حل تمرین صفحه 3 ریاضی هفتم

برای پیدا کردن دو عدد طبیعی که حاصل‌ضربشان $۲۴$ و حاصل جمعشان کمترین مقدار ممکن باشد، باید تمام حالت‌های ممکن را بررسی کنیم. ✨ ۱. **یافتن جفت‌ اعداد**: ابتدا تمام جفت‌ اعداد طبیعی را پیدا می‌کنیم که حاصل‌ضرب آنها $۲۴$ می‌شود. - $۱ \times ۲۴ = ۲۴$ - $۲ \times ۱۲ = ۲۴$ - $۳ \times ۸ = ۲۴$ - $۴ \times ۶ = ۲۴$ ۲. **محاسبه حاصل جمع**: حالا حاصل جمع هر جفت عدد را محاسبه می‌کنیم. - $۱ + ۲۴ = ۲۵$ - $۲ + ۱۲ = ۱۴$ - $۳ + ۸ = ۱۱$ - $۴ + ۶ = ۱۰$ ۳. **مقایسه و نتیجه‌گیری**: با مقایسه حاصل جمع‌ها، می‌بینیم که کمترین مقدار $۱۰$ است که مربوط به اعداد $۴$ و $۶$ می‌باشد. جدول کامل به صورت زیر است: | اولین عدد | دومین عدد | حاصل جمع | |:---:|:---:|:---:| | ۱ | ۲۴ | ۲۵ | | ۲ | ۱۲ | ۱۴ | | ۳ | ۸ | ۱۱ | | ۴ | ۶ | ۱۰ | بنابراین، دو عدد مورد نظر **۴** و **۶** هستند. یک نکته جالب این است که هرچقدر اعداد به هم نزدیک‌تر باشند، حاصل جمع آنها کمتر می‌شود.

این مسئله در واقع یک سؤال در مورد **ترکیب** است. ما ۵ انگشت داریم و می‌خواهیم ۲ تا از آنها را برای نشان دادن عدد ۲ انتخاب کنیم. ترتیب انتخاب انگشت‌ها مهم نیست (مثلاً انتخاب انگشت اشاره و وسط با انتخاب انگشت وسط و اشاره فرقی ندارد). 🖐️ برای حل این مسئله می‌توانیم تمام حالت‌های ممکن را بنویسیم: ۱. **انتخاب‌های شامل انگشت شست**: - شست و اشاره - شست و وسط - شست و حلقه - شست و کوچک (۴ حالت) ۲. **انتخاب‌های شامل انگشت اشاره (بدون شست)**: - اشاره و وسط - اشاره و حلقه - اشاره و کوچک (۳ حالت) ۳. **انتخاب‌های شامل انگشت وسط (بدون شست و اشاره)**: - وسط و حلقه - وسط و کوچک (۲ حالت) ۴. **انتخاب نهایی (بدون موارد قبلی)**: - حلقه و کوچک (۱ حالت) حالا تعداد کل حالت‌ها را جمع می‌کنیم: $۴ + ۳ + ۲ + ۱ = ۱۰$ حالت. در ریاضیات، این مسئله با فرمول ترکیب $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ حل می‌شود که در اینجا $n=۵$ (تعداد کل انگشتان) و $k=۲$ (تعداد انگشتان انتخابی) است: $$C(۵, ۲) = \frac{۵!}{۲!(۵-۲)!} = \frac{۵ \times ۴}{۲ \times ۱} = ۱۰$$ بنابراین، به **۱۰ صورت** مختلف می‌توان عدد ۲ را با انگشتان یک دست نشان داد.

برای ساختن اعداد سه‌رقمی با ارقام ۲، ۷ و ۵، سه جایگاه داریم: **صدگان**، **دهگان** و **یکان**. چون تکرار ارقام مجاز است، برای هر یک از این جایگاه‌ها می‌توانیم از هر سه رقم استفاده کنیم. 🔢 - برای جایگاه **صدگان**، ۳ انتخاب داریم (۲، ۷ یا ۵). - برای جایگاه **دهگان**، نیز ۳ انتخاب داریم (۲، ۷ یا ۵). - برای جایگاه **یکان**، هم ۳ انتخاب داریم (۲، ۷ یا ۵). بنابراین، تعداد کل اعداد ممکن برابر است با: $۳ \times ۳ \times ۳ = ۲۷$ عدد. لیست کامل این ۲۷ عدد به شرح زیر است: **اعدادی که با رقم ۲ شروع می‌شوند:** $۲۲۲, ۲۲۵, ۲۲۷, ۲۵۲, ۲۵۵, ۲۵۷, ۲۷۲, ۲۷۵, ۲۷۷$ **اعدادی که با رقم ۵ شروع می‌شوند:** $۵۲۲, ۵۲۵, ۵۲۷, ۵۵۲, ۵۵۵, ۵۵۷, ۵۷۲, ۵۷۵, ۵۷۷$ **اعدادی که با رقم ۷ شروع می‌شوند:** $۷۲۲, ۷۲۵, ۷۲۷, ۷۵۲, ۷۵۵, ۷۵۷, ۷۷۲, ۷۷۵, ۷۷۷$

برای حل این مسئله، باید تمام ترکیب‌های ممکن از سکه‌های ۵۰ و ۱۰۰ تومانی که مجموع آنها ۵۰۰ تومان می‌شود را پیدا کنیم. می‌توانیم این کار را با یک روش منظم انجام دهیم. 💰 بیایید با بیشترین تعداد ممکن سکه ۱۰۰ تومانی شروع کنیم و به تدریج تعداد آنها را کم کنیم: ۱. **۵ سکه ۱۰۰ تومانی**: $۵ \times ۱۰۰ = ۵۰۰$ تومان. در این حالت به هیچ سکه ۵۰ تومانی نیاز نداریم ($۰ \times ۵۰ = ۰$). - **(حالت اول)** ۲. **۴ سکه ۱۰۰ تومانی**: $۴ \times ۱۰۰ = ۴۰۰$ تومان. برای رسیدن به ۵۰۰ تومان، $۱۰۰$ تومان دیگر لازم داریم که معادل **۲ سکه ۵۰ تومانی** است ($۲ \times ۵۰ = ۱۰۰$). - **(حالت دوم)** ۳. **۳ سکه ۱۰۰ تومانی**: $۳ \times ۱۰۰ = ۳۰۰$ تومان. برای رسیدن به ۵۰۰ تومان، $۲۰۰$ تومان دیگر لازم داریم که معادل **۴ سکه ۵۰ تومانی** است ($۴ \times ۵۰ = ۲۰۰$). - **(حالت سوم)** ۴. **۲ سکه ۱۰۰ تومانی**: $۲ \times ۱۰۰ = ۲۰۰$ تومان. برای رسیدن به ۵۰۰ تومان، $۳۰۰$ تومان دیگر لازم داریم که معادل **۶ سکه ۵۰ تومانی** است ($۶ \times ۵۰ = ۳۰۰$). - **(حالت چهارم)** ۵. **۱ سکه ۱۰۰ تومانی**: $۱ \times ۱۰۰ = ۱۰۰$ تومان. برای رسیدن به ۵۰۰ تومان، $۴۰۰$ تومان دیگر لازم داریم که معادل **۸ سکه ۵۰ تومانی** است ($۸ \times ۵۰ = ۴۰۰$). - **(حالت پنجم)** ۶. **۰ سکه ۱۰۰ تومانی**: $۰ \times ۱۰۰ = ۰$ تومان. برای رسیدن به ۵۰۰ تومان، $۵۰۰$ تومان دیگر لازم داریم که معادل **۱۰ سکه ۵۰ تومانی** است ($۱۰ \times ۵۰ = ۵۰۰$). - **(حالت ششم)** با شمردن تمام حالت‌های بالا، متوجه می‌شویم که به **۶ حالت** مختلف می‌توان مبلغ ۵۰۰ تومان را درست کرد.