در دستگاه مختصات داده شده نمودار تابع $f$ رسم شده است.
الف) تابع $f$ را به صورت مجموعهٔ از زوجهای مرتب نمایش دهید.
ب) تابع $f^{-1}$ را به صورت مجموعهٔ از زوجهای مرتب نمایش دهید.
پ) در همین دستگاه مختصات، نمودار $f^{-1}$ را رسم کنید.
ت) نمودار $f$ و $f^{-1}$ چه ارتباطی با هم دارند؟
$$\text{نمودار } f \text{ و } f^{-1} \text{ نسبت به } \dots \text{ قرینهٔ یکدیگرند.}$$
## الف) نمایش تابع $f$ به صورت زوجهای مرتب
نقاط مشخص شده روی نمودار عبارتند از:
$$\text{نقاط } f: (1, 2), (2, 3), (3, 4)$$
$$f = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\}$$
---
## ب) نمایش تابع $f^{-1}$ به صورت زوجهای مرتب
وارون یک تابع با جابهجا کردن مؤلفههای اول و دوم هر زوج مرتب به دست میآید:
$$\text{نقاط } f^{-1}: (2, 1), (3, 2), (4, 3)$$
$$f^{-1} = \{(2, 1), (3, 2), (4, 3)\}$$
---
## پ) رسم نمودار $f^{-1}$
نقاط $(2, 1)$, $(3, 2)$, و $(4, 3)$ را در دستگاه مختصات مشخص میکنیم. این نقاط، نمودار $f^{-1}$ را تشکیل میدهند.
---
## ت) ارتباط نمودار $f$ و $f^{-1}$
با مشاهدهٔ نمودار، مشخص است که نمودار $f$ و $f^{-1}$ نسبت به خط $y = x$ (که همان خط چین صورتی در شکل است) قرینهٔ یکدیگرند.
$$\text{نمودار } f \text{ و } f^{-1} \text{ نسبت به } \mathbf{y = x} \text{ قرینهٔ یکدیگرند.}$$
الف) در هر مورد بیان کنید چرا نمودار داده شده معرف یک تابع است و سپس وارون آن را رسم کنید.
ب) عبارت زیر را کامل کنید:
$$\text{برای رسم نمودار وارون یک تابع کافی است قرینهٔ نمودار آن تابع را نسبت به } \dots \text{ رسم کنیم.}$$
در این قسمت دو نمودار با نقاط مجزا داده شده است.
## الف) بررسی تابع بودن و رسم وارون
**نمودار سمت چپ (نقاط: $(1, 3), (2, 4), (3, 4)$)**
* **چرا تابع است؟**: این نمودار معرف یک تابع است، زیرا هیچ دو زوج مرتبی دارای **مؤلفهٔ اول یکسان** نیستند (هیچ خط عمودی نمودار را در بیش از یک نقطه قطع نمیکند).
* **رسم وارون**:
$$\text{تابع } f: \{(1, 3), (2, 4), (3, 4)\}$$
$$\text{وارون } f^{-1}: \{(3, 1), (4, 2), (4, 3)\}$$
**نکته**: این وارون ($f^{-1}$) **تابع نیست**، زیرا $(4, 2)$ و $(4, 3)$ دارای مؤلفهٔ اول یکسان $4$ هستند.
**نمودار سمت راست (نقاط: $(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)$)**
* **چرا تابع است؟**: این نمودار معرف یک تابع است، زیرا هیچ دو زوج مرتبی دارای **مؤلفهٔ اول یکسان** نیستند (هیچ خط عمودی نمودار را در بیش از یک نقطه قطع نمیکند).
* **رسم وارون**:
$$\text{تابع } g: \{(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)\}$$
$$\text{وارون } g^{-1}: \{(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4)\}$$
**نکته**: این وارون ($g^{-1}$) **تابع نیست**، زیرا دارای مؤلفهٔ اول یکسان $0$ با مؤلفههای دوم متفاوت است.
---
## ب) تکمیل عبارت
$$\text{برای رسم نمودار وارون یک تابع کافی است قرینهٔ نمودار آن تابع را نسبت به } \mathbf{\text{خط } y = x} \text{ رسم کنیم.}$$
