آیا دو تابع با ضابطهٔ $f(x) = \frac{x^2}{x}$ و $g(x) = x$ با هم برابرند؟ چرا؟
دو تابع زمانی با هم برابرند که **هم دامنهٔ یکسان و هم ضابطهٔ یکسان** داشته باشند.
## ۱. بررسی دامنه
* **تابع $g(x) = x$**: تابع چندجمله‌ای است. دامنهٔ آن مجموعهٔ اعداد حقیقی است.
$$D_g = \mathbb{R}$$
* **تابع $f(x) = \frac{x^2}{x}$**: تابع گویا است. مقادیری که مخرج را صفر می‌کنند ($x=0$) باید حذف شوند.
$$D_f = \mathbb{R} - \{0\}$$
## ۲. بررسی ضابطه
* **ضابطهٔ $g(x)$**: $g(x) = x$.
* **ضابطهٔ $f(x)$**: با ساده‌سازی (برای $x \neq 0$): $f(x) = \frac{x^2}{x} = x$. (ضابطه‌ها برابرند.)
## ۳. نتیجه‌گیری
چون $D_g = \mathbb{R}$ و $D_f = \mathbb{R} - \{0\}$، **دامنهٔ دو تابع برابر نیست**.
$$\text{جواب}: \text{خیر، این دو تابع با هم برابر نیستند.}$$
$$\text{چرا}: \text{زیرا دامنهٔ آن‌ها یکسان نیست. } D_g = \mathbb{R} \text{، در حالی که } D_f = \mathbb{R} - \{0\} \text{ است.}$$
نمودار مقابل مربوط به کدام یک از توابع زیر است؟ مسئله چند جواب دارد؟
الف) $g(x) = 2x, \quad D_g = \mathbb{R}$
ب) $g(x) = 2x, \quad D_g = \mathbb{R} - \{2\}$
پ) $g(x) = 2x, \quad D_g = \mathbb{R} - \{1\}$
ت) $g(x) = \frac{2x^2 - 2x}{x - 1}, \quad D_g = \mathbb{R} - \{1\}$
ث) $g(x) = \frac{2x^2 - 4x}{x - 2}, \quad D_g = \mathbb{R} - \{2\}$
نمودار نشان داده شده یک **خط راست** است که از تمام نقاط عبور می‌کند، **به جز** نقطهٔ $(1, 2)$ که با یک دایرهٔ توخالی (حفره) مشخص شده است.
## ۱. بررسی ضابطه و شکل تابع
خط رسم شده دارای شیب $m = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2$ و عرض از مبدأ $0$ است. پس ضابطهٔ آن $y = 2x$ است.
## ۲. بررسی دامنه و حفرهٔ نمودار
نمودار نشان می‌دهد که تابع در $x = 1$ **تعریف نشده** است، بنابراین دامنهٔ تابع باید **$D = \mathbb{R} - \{1\}$** باشد. همچنین، مختصات نقطهٔ حفره $(1, 2)$ است.
## ۳. بررسی گزینه‌ها
* **الف، ب، پ**: این گزینه‌ها ضابطهٔ $g(x) = 2x$ دارند، اما هیچ حفره‌ای در $x=1$ ایجاد نمی‌کنند (مگر اینکه دامنه به صورت مصنوعی محدود شود). فقط گزینهٔ (پ) دامنهٔ صحیح دارد، اما چون $2(1) = 2$، نمودار $g(x) = 2x$ با $D_g = \mathbb{R} - \{1\}$ باید یک حفره در $(1, 2)$ داشته باشد.
* **ت) $g(x) = \frac{2x^2 - 2x}{x - 1}, \quad D_g = \mathbb{R} - \{1\}$**:
* **دامنه**: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. پس $D_g = \mathbb{R} - \{1\}$. (صحیح است).
* **ضابطه**: با ساده‌سازی (برای $x \neq 1$):
$$g(x) = \frac{2x(x - 1)}{x - 1} = 2x$$
نمودار این تابع خط $y = 2x$ است که در $x=1$ (یعنی نقطهٔ $(1, 2)$) یک حفره دارد.
(صحیح است).
* **ث) $g(x) = \frac{2x^2 - 4x}{x - 2}, \quad D_g = \mathbb{R} - \{2\}$**:
* **دامنه**: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. پس $D_g = \mathbb{R} - \{2\}$. (نادرست است).
## ۴. نتیجه‌گیری
تنها گزینهٔ **(ت)** هم ضابطهٔ ساده‌شدهٔ $g(x) = 2x$ را دارد و هم دامنهٔ $D_g = \mathbb{R} - \{1\}$ را، که باعث ایجاد حفره در $(1, 2)$ می‌شود.
همچنین، گزینهٔ **(پ)** ضابطهٔ $g(x) = 2x$ با دامنهٔ $D_g = \mathbb{R} - \{1\}$ است. این تابع نیز نموداری دارد که **بر نمودار داده شده منطبق است** (خط $y=2x$ با حفره در $x=1$).
$$\text{جواب}: \text{گزینه‌های (پ) و (ت) هر دو نموداری مطابق شکل دارند.}$$
$$\text{تعداد جواب}: \text{مسئله دو جواب دارد (پ و ت).}$$
