حل تمرین صفحه 24 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۲۴ ریاضی دهم سلام! برای تشخیص **دنباله‌ی حسابی**، باید بررسی کنیم که آیا اختلاف هر جمله‌ی متوالی با جمله‌ی قبل از آن، یک مقدار **ثابت** (قدر نسبت) است یا خیر. ### الف) $\mathbf{۳, ۱۰, ۱۷, ۲۴, \dots}$ * **اختلاف:** $۱۰-۳=۷$, $۱۷-۱۰=۷$, $۲۴-۱۷=۷$ * **دنباله‌ی حسابی:** $\checkmark$ (قدر نسبت ثابت است: $\mathbf{\text{d}=۷}$) * **جمله‌ی بیست و یکم ($\mathbf{\text{t}_{\text{۲۱}}}$):** $\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}} + (\text{n}-۱)\text{d}$ $$\text{t}_{\text{۲۱}} = ۳ + (۲۱-۱)۷ = ۳ + (۲۰)۷ = ۳ + ۱۴۰ = \mathbf{۱۴۳}$$ ### ب) $\mathbf{۱, ۲, ۴, ۸, \dots}$ * **اختلاف:** $۲-۱=۱$, $۴-۲=۲$, $۸-۴=۴$ * **دنباله‌ی حسابی:** $\times$ (اختلاف ثابت نیست) ### پ) $\mathbf{\sqrt{۳}, ۲\sqrt{۳}, ۳\sqrt{۳}, ۴\sqrt{۳}, \dots}$ * **اختلاف:** $۲\sqrt{۳} - \sqrt{۳} = \sqrt{۳}$, $۳\sqrt{۳} - ۲\sqrt{۳} = \sqrt{۳}$ * **دنباله‌ی حسابی:** $\checkmark$ (قدر نسبت ثابت است: $\mathbf{\text{d}=\sqrt{۳}}$) * **جمله‌ی بیست و یکم ($\mathbf{\text{t}_{\text{۲۱}}}$):** $\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}} + (\text{n}-۱)\text{d}$ $$\text{t}_{\text{۲۱}} = \sqrt{۳} + (۲۱-۱)\sqrt{۳} = \sqrt{۳} + ۲۰\sqrt{۳} = \mathbf{۲۱\sqrt{۳}}$$ ### ت) $\mathbf{۱, ۴, ۷, ۱۰, \dots}$ * **اختلاف:** $۴-۱=۳$, $۷-۴=۳$, $۱۰-۷=۳$ * **دنباله‌ی حسابی:** $\checkmark$ (قدر نسبت ثابت است: $\mathbf{\text{d}=۳}$) * **جمله‌ی بیست و یکم ($\mathbf{\text{t}_{\text{۲۱}}}$):** $\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}} + (\text{n}-۱)\text{d}$ $$\text{t}_{\text{۲۱}} = ۱ + (۲۱-۱)۳ = ۱ + (۲۰)۳ = ۱ + ۶۰ = \mathbf{۶۱}$$ ### ث) $\mathbf{\frac{۲}{۵}, \frac{۳}{۵}, \frac{۴}{۵}, ۱, \dots}$ * **تبدیل:** $۱ = \frac{۵}{۵}$. دنباله: $\frac{۲}{۵}, \frac{۳}{۵}, \frac{۴}{۵}, \frac{۵}{۵}, \dots$ * **اختلاف:** $\frac{۳}{۵} - \frac{۲}{۵} = \frac{۱}{۵}$, $\frac{۴}{۵} - \frac{۳}{۵} = \frac{۱}{۵}$ * **دنباله‌ی حسابی:** $\checkmark$ (قدر نسبت ثابت است: $\mathbf{\text{d}=\frac{۱}{۵}}$) * **جمله‌ی بیست و یکم ($\mathbf{\text{t}_{\text{۲۱}}}$):** $\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}} + (\text{n}-۱)\text{d}$ $$\text{t}_{\text{۲۱}} = \frac{۲}{۵} + (۲۱-۱)\frac{۱}{۵} = \frac{۲}{۵} + ۲۰ \times \frac{۱}{۵} = \frac{۲}{۵} + \frac{۲۰}{۵} = \frac{۲۲}{۵}$$ ### ج) $\mathbf{۲, ۲, ۲, ۲, \dots}$ * **اختلاف:** $۲-۲=۰$ * **دنباله‌ی حسابی:** $\checkmark$ (قدر نسبت ثابت است: $\mathbf{\text{d}=۰}$) * **جمله‌ی بیست و یکم ($\mathbf{\text{t}_{\text{۲۱}}}$):** $\text{t}_{\text{۲۱}} = ۲ + (۲۰)۰ = \mathbf{۲}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۲۴ ریاضی دهم این یک مسئله‌ی کلاسیک برای یافتن $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}}$ و $\mathbf{\text{d}}$ با استفاده از دو جمله‌ی دلخواه دنباله است. از فرمول $\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}} + (\text{n}-۱)\text{d}$ استفاده می‌کنیم. ### ۱. تشکیل دستگاه معادلات اطلاعات داده شده: * $\text{t}_{\text{۳}} = ۲۰ \implies \mathbf{\text{t}_{\text{۱}} + ۲\text{d} = ۲۰}$ (معادله ۱) * $\text{t}_{\text{۷}} = ۵۶ \implies \mathbf{\text{t}_{\text{۱}} + ۶\text{d} = ۵۶}$ (معادله ۲) ### ۲. محاسبه‌ی قدر نسبت (d) معادله (۱) را از معادله (۲) کم می‌کنیم تا $\text{t}_{\text{۱}}$ حذف شود: $$(\text{t}_{\text{۱}} + ۶\text{d}) - (\text{t}_{\text{۱}} + ۲\text{d}) = ۵۶ - ۲۰$$ $$۴\text{d} = ۳۶$$ $$\mathbf{\text{d} = ۹}$$ ### ۳. محاسبه‌ی جمله‌ی اول ($\text{t}_{\text{۱}}$) مقدار $\text{d}=۹$ را در معادله (۱) جایگذاری می‌کنیم: $$\text{t}_{\text{۱}} + ۲(۹) = ۲۰$$ $$\text{t}_{\text{۱}} + ۱۸ = ۲۰$$ $$\mathbf{\text{t}_{\text{۱}} = ۲}$$ ### ۴. نوشتن دنباله با داشتن $\text{t}_{\text{۱}}=۲$ و $\text{d}=۹$، دنباله به این صورت است: $$\text{t}_{\text{۱}} = ۲$$ $$\text{t}_{\text{۲}} = ۲+۹ = ۱۱$$ $$\text{t}_{\text{۳}} = ۱۱+۹ = ۲۰ \quad (\checkmark)$$ $$\text{t}_{\text{۴}} = ۲۰+۹ = ۲۹$$ $$\text{t}_{\text{۵}} = ۲۹+۹ = ۳۸$$ $$\text{t}_{\text{۶}} = ۳۸+۹ = ۴۷$$ $$\text{t}_{\text{۷}} = ۴۷+۹ = ۵۶ \quad (\checkmark)$$ $$\mathbf{\text{دنباله}: \{۲, ۱۱, ۲۰, ۲۹, ۳۸, ۴۷, ۵۶, \dots\}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۲۴ ریاضی دهم این مسئله با استفاده از خاصیت جالب **دنباله‌های حسابی** حل می‌شود: در یک دنباله، مجموع جملاتی که به طور متقارن نسبت به وسط قرار گرفته‌اند، برابر است. ### ۱. استفاده از شرایط مسئله * **سه جمله‌ی اول (S1):** $\text{t}_{\text{۱}} + \text{t}_{\text{۲}} + \text{t}_{\text{۳}} = ۳$ * **سه جمله‌ی بعدی (S2):** $\text{t}_{\text{۴}} + \text{t}_{\text{۵}} + \text{t}_{\text{۶}} = ۳۹$ ### ۲. یافتن جمله‌ی وسط (روش ۱ - میانگین) در هر مجموعه‌ی متقارن از جملات دنباله‌ی حسابی، مجموع جملات برابر است با **تعداد جملات $\times$ جمله‌ی وسط**: * **از S1:** جمله‌ی وسط $\text{t}_{\text{۲}}$ است. $$\text{۳} \times \text{t}_{\text{۲}} = ۳ \Longrightarrow \mathbf{\text{t}_{\text{۲}} = ۱}$$ * **از S2:** جمله‌ی وسط $\text{t}_{\text{۵}}$ است. $$\text{۳} \times \text{t}_{\text{۵}} = ۳۹ \Longrightarrow \mathbf{\text{t}_{\text{۵}} = ۱۳}$$ ### ۳. محاسبه‌ی قدر نسبت (d) حالا دو جمله از دنباله را داریم: $\text{t}_{\text{۲}}=۱$ و $\text{t}_{\text{۵}}=۱۳$. این دو جمله با $(۵-۲)=۳$ برابر قدر نسبت فاصله دارند: $$\text{t}_{\text{۵}} - \text{t}_{\text{۲}} = (۵-۲)\text{d}$$ $$۱۳ - ۱ = ۳\text{d}$$ $$۱۲ = ۳\text{d} \Longrightarrow \mathbf{\text{d} = ۴}$$ ### ۴. محاسبه‌ی جمله‌ی اول ($\text{t}_{\text{۱}}$) با استفاده از $\text{t}_{\text{۲}}=۱$ و $\text{d}=۴$: $$\text{t}_{\text{۱}} = \text{t}_{\text{۲}} - \text{d} = ۱ - ۴ = \mathbf{-۳}$$ ### ۵. نوشتن دنباله $$\mathbf{\text{دنباله}: \{-۳, ۱, ۵, ۹, ۱۳, ۱۷, \dots\}}$$ **بررسی نهایی:** $\text{S}۱ = -۳ + ۱ + ۵ = ۳$ و $\text{S}۲ = ۹ + ۱۳ + ۱۷ = ۳۹$. (درست است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۲۴ ریاضی دهم این الگو در واقع دنباله‌ی **اعداد مخمسی** (Pentagonal Numbers) را نشان می‌دهد، اما این الگو با یک الگوی خطی ساده‌تر قابل مدل‌سازی است. ### الف) یافتن دو جمله‌ی بعدی و نوع دنباله **دنباله (تعداد نقطه‌ها):** $\{۱, ۵, ۹, \dots\}$ * **اختلاف:** $۵-۱ = ۴$, $۹-۵ = ۴$ * **نوع دنباله:** چون اختلاف جملات متوالی ثابت و برابر $\mathbf{۴}$ است، این یک **دنباله‌ی حسابی** (الگوی خطی) است. * **دو جمله‌ی بعدی:** * $\text{t}_{\text{۴}} = ۹ + ۴ = ۱۳$ * $\text{t}_{\text{۵}} = ۱۳ + ۴ = ۱۷$ * **رسم شکل:** هر شکل بعدی با اضافه کردن ۴ نقطه به گوشه‌های بیرونی شکل قبلی به دست می‌آید. (رسم شکل لوزی با ۴ نقطه به هر ضلع) $$\mathbf{\text{دنباله}: \{۱, ۵, ۹, ۱۳, ۱۷, \dots\}}$$ ### ب) جمله‌ی عمومی ($\mathbf{\text{t}_{\text{n}}}$) * $\text{t}_{\text{۱}} = ۱$, $\text{d} = ۴$ $$\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}} + (\text{n}-۱)\text{d}$$ $$\text{t}_{\text{n}} = ۱ + (\text{n}-۱)۴$$ $$\text{t}_{\text{n}} = ۱ + ۴\text{n} - ۴ = ۴\text{n} - ۳$$ $$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = ۴\text{n} - ۳}$$ ### پ) جمله‌ی چندم $\mathbf{۳۹۷}$ است؟ مقدار $\text{t}_{\text{n}} = ۳۹۷$ را در فرمول قرار می‌دهیم و $\text{n}$ را پیدا می‌کنیم: $$۳۹۷ = ۴\text{n} - ۳$$ $$۳۹۷ + ۳ = ۴\text{n}$$ $$۴۰۰ = ۴\text{n}$$ $$\text{n} = \frac{۴۰۰}{۴} = \mathbf{۱۰۰}$$ **پاسخ:** جمله‌ی **صدم** این دنباله ۳۹۷ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۲۴ ریاضی دهم **واسطه‌ی حسابی** (Arithmetic Mean) بین دو عدد $\text{A}$ و $\text{B}$، عددی است که اگر آن را بین $\text{A}$ و $\text{B}$ قرار دهیم، یک دنباله‌ی حسابی سه جمله‌ای تشکیل شود. این واسطه برابر با **میانگین** دو عدد است: $\mathbf{\text{M} = \frac{\text{A} + \text{B}}{۲}}$ ### الف) واسطه‌ی حسابی بین ۵ و ۱۱ $$\text{M} = \frac{۵ + ۱۱}{۲} = \frac{۱۶}{۲} = \mathbf{۸}$$ **دنباله:** $\{۵, ۸, ۱۱\}$ (قدر نسبت: $۳$) ### ب) واسطه‌ی حسابی بین ۲۰ و ۳۰ $$\text{M} = \frac{۲۰ + ۳۰}{۲} = \frac{۵۰}{۲} = \mathbf{۲۵}$$ **دنباله:** $\{۲۰, ۲۵, ۳۰\}$ (قدر نسبت: $۵$) ### پ) نتیجه‌گیری * **نتیجه:** واسطه‌ی حسابی بین دو عدد $\text{A}$ و $\text{B}$، همواره برابر با **میانگین** آن دو عدد است. * **توضیح:** در دنباله‌ی سه جمله‌ای $\{ \text{A}, \text{M}, \text{B} \}$، چون فاصله‌ی $\text{A}$ تا $\text{M}$ باید برابر با فاصله‌ی $\text{M}$ تا $\text{B}$ باشد، $\text{M}$ دقیقاً در وسط قرار می‌گیرد. به صورت جبری: $\text{M} - \text{A} = \text{B} - \text{M} \implies ۲\text{M} = \text{A} + \text{B} \implies \mathbf{\text{M} = \frac{\text{A} + \text{B}}{۲}}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۲۴ ریاضی دهم این یک مسئله‌ی تاریخی و مشهور در مورد دنباله‌های حسابی است که قدمت آن به مصر باستان برمی‌گردد! ### ۱. تعریف دنباله پنج سهم ($\text{t}_{\text{۱}}$ تا $\text{t}_{\text{۵}}$) یک دنباله‌ی حسابی با جمله‌ی اول $\mathbf{\text{a}}$ و قدر نسبت $\mathbf{\text{d}}$ تشکیل می‌دهند. $$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{a} + (\text{n}-۱)\text{d}}$$ سهم‌ها عبارتند از: $\text{a}, \text{a}+\text{d}, \text{a}+۲\text{d}, \text{a}+۳\text{d}, \text{a}+۴\text{d}$ ### ۲. تشکیل معادلات **معادله ۱: مجموع کل سهم‌ها ۱۰۰ است.** $$\text{t}_{\text{۱}} + \text{t}_{\text{۲}} + \text{t}_{\text{۳}} + \text{t}_{\text{۴}} + \text{t}_{\text{۵}} = ۱۰۰$$ از خاصیت میانگین استفاده می‌کنیم: مجموع ۵ جمله برابر است با $۵ \times \text{جمله‌ی وسط}$. جمله‌ی وسط $\mathbf{\text{t}_{\text{۳}} = \text{a}+۲\text{d}}$ است. $$\text{۵}(\text{a}+۲\text{d}) = ۱۰۰$$ $$\mathbf{\text{a} + ۲\text{d} = ۲۰} \quad \text{(معادله ۱')}$$ **معادله ۲: $\frac{۱}{۳}$ مجموع سه سهم بزرگ‌تر، مساوی مجموع دو سهم کوچک‌تر است.** * **سه سهم بزرگ‌تر:** $\text{t}_{\text{۳}}, \text{t}_{\text{۴}}, \text{t}_{\text{۵}}$ * **دو سهم کوچک‌تر:** $\text{t}_{\text{۱}}, \text{t}_{\text{۲}}$ $$\frac{۱}{۳}(\text{t}_{\text{۳}} + \text{t}_{\text{۴}} + \text{t}_{\text{۵}}) = \text{t}_{\text{۱}} + \text{t}_{\text{۲}}$$ $$\frac{۱}{۳}((\text{a}+۲\text{d}) + (\text{a}+۳\text{d}) + (\text{a}+۴\text{d})) = (\text{a}) + (\text{a}+\text{d})$$ $$\frac{۱}{۳}(۳\text{a} + ۹\text{d}) = ۲\text{a} + \text{d}$$ $$\text{a} + ۳\text{d} = ۲\text{a} + \text{d}$$ $$\mathbf{۲\text{d} = \text{a}} \quad \text{(معادله ۲')}$$ ### ۳. حل دستگاه معادلات معادله (۲') را در معادله (۱') جایگذاری می‌کنیم: * **جایگذاری $\mathbf{\text{a} = ۲\text{d}}$ در $\mathbf{\text{a} + ۲\text{d} = ۲۰}$:** $$(۲\text{d}) + ۲\text{d} = ۲۰$$ $$۴\text{d} = ۲۰ \Longrightarrow \mathbf{\text{d} = ۵}$$ * **محاسبه $\mathbf{\text{a}}$:** $$\text{a} = ۲\text{d} = ۲(۵) = \mathbf{۱۰}$$ ### ۴. محاسبه‌ی سهم‌ها (دنباله) با $\text{a}=\text{t}_{\text{۱}}=۱۰$ و $\text{d}=۵$، سهم‌ها عبارتند از: $$\text{t}_{\text{۱}}=۱۰$$ $$\text{t}_{\text{۲}}=۱۰+۵=۱۵$$ $$\text{t}_{\text{۳}}=۱۵+۵=۲۰$$ $$\text{t}_{\text{۴}}=۲۰+۵=۲۵$$ $$\text{t}_{\text{۵}}=۲۵+۵=۳۰$$ $$\mathbf{\text{سهم‌ها}: \{۱۰, ۱۵, ۲۰, ۲۵, ۳۰\}}$$ **بررسی نهایی:** مجموع $= ۱۰+۱۵+۲۰+۲۵+۳۰ = ۱۰۰$. شرط دوم: $\frac{۱}{۳}(\text{۲۰}+۲۵+۳۰) = \frac{۱}{۳}(۷۵) = ۲۵$. مجموع دو سهم کوچکتر: $۱۰+۱۵=۲۵$. $(\checkmark)$