حل تمرین های ترکیبی فصل 5 ریاضی هفتم

تساوی $۳ \times ۴ = ۱۲$ را می‌توان به چند صورت مختلف که مفاهیم شمارنده، مضرب و تقسیم را نشان می‌دهند، بیان کرد: - **از دیدگاه شمارنده‌ها (Divisors):** - عددهای **۳ و ۴ شمارنده‌های** عدد ۱۲ هستند. - **از دیدگاه مضرب‌ها (Multiples):** - عدد **۱۲ مضرب** عدد ۳ است (چهارمین مضرب طبیعی). - عدد **۱۲ مضرب** عدد ۴ است (سومین مضرب طبیعی). - **از دیدگاه تقسیم (Division):** - حاصل تقسیم **۱۲ بر ۳ برابر ۴** است ($۱۲ \div ۳ = ۴$). - حاصل تقسیم **۱۲ بر ۴ برابر ۳** است ($۱۲ \div ۴ = ۳$).

برای پیدا کردن ب.م.م (بزرگ‌ترین شمارنده مشترک) و ک.م.م (کوچک‌ترین مضرب مشترک)، ابتدا هر دو عدد را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم. **۱. تجزیه به عوامل اول:** - $$۶۰ = ۶ \times ۱۰ = (۲ \times ۳) \times (۲ \times ۵) = ۲^۲ \times ۳ \times ۵$$ - $$۷۲ = ۸ \times ۹ = (۲ \times ۲ \times ۲) \times (۳ \times ۳) = ۲^۳ \times ۳^۲$$ **۲. محاسبه ب.م.م (GCD):** ب.م.م برابر با حاصل‌ضرب **عوامل اول مشترک** با **کمترین توان** است. - عوامل مشترک: ۲ و ۳ - کمترین توان ۲: $۲^۲$ - کمترین توان ۳: $۳^۱$ $$(۶۰, ۷۲) = ۲^۲ \times ۳ = ۴ \times ۳ = ۱۲$$ **۳. محاسبه ک.م.م (LCM):** ک.م.م برابر با حاصل‌ضرب **عوامل اول مشترک و غیرمشترک** با **بیشترین توان** است. - عوامل موجود: ۲, ۳, ۵ - بیشترین توان ۲: $۲^۳$ - بیشترین توان ۳: $۳^۲$ - بیشترین توان ۵: $۵^۱$ $$[۶۰, ۷۲] = ۲^۳ \times ۳^۲ \times ۵ = ۸ \times ۹ \times ۵ = ۳۶۰$$

اعداد اول، اعدادی طبیعی و بزرگ‌تر از ۱ هستند که فقط بر ۱ و خودشان بخش‌پذیرند. برای پیدا کردن اعداد اول در یک بازه، اعداد مرکب (غیر اول) را حذف می‌کنیم. اعداد اول بین ۵۰ و ۸۰ عبارتند از: **۵۳, ۵۹, ۶۱, ۶۷, ۷۱, ۷۳, ۷۹**

برای ساختن این دو عدد، از اطلاعات ب.م.م و ک.م.م استفاده می‌کنیم. فرض کنیم دو عدد ما $a$ و $b$ باشند. ۱. **اطلاعات از ب.م.م (GCD):** $$(a,b) = ۶ = ۲^۱ \times ۳^۱$$ این یعنی هر دو عدد $a$ و $b$ باید حداقل یک عامل ۲ و یک عامل ۳ داشته باشند. ۲. **اطلاعات از ک.م.م (LCM):** $$[a,b] = ۳۶ = ۲^۲ \times ۳^۲$$ این یعنی در بین تجزیه‌های $a$ و $b$، بزرگ‌ترین توان عامل ۲ باید $۲^۲$ و بزرگ‌ترین توان عامل ۳ باید $۳^۲$ باشد. ۳. **ساختن اعداد:** با ترکیب این اطلاعات، باید توان‌های $۲^۱, ۲^۲, ۳^۱, ۳^۲$ را بین دو عدد $a$ و $b$ تقسیم کنیم به طوری که شرایط بالا برقرار باشد. یک راه این است که توان‌های بزرگ را بین دو عدد تقسیم کنیم: - عدد اول ($a$): بزرگ‌ترین توان ۲ و کوچک‌ترین توان ۳ را به آن می‌دهیم $\implies a = ۲^۲ \times ۳^۱ = ۴ \times ۳ = ۱۲$ - عدد دوم ($b$): کوچک‌ترین توان ۲ و بزرگ‌ترین توان ۳ را به آن می‌دهیم $\implies b = ۲^۱ \times ۳^۲ = ۲ \times ۹ = ۱۸$ **بررسی:** - $(۱۲, ۱۸) = (۲^۲ \times ۳, ۲ \times ۳^۲) = ۲^۱ \times ۳^۱ = ۶$ (صحیح است) - $[۱۲, ۱۸] = ۲^۲ \times ۳^۲ = ۴ \times ۹ = ۳۶$ (صحیح است) بنابراین، دو عدد مورد نظر **۱۲** و **۱۸** هستند.