حل تمرین های ترکیبی فصل 6 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 82 هفتم - تمرین 1 این تمرین جامع برای مرور مفاهیم **حجم**، **مساحت جانبی** و **مساحت کل** اشکال هندسی است. ما از $\pi$ در محاسبات استفاده خواهیم کرد. ### **الف) استوانه** * **ابعاد:** شعاع قاعده ($r$): $2$ واحد، ارتفاع ($h$): $2$ واحد. #### **1. حجم ($V_{\text{استوانه}}$)** $$V = \pi r^2 h$$ $$V = \pi \times (2)^2 \times 2$$ $$V = 8\pi \text{ واحد مکعب}$$ #### **2. مساحت جانبی ($S_{\text{جانبی}}$)** $$S_{\text{جانبی}} = 2\pi r h$$ $$S_{\text{جانبی}} = 2 \times \pi \times 2 \times 2$$ $$S_{\text{جانبی}} = 8\pi \text{ واحد مربع}$$ #### **3. مساحت کل ($S_{\text{کل}}$)** $$S_{\text{کل}} = S_{\text{جانبی}} + 2 \times \text{مساحت قاعده}$$ $$\text{مساحت قاعده} = \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$$ $$S_{\text{کل}} = 8\pi + 2(4\pi) = 8\pi + 8\pi = 16\pi \text{ واحد مربع}$$ *** ### **ب) منشور چهارپهلو با قاعده‌ی مربع (مکعب مستطیل)** * **ابعاد:** ضلع قاعده ($a$): $2$ واحد، ارتفاع ($h$): $20$ واحد. #### **1. حجم ($V_{\text{منشور}}$)** $$V = \text{مساحت قاعده} \times h$$ $$\text{مساحت قاعده} = a \times a = 2 \times 2 = 4$$ $$V = 4 \times 20 = 80 \text{ واحد مکعب}$$ #### **2. مساحت جانبی ($S_{\text{جانبی}}$)** $$S_{\text{جانبی}} = \text{محیط قاعده} \times h$$ $$\text{محیط قاعده} = 4a = 4 \times 2 = 8$$ $$S_{\text{جانبی}} = 8 \times 20 = 160 \text{ واحد مربع}$$ #### **3. مساحت کل ($S_{\text{کل}}$)** $$S_{\text{کل}} = S_{\text{جانبی}} + 2 \times \text{مساحت قاعده}$$ $$S_{\text{کل}} = 160 + 2(4) = 160 + 8 = 168 \text{ واحد مربع}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 82 هفتم - تمرین 2 (الف) این تمرین برای درک رابطه‌ی بین ابعاد یک مکعب مستطیل و گسترده‌ی آن (Net) طراحی شده است. ابعاد مکعب مستطیل عبارتند از: طول ($a$)، عرض ($b$) و ارتفاع ($c$). گسترده‌ی یک مکعب مستطیل شامل $6$ وجه است: $2$ قاعده (معمولاً $a \times b$) و $4$ وجه جانبی. در گسترده‌ای که نشان داده شده، یک ردیف شامل چهار مستطیل جانبی و دو مستطیل (قاعده و سقف) در بالا و پایین مستطیل دوم قرار گرفته‌اند. اگر فرض کنیم $a$ طول، $b$ عرض و $c$ ارتفاع است: 1. **مستطیل‌های جانبی:** $4$ مستطیل با ارتفاع $c$. طول‌های این مستطیل‌ها به ترتیب اضلاع قاعده هستند: $a, b, a, b$ (یا برعکس). 2. **مستطیل‌های قاعده/سقف:** این مستطیل‌ها ابعاد $a \times b$ دارند و به ضلع $a$ یا $b$ مستطیل جانبی متصل شده‌اند. | محل علامت سؤال | اندازه‌ی ضلع | توضیح | | :--- | :--- | :--- | | **ارتفاع وجه‌های جانبی (عرض مستطیل جانبی)** | $c$ | برابر با ارتفاع مکعب مستطیل است. | | **طول ضلع‌های قاعده (عرض مستطیل‌های قاعده)** | $b$ و $a$ | اضلاع قاعده ($a$ و $b$) به ترتیب طول مستطیل‌های جانبی می‌شوند. |

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 82 هفتم - تمرین 2 (ب) این شکل مرکب از دو قسمت اصلی است: یک **منشور چهارپهلو (مکعب مستطیل)** در پایین و یک **منشور با قاعده‌ی مثلثی (سقف شیروانی)** در بالا. همچنین یک نیم‌دایره در نمای جلو دیده می‌شود که احتمالاً یک ورودی است و باید از حجم کلی کم شود. **ابعاد:** * **طول کل شکل ($H_{\text{منشور}}$):** $60$ واحد * **قاعده‌ی مکعب مستطیل:** $10 \times 20$ * **ارتفاع مکعب مستطیل:** $20$ * **ابعاد سقف مثلثی:** قاعده‌ی مثلث $10$، ارتفاع مثلث $15$. * **ورودی نیم‌دایره:** قطر $10$، شعاع $r=5$ (فرض می‌کنیم ورودی یک نیم‌استوانه تو خالی است). ### **1. محاسبه‌ی حجم قسمت پایین (مکعب مستطیل)** * **ابعاد:** $10 \times 20 \times 60$ * $$V_{\text{مکعب مستطیل}} = 10 \times 20 \times 60 = 12,000$$ ### **2. محاسبه‌ی حجم قسمت بالا (منشور مثلثی)** * **مساحت قاعده (مثلث):** $$S_{\text{مثلث}} = \frac{\text{قاعده} \times \text{ارتفاع}}{2} = \frac{10 \times 15}{2} = 75$$ * **حجم منشور مثلثی:** $$V_{\text{مثلثی}} = S_{\text{مثلث}} \times H_{\text{منشور}} = 75 \times 60 = 4,500$$ ### **3. محاسبه‌ی حجم ورودی (نیم‌استوانه توخالی)** * **شعاع ($r$):** $5$ واحد، **ارتفاع ($h$):** $20$ واحد (عمق ورودی به اندازه عرض خانه). * $$V_{\text{ورودی}} = \frac{1}{2} \times (\pi r^2 h)$$ (با فرض $\pi \approx 3$) * $$V_{\text{ورودی}} \approx \frac{1}{2} \times 3 \times (5)^2 \times 20$$ $$V_{\text{ورودی}} \approx \frac{1}{2} \times 3 \times 25 \times 20 = 750$$ ### **4. محاسبه‌ی حجم کل شکل** حجم کل = حجم مکعب مستطیل + حجم منشور مثلثی - حجم ورودی $$V_{\text{کل}} = V_{\text{مکعب مستطیل}} + V_{\text{مثلثی}} - V_{\text{ورودی}}$$ $$V_{\text{کل}} \approx 12,000 + 4,500 - 750 = 15,750$$ واحد مکعب > **نتیجه:** حجم تقریبی شکل **$15,750$ واحد مکعب** است.