استادیومی به شکل مقابل ساخته شده است که در آن $x \ge 0$ و $y \ge 0$ و نیمدایرهها به شعاع $\frac{x}{2}$ هستند. اگر محیط استادیوم $1500 \text{ متر}$ باشد، $x$ و $y$ را طوری بیابید که:
الف) مساحت مستطیل حداکثر مقدار ممکن گردد.
ب) مساحت استادیوم حداکثر مقدار ممکن شود.
شکل استادیوم از یک مستطیل به ابعاد $x$ و $y$ و دو نیمدایره در دو طرف با قطر $x$ (شعاع $r = \frac{x}{2}$) تشکیل شده است.
**محیط استادیوم ($P = 1500$)**:
محیط استادیوم شامل دو ضلع $y$ مستطیل و محیط یک دایره کامل به شعاع $r = \frac{x}{2}$ (مجموع دو نیمدایره) است:
$$P = 2y + 2\pi r = 2y + 2\pi\left(\frac{x}{2}\right) = 2y + \pi x$$
**معادلهٔ قید**: $$2y + \pi x = 1500 \Rightarrow y = 750 - \frac{\pi}{2}x$$
**مساحت استادیوم ($A_{\text{total}}$)**:
$$A_{\text{total}} = \text{مساحت مستطیل} + \text{مساحت دایره} = xy + \pi r^2 = xy + \pi\left(\frac{x}{2}\right)^2$$
$$A_{\text{total}} = xy + \frac{\pi}{4}x^2$$
## الف) حداکثر کردن مساحت مستطیل ($A_{\text{rect}} = xy$)
**۱. تابع هدف**:
$$A_{\text{rect}}(x) = x\left(750 - \frac{\pi}{2}x\right) = -\frac{\pi}{2}x^2 + 750x$$
این تابع درجه دوم ($a = -\frac{\pi}{2} < 0$) در رأس خود ماکزیمم میشود.
**۲. یافتن $x$ ماکزیمم**:
$$x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{750}{2(-\frac{\pi}{2})} = -\frac{750}{-\pi} = \frac{750}{\pi}$$
**۳. یافتن $y$**:
$$y = 750 - \frac{\pi}{2}x_{\text{max}} = 750 - \frac{\pi}{2}\left(\frac{750}{\pi}\right) = 750 - \frac{750}{2} = 750 - 375 = 375$$
**ابعاد برای ماکزیمم کردن مساحت مستطیل**: $$x = \frac{750}{\pi} \text{ متر} \quad (\approx 238.7 \text{ m}) \quad \text{و} \quad y = 375 \text{ متر}$$
---
## ب) حداکثر کردن مساحت استادیوم ($A_{\text{total}}$)
**۱. تابع هدف**:
$$A_{\text{total}}(x) = xy + \frac{\pi}{4}x^2$$
با جایگذاری $y$:
$$A_{\text{total}}(x) = x\left(750 - \frac{\pi}{2}x\right) + \frac{\pi}{4}x^2 = 750x - \frac{\pi}{2}x^2 + \frac{\pi}{4}x^2$$
$$A_{\text{total}}(x) = 750x + \left(-\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right)x^2 = 750x - \frac{\pi}{4}x^2$$
$$A_{\text{total}}(x) = -\frac{\pi}{4}x^2 + 750x$$
این تابع درجه دوم ($a = -\frac{\pi}{4} < 0$) در رأس خود ماکزیمم میشود.
**۲. یافتن $x$ ماکزیمم**:
$$x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{750}{2(-\frac{\pi}{4})} = -\frac{750}{-\frac{\pi}{2}} = 750 \times \frac{2}{\pi} = \frac{1500}{\pi}$$
**۳. یافتن $y$**:
$$y = 750 - \frac{\pi}{2}x_{\text{max}} = 750 - \frac{\pi}{2}\left(\frac{1500}{\pi}\right) = 750 - \frac{1500}{2} = 750 - 750 = 0$$
**ابعاد برای ماکزیمم کردن مساحت استادیوم**: $$x = \frac{1500}{\pi} \text{ متر} \quad (\approx 477.5 \text{ m}) \quad \text{و} \quad y = 0 \text{ متر}$$
*(توجه: در این حالت، مساحت مستطیل صفر میشود و استادیوم تبدیل به یک دایره کامل میشود، که منطقی است، زیرا دایره به ازای یک محیط ثابت بیشترین مساحت را دارد.)*
ضابطهٔ جبری سهمیهای زیر را بنویسید.
(الف)
(ب)
(پ)
(ت)
(ث) ($S(2, 1)$)
(ج)
برای نوشتن ضابطهٔ جبری یک سهمی ($y = ax^2 + bx + c$) از فرم استاندارد رأس ($y = a(x - x_V)^2 + y_V$) و یک نقطهٔ کمکی روی سهمی استفاده میکنیم.
## الف) سهمی (الف)
* **رأس**: $V(x_V, y_V) = (1, -4)$.
* **فرم**: $y = a(x - 1)^2 - 4$.
* **نقطهٔ کمکی**: سهمی از مبدأ $(0, 0)$ میگذرد. (یا $(3, 0)$).
* **محاسبهٔ $a$**: $0 = a(0 - 1)^2 - 4 \Rightarrow 0 = a(1) - 4 \Rightarrow a = 4$.
**ضابطه**: $$y = 4(x - 1)^2 - 4$$
## ب) سهمی (ب)
* **رأس**: $V(x_V, y_V) = (3, -1)$.
* **فرم**: $y = a(x - 3)^2 - 1$.
* **نقطهٔ کمکی**: سهمی از $(0, 2)$ میگذرد.
* **محاسبهٔ $a$**: $2 = a(0 - 3)^2 - 1 \Rightarrow 2 = 9a - 1 \Rightarrow 3 = 9a \Rightarrow a = \frac{1}{3}$.
**ضابطه**: $$y = \frac{1}{3}(x - 3)^2 - 1$$
## پ) سهمی (پ)
* **رأس**: $V(x_V, y_V) = (2, 0)$. (ریشهٔ مضاعف $x=2$)
* **فرم**: $y = a(x - 2)^2$.
* **نقطهٔ کمکی**: سهمی از $(0, 4)$ میگذرد.
* **محاسبهٔ $a$**: $4 = a(0 - 2)^2 \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1$.
**ضابطه**: $$y = (x - 2)^2$$
## ت) سهمی (ت)
* **رأس**: $V(x_V, y_V) = (0, 3)$.
* **فرم**: $y = a(x - 0)^2 + 3 = ax^2 + 3$.
* **نقطهٔ کمکی**: سهمی از $(1, 0)$ میگذرد.
* **محاسبهٔ $a$**: $0 = a(1)^2 + 3 \Rightarrow 0 = a + 3 \Rightarrow a = -3$.
**ضابطه**: $$y = -3x^2 + 3$$
## ث) سهمی (ث)
* **رأس**: $V(x_V, y_V) = S(2, 1)$.
* **فرم**: $y = a(x - 2)^2 + 1$.
* **نقطهٔ کمکی**: سهمی از $(0, -1)$ میگذرد.
* **محاسبهٔ $a$**: $-1 = a(0 - 2)^2 + 1 \Rightarrow -1 = 4a + 1 \Rightarrow -2 = 4a \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
**ضابطه**: $$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$$
## ج) سهمی (ج)
* **رأس**: $V(x_V, y_V) = (0, -1)$.
* **فرم**: $y = a(x - 0)^2 - 1 = ax^2 - 1$.
* **نقطهٔ کمکی**: سهمی از $(1, 0)$ میگذرد.
* **محاسبهٔ $a$**: $0 = a(1)^2 - 1 \Rightarrow 0 = a - 1 \Rightarrow a = 1$.
**ضابطه**: $$y = x^2 - 1$$
