون یک تابع که با نمودار پیکانی نشان داده شده، با **معکوس کردن جهت فلش‌ها** به دست می‌آید. دامنه و برد وارون به ترتیب برابر با برد و دامنهٔ تابع اصلی است.
## ۱. تابع $s$:
$$\text{تابع } s: \{(1, 4), (2, 5), (3, 2), (4, 1)\}$$
$$\mathbf{s^{-1}}: \{(4, 1), (5, 2), (2, 3), (1, 4)\}$$
## ۲. تابع $t$:
$$\text{تابع } t: \{(1, 2), (2, 2), (3, 5), (4, 5)\}$$
$$\mathbf{t^{-1}}: \{(2, 1), (2, 2), (5, 3), (5, 4)\}$$
## ۳. تابع $u$:
$$\text{تابع } u: \{(1, 6), (2, 6), (3, 5), (4, 5)\}$$
$$\mathbf{u^{-1}}: \{(6, 1), (6, 2), (5, 3), (5, 4)\}$$
در جدول مقابل گزینه‌های درست را انتخاب کنید.
پ) عبارت زیر را کامل کنید:
$$\text{وارون تابع } f \text{، خود یک تابع است، هرگاه در زوج‌های مرتب تابع } f \text{ مؤلفه‌های } \dots \text{ تکراری وجود نداشته باشد.}$$
## ب) تعیین تابع بودن وارون‌ها
وارون یک تابع ($f^{-1}$) زمانی **خودش یک تابع است** که تابع اصلی ($f$) **یک به یک** باشد. یک تابع زمانی یک به یک است که هیچ دو زوج مرتب متفاوتی در آن دارای **مؤلفهٔ دوم یکسان** نباشند.
**۱. بررسی $s$**:
$$\text{تابع } s: \{(1, 4), (2, 5), (3, 2), (4, 1)\}$$
* مؤلفه‌های دوم: $4, 5, 2, 1$. (همه متفاوتند). پس $s$ یک به یک است.
* **نتیجه**: $s^{-1}$ **بله**، یک تابع است.
**۲. بررسی $t$**:
$$\text{تابع } t: \{(1, 2), (2, 2), (3, 5), (4, 5)\}$$
* مؤلفه‌های دوم تکراری: $2$ (برای $x=1, 2$) و $5$ (برای $x=3, 4$). پس $t$ یک به یک نیست.
* **نتیجه**: $t^{-1}$ **خیر**، یک تابع نیست (زیرا در $t^{-1}$، زوج‌های $(2, 1), (2, 2)$ و $(5, 3), (5, 4)$ داریم که تابع نیستند).
**۳. بررسی $u$**:
$$\text{تابع } u: \{(1, 6), (2, 6), (3, 5), (4, 5)\}$$
* مؤلفه‌های دوم تکراری: $6$ (برای $x=1, 2$) و $5$ (برای $x=3, 4$). پس $u$ یک به یک نیست.
* **نتیجه**: $u^{-1}$ **خیر**، یک تابع نیست (زیرا در $u^{-1}$، زوج‌های $(6, 1), (6, 2)$ و $(5, 3), (5, 4)$ داریم).
| | $s^{-1}$ یک تابع است | $t^{-1}$ یک تابع است | $u^{-1}$ یک تابع است |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| **انتخاب** | **بله** | **خیر** | **خیر** |
## پ) تکمیل عبارت
$$\text{وارون تابع } f \text{، خود یک تابع است، هرگاه در زوج‌های مرتب تابع } f \text{ مؤلفه‌های } \mathbf{\text{دوم}} \text{ تکراری وجود نداشته باشد.}$$
تابع $f = \{(1, 2), (-2, 2), (2, -1), (-1, 2)\}$ را در نظر بگیرید. تعیین کنید که این تابع یک به یک است یا خیر؟
یک تابع ($f$) زمانی **یک به یک** است که به ازای هر دو مؤلفهٔ اول متفاوت ($x_1 \neq x_2$)، مؤلفه‌های دوم متناظر آن‌ها نیز متفاوت باشند ($f(x_1) \neq f(x_2)$).
به عبارت ساده، هیچ مؤلفهٔ دومی نباید تکرار شده باشد.
**بررسی مؤلفه‌های دوم تابع $f$**:
$$\text{زوج‌های مرتب}: (1, \mathbf{2}), (-2, \mathbf{2}), (2, \mathbf{-1}), (-1, \mathbf{2})$$
مؤلفهٔ دوم **$2$** برای $x = 1, x = -2, x = -1$ تکرار شده است.
$$\text{نتیجه}: \text{این تابع **یک به یک نیست** (به دلیل تکرار مؤلفهٔ دوم } y=2 \text{).}$$
نمودارهای پیکانی زیر بیانگر تابع اثر انگشت و تابع گروه خونی علی و رضا است.
الف) مشخص کنید که کدام نمودار پیکانی مربوط به اثر انگشت و کدام نمودار پیکانی مربوط به گروه خونی است.
ب) آیا $f$ و $g$ هر دو تابع‌اند؟
پ) در مورد تابع بودن $f^{-1}$ و $g^{-1}$ چه می‌توان گفت؟
ت) کدام یک از دو تابع $f$ و $g$ یک به یک هستند؟
ث) عبارت‌های زیر را کامل کنید:
$$\text{با دانستن گروه خونی یک انسان، هویت او به طور یکتا تعیین } \dots$$
$$\text{با دانستن اثر انگشت یک انسان، هویت او به طور یکتا تعیین } \dots$$
## ۱. تحلیل نمودارها
**تابع $f$ (نمودار سمت چپ)**:
* دامنه: \{\text{علی، رضا}\}. برد: \{\dots\}
* هر شخص به یک ویژگی یکتا مرتبط شده است.
**تابع $g$ (نمودار سمت راست)**:
* دامنه: \{\text{علی، رضا}\}. برد: \{\dots\}
* هر دو شخص (علی و رضا) به یک ویژگی مشترک مرتبط شده‌اند (فلش‌ها به یک مقدار یکسان می‌روند).
## ۲. پاسخ به سؤالات
**الف) تطبیق با پدیده‌ها**
* **اثر انگشت**: هر شخص اثر انگشت **منحصر به فرد** دارد (تابع یک به یک). $\Rightarrow$ **تابع $f$ (چپ)** مربوط به اثر انگشت است.
* **گروه خونی**: چندین نفر می‌توانند گروه خونی **مشترک** داشته باشند (تابع غیر یک به یک). $\Rightarrow$ **تابع $g$ (راست)** مربوط به گروه خونی است.
**ب) تابع بودن $f$ و $g$**
بله، **هر دو $f$ و $g$ تابع هستند**، زیرا هر عنصر از دامنه (علی و رضا) دقیقاً به یک عنصر از برد مرتبط شده است.
**پ) تابع بودن $f^{-1}$ و $g^{-1}$**
* **$f^{-1}$**: چون $f$ یک به یک است (اثر انگشت)، $f^{-1}$ **یک تابع است**.
* **$g^{-1}$**: چون $g$ یک به یک نیست (گروه خونی)، $g^{-1}$ **یک تابع نیست**.
**ت) یک به یک بودن**
تابع **$f$** یک به یک است.
**ث) تکمیل عبارات**
$$\text{با دانستن گروه خونی یک انسان، هویت او به طور یکتا تعیین } \mathbf{\text{نمی‌شود.}} \text{ (زیرا گروه خونی مشترک است.)}$$
$$\text{با دانستن اثر انگشت یک انسان، هویت او به طور یکتا تعیین } \mathbf{\text{می‌شود.}} \text{ (زیرا اثر انگشت منحصر به فرد است.)}$$
