حل تمرین صفحه 81 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 81 هفتم - تمرین 1 این مسئله بر اهمیت رابطه‌ی بین **شعاع** و **حجم** در استوانه‌ها تأکید دارد، حتی زمانی که مساحت جانبی آن‌ها یکسان است. ما حجم دو استوانه را محاسبه می‌کنیم. (توجه: در این سطح معمولاً برای سادگی $\pi \approx 3$ در نظر گرفته می‌شود، اما در اینجا $\pi$ را در محاسبات نگه می‌داریم تا عدد دقیق‌تر به دست آید.) ### **1. استوانه‌ی اول ($V_1$)** **ساخته شده از مستطیل $20 \times 5$ (طول $\times$ عرض) با ارتفاع $h_1 = 5$.** * **ارتفاع ($h_1$):** $5$ واحد (ضلعی که دور آن تا نشده است) * **محیط قاعده ($P_1$):** $20$ واحد (ضلعی که به شکل دایره درآمده است) **گام 1: محاسبه‌ی شعاع قاعده ($r_1$)** $$\text{محیط} = 2\pi r \implies 20 = 2\pi r_1 \implies r_1 = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi}$$ **گام 2: محاسبه‌ی حجم ($V_1$)** $$V_1 = \pi r_1^2 h_1$$ $$V_1 = \pi \times \left(\frac{10}{\pi}\right)^2 \times 5$$ $$V_1 = \pi \times \frac{100}{\pi^2} \times 5 = \frac{500}{\pi}$$ ### **2. استوانه‌ی دوم ($V_2$)** **ساخته شده از مستطیل $10 \times 10$ (طول $\times$ عرض).** برای ساخت استوانه از یک مقوای $10 \times 10$، دو حالت ممکن است: یا $h_2=10$ و $P_2=10$ یا برعکس. با توجه به مقایسه‌ی مساحت‌ها، فرض می‌کنیم این ابعاد **مساحت جانبی** هر دو استوانه هستند. * **ابعاد مساحت جانبی:** $10 \times 10$. فرض می‌کنیم ارتفاع $h_2=10$ و محیط قاعده $P_2=10$ باشد. **گام 1: محاسبه‌ی شعاع قاعده ($r_2$)** $$\text{محیط} = 2\pi r \implies 10 = 2\pi r_2 \implies r_2 = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi}$$ **گام 2: محاسبه‌ی حجم ($V_2$)** $$V_2 = \pi r_2^2 h_2$$ $$V_2 = \pi \times \left(\frac{5}{\pi}\right)^2 \times 10$$ $$V_2 = \pi \times \frac{25}{\pi^2} \times 10 = \frac{250}{\pi}$$ ### **مقایسه‌ی حجم‌ها** حجم استوانه‌ی اول: $$V_1 = \frac{500}{\pi}$$ حجم استوانه‌ی دوم: $$V_2 = \frac{250}{\pi}$$ چون $500$ بزرگتر از $250$ است، حجم استوانه‌ی اول بزرگتر است. $$\frac{500}{\pi} > \frac{250}{\pi}$$ > **نتیجه:** **استوانه‌ی اول** که از مقوای $20 \times 5$ ساخته شده، حجم بیشتری دارد. این به دلیل این است که با وجود مساحت جانبی برابر، استوانه‌ی اول توانسته است شعاع بیشتری ($r_1 = \frac{10}{\pi}$) را نسبت به استوانه‌ی دوم ($r_2 = \frac{5}{\pi}$) به خود اختصاص دهد، و همانطور که دیدیم، شعاع در حجم تأثیر بیشتری ($r^2$) دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 81 هفتم - تمرین 3 این مسئله درباره‌ی محاسبه‌ی حجم اولیه، حجم باقی‌مانده و سپس درصد مصرفی است. ### **گام 1: تعیین حجم اولیه ($V_{\text{اولیه}}$)** * حجم صابون در ابتدا $32$ سانتی‌متر مکعب بوده است. $$V_{\text{اولیه}} = 32 \text{ cm}^3$$ ### **گام 2: تعیین حجم نهایی ($V_{\text{نهایی}}$)** مکعب مستطیل به ابعاد $32$ سانتی‌متر مکعب، در حالت اولیه احتمالاً ابعاد $4 \times 4 \times 2$ یا $8 \times 2 \times 2$ یا $16 \times 2 \times 1$ داشته است. در صورت سؤال، 'ابعاد آن $2$ و $4$ و $1$ سانتی‌متر **کاهش** یافته است' ابهام دارد. این کاهش یا به معنی **ابعاد نهایی** است، یا مقدار کاهش از هر بُعد. معمولاً در این تیپ سوالات، ابعاد پس از مصرف داده می‌شود. **فرض می‌کنیم ابعاد نهایی صابون پس از کاهش، $2$ و $4$ و $1$ سانتی‌متر است.** * **ابعاد نهایی:** $L_{\text{نهایی}}=4, \quad W_{\text{نهایی}}=2, \quad H_{\text{نهایی}}=1$ * **حجم نهایی:** $$V_{\text{نهایی}} = 4 \times 2 \times 1 = 8 \text{ cm}^3$$ ### **گام 3: محاسبه‌ی حجم مصرف شده ($V_{\text{مصرف}}$)** $$V_{\text{مصرف}} = V_{\text{اولیه}} - V_{\text{نهایی}}$$ $$V_{\text{مصرف}} = 32 - 8 = 24 \text{ cm}^3$$ ### **گام 4: محاسبه‌ی درصد مصرف شده** درصد مصرف شده برابر است با نسبت حجم مصرف شده به حجم اولیه، ضرب در $100$: $$\text{درصد مصرف} = \frac{V_{\text{مصرف}}}{V_{\text{اولیه}}} \times 100$$ $$\text{درصد مصرف} = \frac{24}{32} \times 100$$ $$\text{درصد مصرف} = \frac{3}{4} \times 100 = 75$$ > **نتیجه:** **$75$ درصد** از این صابون استفاده شده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 81 هفتم - تمرین 4 این مسئله مشابه تمرین 1 است و محاسبه‌ی حجم استوانه را از روی ابعاد مقوای سازنده‌ی آن (که همان مساحت جانبی است) می‌خواهد. فرض می‌کنیم برای ساخت این استوانه از مقوای $20 \times 10$ استفاده شده است و ارتفاع آن $20$ سانتی‌متر است. ### **گام 1: مشخص کردن ابعاد استوانه** * **ارتفاع استوانه ($h$):** $20$ سانتی‌متر (طبق متن سوال) * **محیط قاعده ($P$):** $10$ سانتی‌متر (چون ارتفاع $20$ انتخاب شده، پس ضلع دیگر مقوا یعنی $10$ محیط قاعده خواهد بود.) ### **گام 2: محاسبه‌ی شعاع قاعده ($r$)** از رابطه‌ی محیط دایره ($P = 2\pi r$) استفاده می‌کنیم. در اینجا برای محاسبه‌ی تقریبی، عدد پی ($\pi$) را $3$ در نظر می‌گیریم. $$\text{محیط} = 2\pi r \implies 10 \approx 2 \times 3 \times r$$ $$10 \approx 6 r \implies r \approx \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1/67 \text{ cm}$$ ### **گام 3: محاسبه‌ی حجم استوانه ($V$)** از فرمول حجم استوانه ($V = \pi r^2 h$) استفاده می‌کنیم و $\pi \approx 3$ را جایگذاری می‌کنیم. $$V \approx \pi r^2 h$$ $$V \approx 3 \times \left(\frac{5}{3}\right)^2 \times 20$$ $$V \approx 3 \times \frac{25}{9} \times 20$$ $$V \approx \frac{25}{3} \times 20 = \frac{500}{3} \approx 166/67 \text{ cm}^3$$ > **نتیجه:** حجم تقریبی این استوانه **$166/67$ سانتی‌متر مکعب** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 81 هفتم - تمرین 6 مساحت جانبی یک منشور از روی گسترده‌ی آن، برابر با **مساحت مستطیل بزرگی** است که وجه‌های جانبی را تشکیل می‌دهد. ### **گام 1: شناسایی ابعاد مستطیل جانبی** در تصویر گسترده: * **طول مستطیل جانبی:** این طول از کنار هم قرار گرفتن اضلاع قاعده (یک مثلث) به دست می‌آید. $$L_{\text{جانبی}} = 10$$ (این عدد برابر با محیط قاعده است: $P = 10$). * **عرض مستطیل جانبی (ارتفاع منشور):** $$W_{\text{جانبی}} = 2$$ (این عدد برابر با ارتفاع منشور است: $h = 2$). ### **گام 2: محاسبه‌ی مساحت جانبی ($S_{\text{جانبی}}$)** مساحت جانبی برابر با مساحت مستطیل است (طول $\times$ عرض): $$S_{\text{جانبی}} = \text{طول مستطیل} \times \text{عرض مستطیل}$$ $$S_{\text{جانبی}} = 10 \times 2 = 20$$ واحد مربع > **نتیجه:** مساحت جانبی منشور **$20$ واحد مربع** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 81 هفتم - تمرین 7 برای تعیین اندازه‌ی ضلع‌های گسترده‌ی منشور، باید ابعاد قاعده‌ها (مثلث‌ها) و ابعاد مستطیل جانبی را مشخص کنیم. ### **منشور مثلث قائم الزاویه** ابعاد منشور داده شده: * **اضلاع قاعده (مثلث):** $3$، $4$ و $5$. (چون $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$، قاعده یک مثلث قائم الزاویه است.) * **ارتفاع منشور ($h$):** $7$. ### **ابعاد گسترده** گسترده‌ی این منشور شامل **دو مثلث قائم الزاویه** (قاعده‌ها) و **یک مستطیل بزرگ** (سطح جانبی) است. #### **1. ابعاد قاعده‌ها (مثلث‌ها)** قاعده‌ها دو مثلث هم‌نهشت هستند با اضلاع: * **ضلع اول:** $3$ واحد * **ضلع دوم:** $4$ واحد * **وتر:** $5$ واحد #### **2. ابعاد مستطیل جانبی** * **عرض مستطیل (ارتفاع منشور):** $$h = 7$$ * **طول مستطیل (محیط قاعده):** جمع اضلاع مثلث: $$\text{طول} = 3 + 4 + 5 = 12$$ **توضیح گسترده:** مستطیل جانبی یک مستطیل با ابعاد $12 \times 7$ است. این مستطیل توسط خطوطی به سه مستطیل کوچکتر با ابعاد زیر تقسیم شده است (که هر کدام به یک ضلع قاعده متصل هستند): * مستطیل 1: $3 \times 7$ * مستطیل 2: $4 \times 7$ * مستطیل 3: $5 \times 7$ > **نتیجه:** اندازه‌های اضلاع گسترده عبارتند از: اضلاع قاعده $3$، $4$ و $5$. اضلاع مستطیل جانبی $7$ (عرض/ارتفاع) و $12$ (طول/محیط).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 81 هفتم - تمرین 8 این تمرین درباره‌ی **تصویر فضایی (نماهای مختلف)** یک شکل سه بُعدی است که از کنار هم قرار گرفتن مکعب‌های واحد ساخته شده است. ### **1. نمای روبه‌رو (Front View)** نما از جلو، بالاترین ارتفاع و عریض‌ترین طول را نشان می‌دهد. شکل شبیه به یک "U" یا نعل اسبی با ضخامت یکسان است. * **ابعاد نما:** طول $3$ واحد، ارتفاع $2$ واحد. * **شکل:** یک مستطیل $3 \times 2$ که مربع‌های وسط آن در طبقه پایین پر و در طبقه بالا خالی هستند (به نظر می‌رسد). با توجه به ساختار $U$ شکل، دو ستون کناری دیده می‌شود که در بالا به هم متصل نیستند. > **توصیف نما:** یک مستطیل $3 \times 2$ که از آن مستطیل $1 \times 1$ در مرکز و بالای طبقه دوم حذف شده است. (یا بهتر است بگوییم: دو ستون $1 \times 2$ در طرفین و یک ستون $1 \times 1$ در پایین وسط.) ### **2. نمای راست (Right View)** نما از راست، عمیق‌ترین بُعد و بالاترین ارتفاع را نشان می‌دهد. * **ابعاد نما:** طول $3$ واحد، ارتفاع $2$ واحد. * **شکل:** یک مستطیل $3 \times 2$ که در یک سوم پایین یک ردیف مکعب دارد و در دو سوم بالایی دو ردیف مکعب در کناره‌ها دیده می‌شود (ستون سمت چپ $2$ واحد و ستون سمت راست $2$ واحد). > **توصیف نما:** یک مستطیل $3 \times 2$ که کاملاً پر است، زیرا از سمت راست، هر سه ردیف مکعب‌های جلو، وسط و عقب در هر دو طبقه دیده می‌شوند. ### **3. نمای بالا (Top View)** نما از بالا، طول و عرض شکل را نشان می‌دهد. * **ابعاد نما:** طول $3$ واحد، عرض $3$ واحد. * **شکل:** دو ردیف مکعب در کناره‌ها و یک ردیف مکعب در جلو و عقب دیده می‌شود که مربع‌های وسط در بالای طبقه دوم خالی هستند. > **توصیف نما:** یک مربع $3 \times 3$ که مربع مرکزی آن خالی است (شکل "U" یا قاب) و مکعب‌های محیطی آن پر هستند.