حل تمرین صفحه 27 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۲۷ ریاضی دهم سلام! برای تشخیص یک **دنباله‌ی هندسی**، باید مطمئن بشیم که نسبت تقسیم هر جمله بر جمله‌ی قبلی، یک عدد **ثابت** (قدر نسبت: $\mathbf{r}$) است. ### الف) $\mathbf{۷, ۲۸, ۱۱۲, ۴۴۸, \dots}$ * **نسبت‌ها:** * $\frac{۲۸}{۷} = ۴$ * $\frac{۱۱۲}{۲۸} = ۴$ * $\frac{۴۴۸}{۱۱۲} = ۴$ * **دنباله‌ی هندسی:** $\checkmark$ (نسبت ثابت است: $\mathbf{\text{r}=۴}$) ### ب) $\mathbf{\sqrt{۲}, ۲\sqrt{۵}, ۴\sqrt{۵}, ۶\sqrt{۵}, ۸\sqrt{۵}, \dots}$ * **اختلاف‌ها:** اگر بخش‌های غیر رادیکالی را در نظر بگیریم، جملات دوم به بعد ($۲\sqrt{۵}, ۴\sqrt{۵}, \dots$) یک دنباله‌ی حسابی با $d=۲\sqrt{۵}$ هستند. اما جمله‌ی اول به این الگو نمی‌خورد. * **نسبت‌ها (بین جملات دوم و سوم):** * $\frac{۴\sqrt{۵}}{۲\sqrt{۵}} = ۲$ * $\frac{۶\sqrt{۵}}{۴\sqrt{۵}} = ۱.۵$ * **دنباله‌ی هندسی:** $\times$ (نسبت ثابت نیست) ### پ) $\mathbf{۱, -\frac{۱}{۲}, \frac{۱}{۴}, -\frac{۱}{۸}, \dots}$ * **نسبت‌ها:** * $\frac{-\frac{۱}{۲}}{۱} = -\frac{۱}{۲}$ * $\frac{\frac{۱}{۴}}{-\frac{۱}{۲}} = -\frac{۱}{۲}$ * $\frac{-\frac{۱}{۸}}{\frac{۱}{۴}} = -\frac{۱}{۲}$ * **دنباله‌ی هندسی:** $\checkmark$ (نسبت ثابت است: $\mathbf{\text{r}=-\frac{۱}{۲}}$) ### ت) $\mathbf{۵, ۵, ۵, ۵, \dots}$ * **نسبت‌ها:** $\frac{۵}{۵} = ۱$ * **دنباله‌ی هندسی:** $\checkmark$ (نسبت ثابت است: $\mathbf{\text{r}=۱}$). (این دنباله هم‌زمان دنباله‌ی حسابی با $d=۰$ هم هست.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۲۷ ریاضی دهم برای ساختن یک **دنباله‌ی هندسی**، دو عامل لازم است: **جمله‌ی اول** ($\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}}$) و **قدر نسبت** ($\mathbf{\text{r}}$). از آنجایی که قدر نسبت ($\text{r} = \frac{۴}{۵}$) ثابت شده است، می‌توانیم با انتخاب هر **جمله‌ی اول** دلخواهی، یک دنباله‌ی جدید بسازیم. بنابراین، می‌توان **بی‌نهایت** دنباله‌ی هندسی با این قدر نسبت ساخت. ### دو مثال **مثال ۱:** جمله‌ی اول $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}} = ۵}$ باشد. $$\text{دنباله}: \{۵, \quad 5 \times \frac{۴}{۵}, \quad ۴ \times \frac{۴}{۵}, \quad \dots\} = \mathbf{\{۵, ۴, \frac{۱۶}{۵}, \frac{۶۴}{۲۵}, \dots\}}$$ **مثال ۲:** جمله‌ی اول $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}} = -۱۰}$ باشد. $$\text{دنباله}: \{-۱۰, \quad -۱۰ \times \frac{۴}{۵}, \quad -۸ \times \frac{۴}{۵}, \quad \dots\} = \mathbf{\{-۱۰, -۸, -\frac{۳۲}{۵}, -\frac{۱۲۸}{۲۵}, \dots\}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۲۷ ریاضی دهم ### الف) هر دنباله، یا حسابی است یا هندسی **نادرست است.** $\mathbf{\times}$ * **توضیح:** دنباله‌هایی وجود دارند که الگوی آن‌ها نه به صورت جمع ثابت (حسابی) است و نه به صورت ضرب ثابت (هندسی)، بلکه از طریق قوانین دیگری رشد می‌کنند. * **مثال نقض (دنباله‌ی غیر حسابی و غیر هندسی):** * **دنباله‌ی مربعات:** $\mathbf{\{۱, ۴, ۹, ۱۶, ۲۵, \dots\}}$. * **حسابی نیست:** $۴-۱=۳$, $۹-۴=۵$ (اختلاف ثابت نیست). * **هندسی نیست:** $\frac{۴}{۱}=۴$, $\frac{۹}{۴}=۲.۲۵$ (نسبت ثابت نیست). ### ب) دنباله‌ای وجود ندارد که هم حسابی باشد و هم هندسی **نادرست است.** $\mathbf{\times}$ * **توضیح:** دنباله‌ای که **ثابت** باشد، هر دو شرط را ارضا می‌کند. * **مثال نقض (دنباله‌ی ثابت):** $\mathbf{\{۵, ۵, ۵, ۵, \dots\}}$ * **حسابی:** $\checkmark$ با قدر نسبت $\mathbf{\text{d}=۰}$. (چون $۵+۰=۵$) * **هندسی:** $\checkmark$ با قدر نسبت $\mathbf{\text{r}=۱}$. (چون $۵ \times ۱=۵$) * **نکته:** در واقع، هر دنباله‌ی ثابتی ($athbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{k}}$) هم یک دنباله‌ی حسابی با $d=۰$ و هم یک دنباله‌ی هندسی با $r=۱$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۲۷ ریاضی دهم این مسئله نمونه‌ای از کاربرد **دنباله‌ی هندسی** در محاسبه‌ی **استهلاک** (کاهش قیمت) است. در هر سال، قیمت در یک نسبت ثابت (که از کاهش ۲۰ درصدی به دست می‌آید) ضرب می‌شود. ### الف) قیمت بعد از ۳ سال **۱. محاسبه‌ی قدر نسبت (r):** * اگر ۲۰ درصد کاهش یابد، یعنی ۸۰ درصد قیمت سال قبل باقی می‌ماند. * $\text{r} = ۱۰۰\% - ۲۰\% = ۸۰\% = \mathbf{۰.۸}$ یا $\mathbf{\frac{۴}{۵}}$ **۲. تعیین جملات:** * $\text{t}_{\text{۰}}$ (قیمت اولیه/سال صفر): $\mathbf{۵۰۰,۰۰۰}$ تومان * $\text{t}_{\text{n}}$ (قیمت بعد از $\text{n}$ سال): ما به $athbf{\text{t}_{\text{۳}}}$ (جمله‌ی چهارم دنباله) نیاز داریم. * **فرمول استهلاک:** $\text{قیمت نهایی} = \text{قیمت اولیه} \times \text{r}^{\text{تعداد سال}}$ $$\text{t}_{\text{۳}} = ۵۰۰,۰۰۰ \times (۰.۸)^{۳}$$ $$\text{t}_{\text{۳}} = ۵۰۰,۰۰۰ \times (۰.۶۴ \times ۰.۸)$$ $$\text{t}_{\text{۳}} = ۵۰۰,۰۰۰ \times ۰.۵۱۲$$ $$\mathbf{\text{t}_{\text{۳}} = ۲۵۶,۰۰۰}$$ **پاسخ:** او می‌تواند دوچرخه را به قیمت **۲۵۶ هزار تومان** بفروشد. ### ب) قیمت دوچرخه بعد از گذشت $\mathbf{n}$ سال اگر $\text{P}$ قیمت اولیه باشد، قیمت بعد از $\text{n}$ سال از این رابطه به دست می‌آید. این فرمول، جمله‌ی $athbf{n}$-ام یک دنباله‌ی هندسی با جمله‌ی اول $athbf{P}$ و قدر نسبت $athbf{r}$ است. $$\mathbf{\text{قیمت}(\text{n}) = ۵۰۰,۰۰۰ \times (۰.۸)^{\text{n}}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۲۷ ریاضی دهم هدف این تمرین محاسبه‌ی $\mathbf{\text{P}_{\text{۲۰}}}$، یعنی حاصل ضرب بیست جمله‌ی اول ($athbf{\text{t}_{\text{۱}} \times \text{t}_{\text{۲}} \times \dots \times \text{t}_{\text{۲۰}}}$) است. ### ۱. تحلیل دنباله و جمله‌ی عمومی * **جمله‌ی اول:** $\text{t}_{\text{۱}} = ۲$ * **قدر نسبت:** $\text{r} = ۴ \div ۲ = ۲$ * **جمله‌ی عمومی:** $\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{\text{n}-۱} = ۲ \times ۲^{\text{n}-۱} = ۲^{\text{n}}$ **دنباله:** $\{۲^{۱}, ۲^{۲}, ۲^{۳}, \dots, ۲^{\text{n}}, \dots\}$ ### ۲. محاسبه‌ی حاصل ضرب $\mathbf{\text{P}_{\text{۲۰}}}$ حاصل ضرب بیست جمله‌ی اول برابر است با: $$\text{P}_{\text{۲۰}} = \text{t}_{\text{۱}} \times \text{t}_{\text{۲}} \times \dots \times \text{t}_{\text{۲۰}}$$ $$\text{P}_{\text{۲۰}} = (۲^{۱}) \times (۲^{۲}) \times (۲^{۳}) \times \dots \times (۲^{۲۰})$$ ### ۳. ساده‌سازی (جمع توان‌ها) در ضرب اعداد با پایه‌ی یکسان (۲)، توان‌ها با هم جمع می‌شوند: $$\text{P}_{\text{۲۰}} = ۲^{(۱ + ۲ + ۳ + \dots + ۲۰)}$$ ### ۴. محاسبه‌ی مجموع توان‌ها مجموع $n$ عدد طبیعی اول از فرمول $\mathbf{\frac{\text{n}(\text{n}+۱)}{۲}}$ به دست می‌آید. در اینجا $\text{n}=۲۰$ است: $$S_{۲۰۰} = ۱ + ۲ + \dots + ۲۰ = \frac{۲۰(۲۰+۱)}{۲} = \frac{۲۰ \times ۲۱}{۲} = ۱۰ \times ۲۱ = ۲۱۰$$ ### ۵. نتیجه‌ی نهایی $$\mathbf{\text{P}_{\text{۲۰}} = ۲^{۲۱۰}}$$ **پاسخ:** حاصل ضرب بیست جمله‌ی اول دنباله برابر با **۲ به توان ۲۱۰** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۲۷ ریاضی دهم برای تعیین دنباله، باید **جمله‌ی اول** ($\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}}$) و **قدر نسبت** ($\mathbf{\text{r}}$) را پیدا کنیم. از فرمول $\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{\text{n}-۱}}$ استفاده می‌کنیم. ### ۱. تشکیل دستگاه معادلات * $\text{t}_{\text{۳}} = ۱۲ \implies \mathbf{\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۲} = ۱۲}$ (معادله ۱) * $\text{t}_{\text{۶}} = ۹۶ \implies \mathbf{\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۵} = ۹۶}$ (معادله ۲) ### ۲. محاسبه‌ی قدر نسبت (r) برای حذف $\text{t}_{\text{۱}}$، معادله (۲) را بر معادله (۱) تقسیم می‌کنیم: $$\frac{\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۵}}{\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۲}} = \frac{۹۶}{۱۲}$$ $$\text{r}^{۵-۲} = ۸$$ $$\text{r}^{۳} = ۸$$ $$\mathbf{\text{r} = ۲}$$ ### ۳. محاسبه‌ی جمله‌ی اول ($\text{t}_{\text{۱}}$) مقدار $\text{r}=۲$ را در معادله (۱) جایگذاری می‌کنیم: $$\text{t}_{\text{۱}}(۲)^{۲} = ۱۲$$ $$۴\text{t}_{\text{۱}} = ۱۲$$ $$\mathbf{\text{t}_{\text{۱}} = ۳}$$ ### ۴. نوشتن دنباله با داشتن $\text{t}_{\text{۱}}=۳$ و $\text{r}=۲$، جملات دنباله عبارتند از: $$\text{t}_{\text{۱}} = ۳$$ $$\text{t}_{\text{۲}} = ۳ \times ۲ = ۶$$ $$\text{t}_{\text{۳}} = ۶ \times ۲ = ۱۲ \quad (\checkmark)$$ $$\text{t}_{\text{۴}} = ۱۲ \times ۲ = ۲۴$$ $$\text{t}_{\text{۵}} = ۲۴ \times ۲ = ۴۸$$ $$\text{t}_{\text{۶}} = ۴۸ \times ۲ = ۹۶ \quad (\checkmark)$$ $$\mathbf{\text{دنباله}: \{۳, ۶, ۱۲, ۲۴, ۴۸, ۹۶, \dots\}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۲۷ ریاضی دهم این مسئله نمونه‌ای واقعی از کاربرد **دنباله‌ی هندسی** برای مدل‌سازی **کاهش/افزایش درصدی ثابت** (Decay/Growth Rate) است. ### الف) پیش‌بینی تعداد تلفات **۱. تحلیل اطلاعات:** * **جمله‌ی اول (سال ۱۴۰۰):** $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}} = ۱۶۷۷۸}$ نفر (این مبدأ دنباله‌ی ماست). * **قدر نسبت (r):** کاهش ۳ درصدی یعنی ۹۷ درصد باقی می‌ماند: $\mathbf{\text{r} = ۱۰۰\% - ۳\% = ۰.۹۷}$ **۲. محاسبه‌ی تلفات سالانه:** از فرمول دنباله‌ی هندسی استفاده می‌کنیم: $\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{\text{n}-۱}}$. (محاسبات تقریبی می‌شوند) * **۱۴۰۰ ($athbf{\text{t}_{\text{۱}}}$):** $athbf{۱۶۷۷۸}$ * **۱۴۰۱ ($athbf{\text{t}_{\text{۲}}}$):** $۱۶۷۷۸ \times ۰.۹۷ \approx \mathbf{۱۶۲۷۵}$ * **۱۴۰۲ ($athbf{\text{t}_{\text{۳}}}$):** $۱۶۲۷۵ \times ۰.۹۷ \approx \mathbf{۱۵۷۸۷}$ * **۱۴۰۳ ($athbf{\text{t}_{\text{۴}}}$):** $۱۵۷۸۷ \times ۰.۹۷ \approx \mathbf{۱۵۳۱۴}$ * **۱۴۰۴ ($athbf{\text{t}_{\text{۵}}}$):** $۱۵۳۱۴ \times ۰.۹۷ \approx \mathbf{۱۴۸۵۴}$ * **۱۴۰۵ ($athbf{\text{t}_{\text{۶}}}$):** $۱۴۸۵۴ \times ۰.۹۷ \approx \mathbf{۱۴۴۰۸}$ | سال | ۱۴۰۰ | ۱۴۰۱ | ۱۴۰۲ | ۱۴۰۳ | ۱۴۰۴ | ۱۴۰۵ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | تعداد تلفات مورد انتظار | **۱۶۷۷۸** | **۱۶۲۷۵** | **۱۵۷۸۷** | **۱۵۳۱۴** | **۱۴۸۵۴** | **۱۴۴۰۸** | --- ### ب) نوع دنباله * **پاسخ:** اعداد حاصل، یک **دنباله‌ی هندسی** تشکیل می‌دهند. * **چرا؟** چون هر جمله با ضرب جمله قبلی در یک نسبت ثابت (قدر نسبت) برابر $\mathbf{r = ۰.۹۷}$ به دست می‌آید. این یک الگوی **کاهش تصاعدی** است.